淺析立體幾何應(yīng)用題的三種解法

張文軍

【摘要】文章針對(duì)教材中一道立方體幾何應(yīng)用題的解法進(jìn)行評(píng)析，然后給出本題的其他解法，總結(jié)出解決立體幾何的三種解法：坐標(biāo)法、向量法、綜合法.

【關(guān)鍵詞】立體幾何 評(píng)析 解法

1.問題引入

高中數(shù)學(xué)教材人教A版選修2-1第三章開始引入的問題是：一塊均勻的正三角形面的鋼板質(zhì)量為500 kg，在它的頂點(diǎn)處分別受力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，每個(gè)力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的夾角都是60°，且|F1|=|F2|=|F3|=200 kg.這塊鋼板在這些力的作用下將會(huì)怎樣運(yùn)動(dòng)？這三個(gè)力至少為多大時(shí)，才能提起這塊鋼板？然后在3.2立體幾何中的向量方法中以例3形式呈現(xiàn)問題并解決問題（注：2013年6月印版的例3與引入問題有一些數(shù)字改動(dòng)：鋼板質(zhì)量為50 kg，力的大小為200 N）.

2.教材解法評(píng)析

教材如圖3.2-6所示建立空間直角坐標(biāo)系而解決問題（具體解法見教材）.下面對(duì)教材的解法進(jìn)行幾點(diǎn)評(píng)析：

（1）教材中建立空間直角坐標(biāo)系的方法不是最好的.坐標(biāo)系的建立方法是不唯一的，原則上是任意的，不會(huì)影響到最終結(jié)果;但通常為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，我們要恰當(dāng)建系.怎樣才算恰當(dāng)呢？通常要盡量利用已知中現(xiàn)有或隱含的垂直關(guān)系以及圖形的對(duì)稱關(guān)系進(jìn)行建系，使盡量多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上.筆者認(rèn)為本例最好的建系方法應(yīng)是以正三角形一邊為一軸，且以其中點(diǎn)為原點(diǎn)，豎直方向?yàn)閦軸，進(jìn)行建系.

（2）單位向量的引入未能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算作用，無理式運(yùn)算結(jié)果應(yīng)化簡(jiǎn).教材引入力F1方向上的單位向量，這是學(xué)生難以想到的.引入單位向量的本意應(yīng)是簡(jiǎn)化運(yùn)算，但在本例中未能起到顯著的簡(jiǎn)化作用.另外教材中是怎樣解方程組得到，十分令人費(fèi)解，可能是為了方便代入后面的二次方程吧.筆者認(rèn)為應(yīng)是x=-123=-36，z=23=63.簡(jiǎn)潔性是數(shù)學(xué)的基本特征，運(yùn)算結(jié)果能化簡(jiǎn)的應(yīng)化簡(jiǎn).另外幾何中若題設(shè)的正方體棱長(zhǎng)，正方形或正三角形邊長(zhǎng)不影響題解結(jié)果，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，通?？梢栽O(shè)其為1單位，若題設(shè)中還出現(xiàn)中點(diǎn)，也可以設(shè)棱長(zhǎng)或邊長(zhǎng)為2單位.例如本題宜設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為2長(zhǎng)度單位.

（3）三個(gè)力的坐標(biāo)的計(jì)算方法類似，本質(zhì)無區(qū)別，但有細(xì)節(jié)處理須注意.教材在求出力F1的坐標(biāo)后，直接類似地得出力F2，F(xiàn)3的坐標(biāo).題設(shè)是三個(gè)力同它相鄰的三角形的兩邊之間的夾角都為60°，因此三個(gè)力坐標(biāo)的計(jì)算方法是類似的，但有細(xì)節(jié)處理須注意：題意是力與三角形邊的夾角，轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角時(shí)必須注意兩向量的起點(diǎn)，否則向量的夾角可能不同.本例中學(xué)生很容易誤認(rèn)為F2與AB的夾角，F(xiàn)3與AC及BC的夾角仍為60°，這樣不可能計(jì)算出正確的結(jié)果.

（4）合力的作用點(diǎn)不能由合力的（向量）坐標(biāo)確定.教材在求出合力坐標(biāo)后，有這樣一句話：“這說明，作用在鋼板上的合力方向向上，大小為2006 N，作用點(diǎn)為O.”其中對(duì)力作用點(diǎn)的位置確定是準(zhǔn)確的，但其理由不應(yīng)是合力的向量坐標(biāo).筆者認(rèn)為本例中合力的作用點(diǎn)可以直觀觀察，不需理由;或從力的平衡、圖形的對(duì)稱上理解，也不需證明;嚴(yán)格的證明需要物理上的力矩等概念來推理計(jì)算.向量和力是有區(qū)別的：向量是自由的，可以進(jìn)行任意平移;力是眾多向量中的一種，是有一定物理意義的向量.大小、方向和作用點(diǎn)是力的三要素，表示力的有向線段一般不能隨意平移：只研究力的大小和方向時(shí)可以平移，這不改變力的性質(zhì)，但要關(guān)注力的作用效果或力的作用點(diǎn)時(shí)，不能平移，否則可能改變力的性質(zhì).

3.本例的其他解法

教材在題后給出探究：不建立坐標(biāo)系，如何解決這個(gè)問題？下面給出四種解法：

解法2（向量法）：以AB，AC，F(xiàn)1方向上的單位向量{e1，e2，e3}為空間的一個(gè)基底，則由題意有

e1·e2=e2·e3=e3·e1=12，F(xiàn)1=0·e1+0·e2+200e3.

設(shè)AB=λ·e1+0·e2+0·e3，AC=0·e1+λ·e2+0·e3，F(xiàn)2=xe1+ye2+ze3，則有

F2·BA=（xe1+ye2+ze3）·（-λe1）=-λ（x+y2+z2）=200×λ×12

F2·BC=（xe1+ye2+ze3）·λ（e2-e1）=λ（-x2+y2）=200×λ×12

|F2|2=x2+y2+z2+xy+yz+zx=2002，聯(lián)立以上三式可解得x=-200，y=0，z=200

即F2=-200e1+0·e2+200e3，同理可得F3=0·e1-200e2+200e3，

所以F1+F2+F3=-200e1-200e2+600e3，|F1+F2+F3|=2006N.

易知（F1+F2+F3）·AB=0，（F1+F2+F3）·AC=0，即合力方向?yàn)樨Q直方向，顯然向上，作用點(diǎn)為O.（下略）

解法3（向量法）：以AB，AC，F(xiàn)1方向上的單位向量{e1，e2，e3}為空間的一個(gè)基底，則F1=200e3，由題意可以把力F2，F(xiàn)3的起點(diǎn)分別沿BA，CA方向平移至B1，C1使三力的終點(diǎn)重合于力F1的終點(diǎn)E，易知此時(shí)E-AB1C1是正四面體，則EA=AB1=AC1=200，即AB1=200e1，AC1=200e2，

F2=F1-AB1=-200e1+0·e2+200e3，

F3=F1-AC1=0·e1-200e2+200e3，

F1+F2+F3=-200e1-200e2+600e3，

|F1+F2+F3|=2006N.

易知（F1+F2+F3）·AB=0，（F1+F2+F3）·AC=0，即合力方向?yàn)樨Q直方向，顯然向上.（下略）

解法4（綜合法）：由相關(guān)物理知識(shí)，顯然合力方向向上，作用點(diǎn)為O，三個(gè)力在水平面上的合力為零，因此只需算出每個(gè)力向上的分力即可，設(shè)三角形ABC的中心為O，力F1的終點(diǎn)為E，由∠EAB=∠EAC=60°，易知點(diǎn)E在底面ABC上的射影G在AO上，作GF⊥AB于F，則AE=200，AF=100，AG=100cos30°=20033，EG=AE2-AG2=20063，即力F1向上方向的分力大小為20063N，同理可得其他兩力在向上方向的分力大小也為20063N;（下略）.

所以三力向上方向的合力大小為2006N.

解法5（向量法）：由題意易知表示三力的有向線段均落在一個(gè)正四面體D-ABC的側(cè)棱上.（可以把三個(gè)力的起點(diǎn)平移至點(diǎn)D處）所以三個(gè)力兩兩夾角均為600，顯然合力方向向上，作用點(diǎn)為O，合力大小為：

|F1+F2+F3|=

F12+F22+F32+2F1·F2+2F2·F3+2F3·F1=2006N.（下略）

4.解法評(píng)析

（1）教材解法（解法1，坐標(biāo)法）以直角坐標(biāo)形式表示三個(gè)力，再進(jìn)行向量運(yùn)算而求出三個(gè)力的坐標(biāo)及它們的合力，結(jié)果不僅能求出合力的大小，而且能從合力的坐標(biāo)直接看出合力的方向;其他解法只能求出合力大小，合力方向還需另外計(jì)算或回到圖形中或用相關(guān)物理知識(shí)來確定.合力的作用點(diǎn)只能直觀觀察.

（2）前四種解法本質(zhì)一致，都是把力（向量）進(jìn)行分解.解法1是解法2的特殊情形，即解法1中取正交基底，從而可把向量用坐標(biāo)表示;而解法2取的是斜交基底，更具一般性，實(shí)質(zhì)上是空間向量基本定理的具體運(yùn)用.因?yàn)檎换椎奶厥庑?，使解?在運(yùn)算上較解法2快.解法2，3相同之處是都取斜交基底，但解法3結(jié)合運(yùn)用了幾何推理，從而使向量的運(yùn)算變得非常簡(jiǎn)單.解法4仍是把向量進(jìn)行分解，但只關(guān)注向上方向的分解，結(jié)合幾何推理，運(yùn)算也較快.解法5不再對(duì)向量進(jìn)行分解，而是充分利用題設(shè)的特殊性（也有幾何推理成分，其本質(zhì)是空間三個(gè)不共面向量加法的平行六面體法則），直接求向量大?。＃?，運(yùn)算快得幾乎心算幾秒就完成.

（3）解法4從幾何角度揭示問題的本質(zhì)：求正三棱臺(tái)的高.解法5從向量角度揭示問題的本質(zhì)：求平行六面體的對(duì)角線長(zhǎng).兩者都可揭示：當(dāng)三力的合力剛好與鋼板的重力平衡時(shí)，表示三力的有向線段和三角形ABC的三邊形成正四面體的各棱;當(dāng)三力的合力小于鋼板的重力時(shí)，把表示三力的有向線段終點(diǎn)相連，它們和正三角形鋼板的三邊形成正三棱臺(tái)（若把三力平移至終點(diǎn)合為一點(diǎn)，則終點(diǎn)和平移后的三個(gè)起點(diǎn)形成正四面體的頂點(diǎn)，正四面體的棱長(zhǎng)小于正三角形ABC的邊長(zhǎng)）;當(dāng)三力的合力大于鋼板的重力時(shí)，三力必交于一點(diǎn)D，D-ABC形成正四面體，三力的終點(diǎn)和D也形成一個(gè)較小的倒置的正四面體.

5.結(jié) 語

教材在最后有總結(jié)：解決立體幾何中的問題，可用三種方法：綜合方法、向量方法、坐標(biāo)方法.并提問：你能說出它們各自的特點(diǎn)嗎？

綜合法可能要添加一些輔助線，對(duì)較多的幾何定義、定理、公理要能熟練運(yùn)用，對(duì)空間的想象能力和邏輯推理能力要求較高，突破綜合法難點(diǎn)需要平時(shí)注意積累基本圖形的特征，比如正方體、正四面體等，并掌握一些添加輔助線的基本方法;具體到本例，要熟悉：斜線與平面一個(gè)角的兩邊夾角相等，則斜線在平面的射影為角的平分線.向量方法有固定的形式，即選好基底后，把其他向量均用基底表示再利用向量的運(yùn)算解決問題，其中基底的選取及向量回路的選擇較自由而顯得有難度，且用向量計(jì)算長(zhǎng)度有時(shí)運(yùn)算量較大，對(duì)運(yùn)算能力要求較高，突破向量法難點(diǎn)需要根據(jù)題設(shè)特點(diǎn)選好基底（通常要知道基底三向量的夾角和長(zhǎng)度），準(zhǔn)確地找到向量回路從而快速地把其他向量用基底表示，或通過設(shè)系數(shù)，再解方程求出系數(shù);具體到本例，已知夾角，還需引入單位向量或設(shè)參數(shù)才能確定基底，解法3注意運(yùn)用向量回路，計(jì)算就簡(jiǎn)單些，解法5就是基底選得好，使運(yùn)算更快.另外向量法必須向量參與運(yùn)算，因此向量的相關(guān)運(yùn)算要熟悉，特別是向量的夾角要注意向量的起點(diǎn).坐標(biāo)法是向量法的特殊情形，也有固定的形式，即恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量坐標(biāo)，最后用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決問題，其中坐標(biāo)系的建立可能有難度，對(duì)解方程組等代數(shù)運(yùn)算能力要求較高，突破坐標(biāo)法難點(diǎn)需要根據(jù)題設(shè)恰當(dāng)建立坐標(biāo)系（充分利用已知或隱含的垂直關(guān)系及圖形的對(duì)稱性），然后據(jù)條件算出相關(guān)點(diǎn)或向量的坐標(biāo)，平時(shí)須多加練習(xí)，提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確度;具體到本例，沒有三垂直關(guān)系，建系顯得有點(diǎn)難，更難的是相關(guān)的坐標(biāo)需要復(fù)雜的運(yùn)算.

對(duì)三種方法的定位，筆者認(rèn)為要以綜合法為基礎(chǔ)，綜合運(yùn)用，不能獨(dú)立專注于某一方法;平時(shí)練習(xí)要多角度考慮，三種方法都應(yīng)掌握.三種方法，綜合方法應(yīng)是主角，是基礎(chǔ)，后兩種方法注意不要脫離幾何特征，否則容易陷入復(fù)雜的運(yùn)算中.比如本例中解法1，2，運(yùn)算較復(fù)雜，若注意圖形幾何特征，運(yùn)用幾何推理，可以不用復(fù)雜運(yùn)算而直接得出另外兩力的表達(dá)式達(dá)到快速解決問題，即解法3，4，5.應(yīng)試時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)的特點(diǎn)選擇合適的一種方法，若選用向量法或坐標(biāo)法一定要注意適當(dāng)綜合幾何推理.