關(guān)于求參數(shù)取值范圍的兩道高考題的探析

賈玉鳳

高中數(shù)學(xué)中求參數(shù)取值范圍的題目屢見不鮮，其解決方法也是多種多樣，例如常用的分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、特值驗證法等.下面就本人對2014年全國（Ⅱ卷）高考數(shù)學(xué)（理科）試卷中出現(xiàn)的有關(guān)求參數(shù)取值范圍的兩道題的見解闡述如下.

一、2014年新課標卷Ⅱ高考（理科）第12題解析

題目：設(shè)函數(shù)f（x）=3sinπxm，若存在f（x）的極值點x0滿足x20+fx02

A.-∞，-6∪6，+∞

B.-∞，-4∪4，+∞

C.-∞，-2∪2，+∞

D.-∞，-1∪1，+∞

分析1 作為選擇題，看完題干后，要觀察選項，找出選項間的差異，用特值等方法去排除錯誤答案，從而得到正確答案.

解法1 由題可知，f′（x）=3πmcosπxm，

而f′x0=0，所以3πmcosπx0m=0，

即πx0m=kπ+π2，k∈Z，

所以x0=mk+12，k∈Z.

而fx0=±3，

所以fx02=3.

所以原題轉(zhuǎn)化為存在x0，使得x20+3

而存在x0，使得x20+3

當m=0時不成立;

當m≠0時，存在整數(shù)k，使得k+122

分析2 此題乍一看，形式較復(fù)雜，仔細再看，條件“x0是f（x）的極值點”很重要，可以作為一個突破點，從而可得到x0的值，再繼續(xù)挖掘，會發(fā)現(xiàn)fx02竟然是常數(shù)3，極大程度上簡化了此題.顯然，利用熟悉的分離參數(shù)法即可解決.

解法2 由題可知，f′（x）=3πmcosπxm，

而f′x0=0，所以3πmcosπx0m=0，

即πx0m=kπ+π2，k∈Z，

所以x0=mk+12，k∈Z.而fx0=±3，

所以fx02=3.

所以原題轉(zhuǎn)化為存在x0，使得x20+3

當m=0時不成立;

當m≠0時，存在整數(shù)k，使得k+122

令g（k）=k+122，k∈Z，h（m）=m2-3m2，

則只需h（m）大于g（k）的最小值即可.

而當整數(shù)k=0或k=-1時g（k）的最小值為14，

所以h（m）>14，即m2-3m2>14，

從而解得m2>4.所以選C.

分析3 在解題時，我們經(jīng)常會通過轉(zhuǎn)化的思想將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，所以根據(jù)我們經(jīng)常把“存在性問題”轉(zhuǎn)化為“恒成立問題”的思想，也可以有以下解法.

解法3 法2中，當m≠0時，存在整數(shù)k，

使得k+122

即m2-3m2≤k+122對一切整數(shù)k恒成立，

所以m2-3m2≤14即可，即m2≤4且m≠0.

所以m2>4時，存在整數(shù)k，

使得k+122

即m<-2或m>2.選C.

二、2014年新課標卷Ⅱ高考（理科）第16題解析

題目：設(shè)點M（x0，1）.若在圓O：x2+y2=1上存在點N，

使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是.

分析1 涉及圓的問題我們常會想到數(shù)形結(jié)合，所以

由圖可得以下解法.

解法1 考慮到點M（x0，1）始終在圓O：x2+y2=1的一條切線y=1上，設(shè)切點為P0，1，所以想到過M（x0，1）

作圓O：x2+y2=1的另外一條切線MQ，切點為Q，

得到四邊形OPMQ.顯然要想在圓O：x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，只需∠PMQ≥90°，所以M（x0，1）只能在y=1-1≤x0≤1上運動，所以x0∈[-1，1].

分析2 作為填空題，因為不展示過程，所以我們可以通過特殊值或圖像的特殊狀態(tài)求解.

解法2 直接利用特殊狀態(tài).

即當x0=±1時，過M（x0，1）作圓O：x2+y2=1的另外一條切線MQ，切點為Q，則Q即為N.

當x0<-1或x0>1時，過M（x0，1）作圓O：x2+y2=1的另外一條切線MQ，切點為Q，都會使得∠OMQ<45°，

由圖可知，此時在圓O：x2+y2=1上不存在點N，使得∠OMN=45°;當-145°，由圖可知，此時在圓O：x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°.所以x0∈[-1，1].

通過以上兩題的解法，我們發(fā)現(xiàn)，在解決求參數(shù)取值范圍的題目時，我們既要學(xué)會一般的、常規(guī)的方法，即分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等，還要根據(jù)具體的問題以及它們出現(xiàn)的形式而靈活地采取恰當?shù)姆椒?，如上述的轉(zhuǎn)化法或特殊狀態(tài)法等.