例談坐標(biāo)法解決平面向量中的求值問(wèn)題

林麗虹

【摘要】平面向量的表示方法有幾何法和坐標(biāo)法.向量的表示不同，對(duì)運(yùn)算也會(huì)產(chǎn)生不一樣的結(jié)果.在解題中，如果能夠結(jié)合題目的實(shí)際情況，機(jī)智地作出選擇，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑢?duì)問(wèn)題的解決事半功倍.

【關(guān)鍵詞】平面向量;坐標(biāo)法;平面直角坐標(biāo)系

平面向量中的最值與范圍問(wèn)題是一個(gè)熱點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，這類(lèi)問(wèn)題的題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)量的最值、范圍，如模、夾角、系數(shù)數(shù)量積等，解決這一類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，通過(guò)函數(shù)的值域解決問(wèn)題，而平面向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以解決這類(lèi)問(wèn)題的一種基本思想就是數(shù)形結(jié)合.而坐標(biāo)法作為實(shí)現(xiàn)平面向量幾何問(wèn)題代數(shù)化的一種體現(xiàn)，所以有必要對(duì)坐標(biāo)法在向量中的應(yīng)用做進(jìn)一步的研究.

坐標(biāo)法是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，使得向量的運(yùn)算完全代數(shù)化的一種方法.本文主要是結(jié)合近幾年的各地高考題模擬題來(lái)說(shuō)明坐標(biāo)法的應(yīng)用.那么什么樣的題目適合用坐標(biāo)法呢？如題目中，已經(jīng)有些元素被量化了，如有直角、 有長(zhǎng)度、有角度等，那么是不是可以考慮選擇坐標(biāo)法來(lái)解決問(wèn)題.

高考試卷、模擬卷等經(jīng)常會(huì)有一些向量的應(yīng)用的題目，特別是求值、求最值問(wèn)題往往難度都比較大，但是如果能夠根據(jù)條件，適當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，則問(wèn)題即可迎刃而解.如本文根據(jù)近兩年常遇到的一些質(zhì)檢題、高考題，談?wù)勱P(guān)于坐標(biāo)法在解決平面向量中的最值問(wèn)題的一些應(yīng)用.

例1 （2013福建省質(zhì)檢8）在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且AP=32，若AP=λAB+μAD，λ，μ∈R，則λ+3μ的最大值為（ ）.

A.32B.62

C.3+34D.6+324

分析 如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則A （0，0），

B（0，1），C（3，1），D（3，1）.

設(shè)P（x，y），則x2+y2≤34（0≤x≤3，0≤y≤1），AP=（x，y）=λ（0，1）+μ（3，0）.

∴x=3μ，

y=λ.所以λ+3μ=x+y，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，可行與域?yàn)樗姆种粓A

當(dāng)直線z=x+y與圓x2+y2=34相切時(shí)，z最大，即0+0-z2=32，又z>0，∴z=62.選B.

例2 （2009安徽理數(shù)）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°，點(diǎn)C在以圓O為圓心的圓弧OA上變動(dòng)，若OC=xOA+yOB（x，y∈R），則x+y的最大值是.

分析 以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，過(guò)O垂直于OA的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（1，0），B-12，32，Cx-12y，32y.

因?yàn)辄c(diǎn)C在以圓O為圓心的圓弧OA上變動(dòng)，所以C（cosθ，sinθ），其中0≤θ≤2π3.

所以x-12y=cosθ，

32y=sinθ，解得x=cosθ+3sinθ3，

y=23sinθ3.

所以x+y=cosθ+3sinθ=2sinθ+π6≤2，

當(dāng)且僅當(dāng)θ=π3時(shí)等號(hào)成立.所以x+y的最大值是2.

例3 如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起，∠ACB=45°，∠DEB=60°，若AD=xAB+yAC，則x=，y=.

分析 以A為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示.

設(shè)AB=AC=1BC=DE=2.

∵∠DEB=60°，∴BD=62.

由∠DBF=45°，解得DF=BF=62×22=32，

D的橫坐標(biāo)為x=1+32，縱坐標(biāo)為32.

又AD=xAB+yAC，AB=（1，0），AC=（0，1），AD=1+32，32.

所以x=1+32，y=32.

變式：（2013廈門(mén)市高一下質(zhì)檢第16題）已知a，b，c分別為△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊，且a=5，b=12，

c=13，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，若AI=λ（ABAB+ACAC），則λ等于多少？

例4 （2013廈門(mén)市3月份質(zhì)檢第10題理科）如圖，直角梯形ABCD，∠A=π2，AD=CD=1，AB=3，點(diǎn)P在以C為圓心，與直線BD相切的圓內(nèi)，AP=αAD+βAB，則α+β的取值范圍為（ ）.

A.1，32 B.（0，1）

C.1，53 D.12，53

分析 以A為原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x軸，y軸，建立直角坐標(biāo)系，

則A（0，0），B（3，0），C（1，1），D（0，1）.

直線BD的方程為x+3y-3=0，C到直線BD的距離d=1+3-310=1010.

設(shè)P（x，y），則P的軌跡方程（x-1）2+（y-1）2<110， AP=αAD+βAB，

∴（x，y）=α（0，1）+β（3，0），∴x=3β，

y=α，∴α+β=13x+y.令z=13x+y，當(dāng)z=13x+y與圓相切時(shí)，z取得最值，此時(shí)13×1+1-z19+1=1010，解得z=1或53，∴選C.

變式1：已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，則（AP+BD）·（PB+PD）的最大值為.

變式2：（2012廈門(mén)市高一下質(zhì)檢第16題）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形

ABCD的頂點(diǎn)A，D分別在x軸，y軸正半軸上移動(dòng)，則OB·OC

的最大值為.

總之，在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)和提煉，有效地進(jìn)行歸納，堅(jiān)持不懈，這樣才能做到有理可依，有法可循.