確定參數(shù)范圍的金鑰匙

劉俊蓮

【摘要】確定參數(shù)的范圍歷來是各級各類測試及高考命題的熱點(diǎn).由于此類問題綜合性強(qiáng)，且確定參數(shù)取值范圍的不等量關(guān)系也較為隱蔽，因而給解題帶來了諸多困難.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法是確定參數(shù)范圍的一把金鑰匙.

【關(guān)鍵詞】 參數(shù);取值范圍;數(shù)形結(jié)合

確定參數(shù)的取值范圍歷來是各級各類測試及高考命題的熱點(diǎn).由于此類問題綜合性強(qiáng)，且確定參數(shù)取值范圍的不等量關(guān)系也較為隱蔽，因而給解題帶來了諸多困難.

如何突破這個(gè)難點(diǎn)？運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法是確定參數(shù)范圍的一把金鑰匙.

數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì);或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).

數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與幾何圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：第一要弄清所涉及的概念和運(yùn)算的幾何意義以及圖形的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義;第二是需要設(shè)參數(shù)時(shí)，要恰當(dāng)設(shè)參，注意參數(shù)的范圍，合理用參，建立聯(lián)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化.

一、已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定參數(shù)范圍

例1 若函數(shù)f（x）=13x3-12ax2+（a-1）x+1在區(qū)間（1，4）內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 這是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題.我們可以把函數(shù)增減性問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)問題.

首先求出f′（x）=x2-ax+（a-1），問題就轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在區(qū)間（1，4）內(nèi)是負(fù)數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）內(nèi)是正數(shù)的充要條件，可以借助于一元二次函數(shù)的圖像來解決.由x2-ax+（a-1）=0x=1或者x=a-1.由于參數(shù)a的存在，要對a進(jìn)行分類討論.

圖 1因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)的圖形開口向上，所以

當(dāng)a-1≤1時(shí)，與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)a-1在1的左側(cè)，

導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖1所示，觀察發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)在

區(qū)間（1，4）內(nèi)是正數(shù).說明原函數(shù)是增函數(shù)，

這與題意不符.

同理，當(dāng)1

當(dāng)4≤a-1≤6時(shí)，

與x軸另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)a-1在4與6之間，導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（1，4）內(nèi)是恒小于0的.而在區(qū)間（6，+∞）內(nèi)恒是正數(shù).這說明原函數(shù)在區(qū)間（1，4）內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，符合題意.

當(dāng)a-1>6時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的圖像與x軸另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)a-1在6的右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（1，4）內(nèi)是恒小于0的，但是在區(qū)間（6，+∞）內(nèi)并不是恒大于0的.這說明原函數(shù)在區(qū)間（6，+∞）內(nèi)不一定是增函數(shù).這與題意不符.

綜上討論，原函數(shù)只有當(dāng)4≤a-1≤6時(shí)符合題意.

解得實(shí)數(shù)a的范圍為[5，7].

二、已知兩條曲線的位置關(guān)系確定參數(shù)范圍

圖 2例2 曲線y=1+4-x2 （-2≤x≤2）與直線y=k（x-2）+4有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

解析 方程y=1+4-x2的曲線為半圓，

y=k（x-2）+4為過定點(diǎn)M（2，4）的直線.如圖2

所示.觀察圖像，直線y=k（x-2）+4位于切線MT

和割線MA之間區(qū)域內(nèi)時(shí)，符合題意.由半圓圓心（0，1）到直線y=k（x-2）+4的距離等于

半徑2得：k0-2-1+4k2+1=22k-3k2+1=2

k=512.A-2，1代入方程 y=k（x-2）+4中

得：k=34.故實(shí)數(shù)k的取值范圍為（512，34].

這道題如果不借助于圖像，根本無法解答.

三、已知不等式在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒成立確定參數(shù)范圍

圖 3例3 當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式（x-1）2

分析 若將不等號兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖像是拋物線，右邊為對數(shù)函數(shù)，故可以通過圖像求解.

解 設(shè)y1=（x-1）2，y2=logax，則y1的圖像為圖3所示的拋物線，要使對一切x∈（1，2），y11，并且必須也只需當(dāng)x=2時(shí)y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值.

故loga2>1，a>1，∴1

從以上幾個(gè)例子可以看到，如果不借助于函數(shù)的圖像，就沒有辦法確定所求參數(shù)的范圍.數(shù)形結(jié)合的方法在確定參數(shù)范圍時(shí)起到了不可估量的作用.所以確定參數(shù)范圍的金鑰匙就是數(shù)形結(jié)合法.