絕對值不等式中的“恒成立”和“有解”問題解法探究

趙淑飛

【摘要】絕對值不等式是高中新課標(biāo)教材《不等式選講》中的重要內(nèi)容之一，在歷年高考卷中，常與集合或函數(shù)綜合在一起進(jìn)行考查，在新課標(biāo)高考卷中，經(jīng)常作為最后一道解答題（三選一）出現(xiàn).利用“恒成立”和“有解”問題求某個(gè)參數(shù)的取值范圍是最后一道解答題的第二問考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，也是難點(diǎn)之一，對這類問題，很多學(xué)生感到茫然，無從下手，本文通過對實(shí)例的分析，探究這兩類問題的解題思路，并對相應(yīng)的解題方法技巧進(jìn)行總結(jié).

【關(guān)鍵詞】絕對值不等式;恒成立;有解

思路一 可以將“恒成立”或“有解”問題轉(zhuǎn)化為求分段函數(shù)最值問題.適用條件：可以進(jìn)行參數(shù)分離，即可以將參數(shù)移到不等式的一側(cè).

例1 已知f（x）=log2（|2x+1|+|x+2|-m）

（1）當(dāng)m=4時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域.

（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析 該題第一問求函數(shù)定義域，實(shí)際上是解絕對值不等式問題，可以利用“零點(diǎn)分段法”進(jìn)行求解.第二問是一個(gè)恒成立問題.

（1）m=4時(shí)，f（x）=log2（|2x+1|+|x+2|-4），要使函數(shù)有意義，自變量x需滿足條件|2x+1|+|x+2|-4>0，可以用“零點(diǎn)分段法”對該不等式進(jìn)行求解.具體解題過程略.

（2）f（x）≥1的解集是R對x∈R，f（x）≥1恒成立對x∈R，log2（|2x+1|+|x+2|-m）≥1=log22恒成立對x∈R，|2x+1|+|x+2|≥m+2恒成立.（此時(shí)參數(shù)m被移到了不等式的一邊）令g（x）=|2x+1|+|x+2|，只要g（x）min≥m+2即可，所以該問題轉(zhuǎn)化成了求新函數(shù)g（x）的最小值問題.要想求g（x）的最小值，可以先將函數(shù)y=g（x）表示成分段函數(shù)的形式，再通過它的圖像或利用函數(shù)的單調(diào)性來求得.

思路二 數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)的圖像求參數(shù)范圍.（適用條件：若參數(shù)不容易分離，即不能把參數(shù)移到不等式的一側(cè)時(shí)，通常利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解.）

例2 （2010新課標(biāo)全國卷）設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-4|+1

（1）畫出函數(shù)y=f（x）的圖像.若不等式f（x）≤ax的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解 （1）f（x）=|2x-4|+1=2x-3 x≥2

-2x+5 x<2作出函數(shù)的圖像如圖1所示.

圖 1 圖 2

（2）解 f（x）≤ax的解集非空f（x）≤ax有實(shí)數(shù)解.（此時(shí)若分離參數(shù)a，需要分x>0和x<0兩種情況進(jìn)行討論：x>0時(shí)，f（x）x≤a有解;x<0時(shí)，f（x）x≥a有解，而這時(shí)求新函數(shù)g（x）=f（x）x的最值比較困難和麻煩，但是如果將ax看作另一個(gè)函數(shù)g（x），即設(shè)g（x）=ax，會使問題變得簡單很多.）設(shè)g（x）=ax，則f（x）≤g（x）有實(shí)數(shù)解存在x∈R，使得f（x）≤g（x），在圖像上則表現(xiàn)為函數(shù)y=f（x）的圖像與y=g（x）的圖像有交點(diǎn)（函數(shù)y=g（x）的圖像是過原點(diǎn)（0，0），斜率為a的直線），由圖2可知a≥12或a<-2.

方法總結(jié)

（1）首先識別是“恒成立”還是“有解”問題.

（2）判斷是否可以分離參數(shù)，如果可以，將問題轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值問題;如果不可以，利用數(shù)形結(jié)合的思想求參數(shù)范圍.

（3）“恒成立”問題常見形式：

f（x）>m恒成立f（x）min>m，

f（x）

f（x）

（4）“有解”問題常見形式：

f（x）

f（x）>m有解f（x）max>m，

f（x）