等速度曲線的某些性質(zhì)及其應(yīng)用

劉海明 苗佳晶

【摘要】本文得到了等速度曲線的一些獨(dú)特的微分幾何性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可以簡(jiǎn)化微分幾何學(xué)教材中關(guān)于曲線的正交標(biāo)架的一些復(fù)雜計(jì)算.

【關(guān)鍵詞】微分幾何;曲率; 等速度曲線

【中圖分類號(hào)】O172;O177.91;O189.3

【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【基金項(xiàng)目】牡丹江師范學(xué)院省級(jí)重點(diǎn)創(chuàng)新預(yù)研項(xiàng)目（SY201320）

一、引 言

微分幾何是綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)系各專業(yè)的主干課程，也是應(yīng)用性很強(qiáng)的一門數(shù)學(xué)課.微分幾何課的目的是使學(xué)生學(xué)好作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的古典微分幾何學(xué)內(nèi)容，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)、研究現(xiàn)代幾何學(xué)打好基礎(chǔ).陳省身先生在他的著作《微分幾何講義》的序言中曾表示未來(lái)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象必然是流形，而刻畫微分流形的性質(zhì)需要有堅(jiān)實(shí)的微分幾何學(xué)基礎(chǔ)，這從某種程度上充分說(shuō)明了這門課程的重要性.另一方面，古典微分幾何學(xué)實(shí)質(zhì)上就是微積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用，從這個(gè)層面講，微分幾何課程和高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)分析等課程之間的聯(lián)系非常緊密.

遺憾的是，目前，微分幾何課程在普通本科院校中的被重視程度是不足的，存在著課時(shí)量在被削減、師資隊(duì)伍不專業(yè)等等一系列問(wèn)題.基于以上原因，呼吁重新重視微分幾何課程的呼聲不斷.我們從事微分幾何學(xué)教學(xué)的工作者首當(dāng)其沖.作為一名授課教師所能做到的是在講授這門課程時(shí)適當(dāng)?shù)卣{(diào)節(jié)和精簡(jiǎn)它的教學(xué)內(nèi)容，將一些能夠反映出該門課程重要思想和本質(zhì)的東西傳授給學(xué)生，開(kāi)闊學(xué)生的視野.古典微分幾何學(xué)主要包含曲線論和曲面論兩部分內(nèi)容，本文主要的研究對(duì)象是曲線論中的一類特殊的曲線——等速度曲線，得到了這類曲線的一些獨(dú)特的微分幾何性質(zhì)并簡(jiǎn)化了微分幾何學(xué)教材中關(guān)于圓柱螺線的正交標(biāo)架的計(jì)算，原因是圓柱螺線恰好是等速度曲線.

二、等速度曲線的微分幾何性質(zhì)

這一節(jié)中，主要給出等速度曲線的定義和一些微分幾何性質(zhì).

定義1 若曲線r（t）的弧長(zhǎng)參數(shù)公式為s（t）=1bt+a，則稱r（t）是等速度曲線.其中s（t）是曲線的弧長(zhǎng)，a，b為常數(shù).

關(guān)于這類曲線，得到了下面的性質(zhì)：

定理1 若r（t）是等速度曲線，則下列條件等價(jià)：

（1）s（t）=1bt+a;（2）s′（t）=r′（t）=1b=常數(shù);

（3）r″（t）∥r¨s ;（4）r′（t）·r″（t）=0.

證明：（1）（2）因?yàn)?/p>

s（t）=∫tt0r→′（t）dt=a+1bt，

所以s′（t）=r′（t）=1b（常數(shù)）.

（2）（3）因?yàn)閞′（t）=常數(shù)=1b ，

所以s（t）=∫tt0r′（t）dt=1bt+a.

又因?yàn)?/p>

r′（t）=r·dsdt=1br·，

r→″（t）=1br¨dsdr=1b2r¨，

所以 r′（t）∥r→·s ， r″（t）∥r¨s.

（3）4 因?yàn)閞·s⊥r¨s，r′（t）∥r·s ，r″（t）∥r¨s，

所以r′（t）⊥r″（t），所以 r′（t）·r″（t）=0.

4（1）因?yàn)?r′（t）·r→″（t）=0，r′（t）=r·dsdt，

r″（t）=r¨dsdt2+r·d2sdt2，（1）

所以r·s⊥r″（t）.

又r·s⊥r¨s，r″（t）與r¨s共面，

所以r¨s∥r″（t）.

由（1）知d2sdt2=0，所以 dsdt=1b（常數(shù)）.

所以 s（t）=1bt+a.

所以曲線是等速度曲線，證必.

下面可以得到等速度曲線的三個(gè)基本向量的簡(jiǎn)化公式，這主要體現(xiàn)在副法向量的計(jì)算中.

定理2 等速度曲線的三個(gè)基本向量分別為：

α=r′（t）r′（t），β=r″（t）r″（t），γ=br′（t）×r″（t）r″（t）.

證明：因?yàn)閞′（t）=r·dsdt，

所以 α=r·r=r′（t）r′（t）=br′（t）.

又由定理1知r¨s∥r″（t），

所以β=r¨sr¨s=r″（t）r″（t），

所以γ=α×β=r′（t）×r″（t）r′（t）r″（t） =br′（t）×r″（t）r″（t）.

定理3 等速度曲線的曲率k（t）=b2r′′（t）.

證明：因?yàn)?s（t）=1bt+a，

所以k=r¨=r″/dsdt2 =b2r″（t）.

三、教學(xué)應(yīng)用

如果曲線是等速度曲線，那么我們可以用r″r″代替β，從而使求解的相關(guān)問(wèn)題簡(jiǎn)化.下面的例子來(lái)自于微分幾何學(xué)教材[1].

例 求螺線x=cost，y=sint，z=t在點(diǎn)（1，0，0）的切線、法平面、副法線、密切平面、主法線及從切平面的方程及基本向量α，β，γ.

這個(gè)問(wèn)題的解答過(guò)程中，其主法向量β的計(jì)算比較復(fù)雜，這里我們可以證明螺旋線

x=cost，y=sint，z=t

是等速度曲線.這樣，利用定理1的結(jié)論知，它的主法向量β=r″（t）r″（t）.

僅以求點(diǎn)1，0，0處的主法向量β為例，應(yīng)用上述結(jié)論，只需求出

r″（t）=-cost，-sint，0，r″0=1，0，0，從而求出β=r″0r→″0=1，0，0，

避免了教材中復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程.

【參考文獻(xiàn)】

[1]梅向明，黃敬之.微分幾何[M].3版.北京：高等教育出版社，2003：80-148.

[2]杜卡莫，田疇，等譯.曲線與曲面的微分幾何[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005：98-101.

[3]苗佳晶，劉海明.一元函數(shù)的極值及其奇異性[J].高等數(shù)學(xué)研究，2011，14（1）：26-28.

[4]陳省身，陳維桓.微分幾何講義[M].北京：北京大學(xué)出版社，1983.