關于可逆矩陣在初等變換下的逆矩陣的若干命題
2014-10-21 19:55:51李光
數(shù)學學習與研究 2014年21期
李光
【摘要】本文證明了關于可逆矩陣A經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣B的逆矩陣B-1與矩陣A的逆矩陣A-1之間關系的幾個命題成立.
【關鍵詞】矩陣;逆矩陣;代數(shù)余子式
一、引 言
設A是N×N階的可逆方陣，A-1是它的逆陣;矩陣B是由A經(jīng)過一次初等主變換得到的，B-1是B的逆陣.則有以下結論成立：
命題1：若A行與行互換B，則A-1列與列互換B-1.
若A列與列互換B，則A-1行與行互換B-1.
命題2：若AK×行K≠0B，則A-11K×列B-1.
若AK×列K≠0 B，
則A-11K×列B-1.
命題3：若AK×行+行B，則
A-1-K×列+列B-1.
若：A-K×列+列B，則A-1K×行+行B-1.
上述命題可以概括理解為，如果可逆方陣A經(jīng)過一次初等變換為矩陣B，那么A-1經(jīng)過某種相應的一次初等變換就變成B-1.
二、命題的證明
這里僅就三條命題中各命題的第一款詳加證明.第二款的證法與第一款類似.
設
A=a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
……
an1 an2 … ann
是可逆的，則有
A-1 =1|A|A11 A21 … An1
A12 A22 … An2
……
A1n A2n … Ann
對A作以下變換：
A行與行互換B1=a11 a12 … a1n
……
aj1 aj2 … ajn
……
ai1 ai2 … ain
……
an1 an2 … ann
←j
←i
AK×行K≠0B2=
a11 a12 … a1i… a1n
……
kai1 kai2 … kaii … kain
……
an1 an2 … ani … ann
AK×行+
行B3=
a11 a12 … a1i … a1n
……
ai1 ai2 … aii … ain
……
kai1+ aj1 kai2+ aj2 … kaii+ aij … kain+ajn
……
an1 an2 … ani … ann
可以肯定B-11，B-12，B-13是由A-1經(jīng)過下列變換得到的.
A-1列與列互換B-11=1|A|A11 … Aj1 … 1kAi1 … An1
A21 … Aj2 … k1Ai2 … An2
……
A1n … Ajn … k1Ain … Ann
↑ ↑
j列 i列
A-11K列B-12=1|A|
Ai1 … Ai1 … An1
……
Ai1 … Aii … Ani
……
A1n … Ain … Ann
A-1-K×
列+列B-13=1|A|
A11 … Ai1-kAj1 … Aj1 … An1
……
A1i … Aii-kAji … Aji … Ani
……………………………
A1n … Ain-kAjn … Ajn … Ann
事實上
B1B-11=a11 a12 … a1n
……
aj1 aj2 … ajn
……
ai1 ai2 … ain
……
an1 an2 … ann
1|A|A11 … Aj1 … Ai1 … An1
……
A12 … Aj2 … Ai2 … An2
……
……
……
A1n … Ajn … Ain … Ann
=1|A|
∑nc=1a1cA1c … ∑nc=1a1cA1c … ∑nc=1a1cA1c ∑nc=1a1cA1c
……
∑nc=1a1cA1c … ∑nc=1a1cA1c … ∑nc=1a1cA1c ∑nc=1a1cA1c
……
∑nc=1a1cA1c … ∑nc=1a1cA1c … ∑nc=1a1cA1c ∑nc=1a1cA1c
……
∑nc=1a1cA1c … ∑nc=1a1cA1c … ∑nc=1a1cA1c ∑nc=1a1cA1c
=1|A|
|A|… 0 … 0 … 0
……
0 … |A| … 0 … 0
……
0 … 0 … |A| … 0
……
0 … 0 … 0 … |A|
=Enxn.
同理可證B-11B1=Enxn
命題1第一款證畢.
B2B-12=
a11 a12 … a1i … a1n
……
kai1 kai2 … kaii … kain
……
… … … … … …
an1 an2 … ani … ann
1|A|Ai1 … 1kAi1 … an1
……
A12 … 1kAi2 … an2
……
A1i … 1kAii … ani
……
A1n … 1kAin … ann
=1|A|∑n
e=1a1eA1e… 1k∑n
e=1a1eA1e … ∑n
e=1a1eAne
……
k∑n
e=1aieA1e … 1k∑n
e=1aieAie… k∑n
e=1aieAne
……
∑n
e=1aneA1e … 1k∑n
e=1aneAie … ∑n
e=1aneAne
=1|A|
|A| … 0 … 0
……
0 … |A| … 0
……
0 … 0 … |A|
=Enxn
同理可證B-12B2=Enxn.
命題2第一款證畢.
B3B-13=1|A|=
A11 … Ai1-kAj1 … Aj1 … An1
……
A1i … Aij-kAji … Aji … Ani
……
……
A1n … Ain-kAjn … Ajn … Ann
a11 … a1i … a1n
……
ai1 … aii … ain
……
kai1+aj1 … kaii+aji … kain+ajn
……
an1 … ani … ann
=1|A|∑n
e=1
a1eA1e … ∑n
e=1a1e（Aie-kAje） … ∑n
e=1a1eAje … ∑n
e=1a1eAne
……
∑n
e=1aieAie … ∑n
e=1aie（Aie-kAje） … ∑n
e=1aieAje … ∑n
e=1aieAne
……
∑n
e=1（kaie+aje）A1e … ∑n
e=1（kaie+aje）（Aie-kAje）… ∑n
e=1（kaie+aje）Aje … ∑n
e=1（kaie+aje）aneAne
……
∑n
e=1aneA1e … ∑n
e=1ane（Aie-kAje） … ∑n
e=1aneAje … ∑n
e=1aneAne
=1|A|
|A|… 0 … 0 … 0
……
0 … |A| … 0 … 0
……
0 … 0 … |A| … 0
……
0 … 0 … 0 … |A|=Enxn.
同理可證B-13B3=Enxn.
命題3第一款證畢.
