反函數(shù)求導(dǎo)法新論

梁素梅 李紅娟

【摘要】本文從多角度推導(dǎo)出反函數(shù)求導(dǎo)法，在反函數(shù)的性質(zhì)基礎(chǔ)上，結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則以及隱函數(shù)求導(dǎo)法則，有效地結(jié)合起來(lái)，使反函數(shù)求導(dǎo)方法豐富多彩.

【關(guān)鍵詞】反函數(shù);隱函數(shù);鏈?zhǔn)椒▌t;求導(dǎo)

一、反函數(shù)求導(dǎo)法

1.反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)

如果函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)，又在該區(qū)間內(nèi)點(diǎn)x處導(dǎo)數(shù)f′（x）存在且不為0，則其反函數(shù) x=f-1（y）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)y處可導(dǎo)，且有

（f-1（y））′=1f′（x），（1）

dxdy=1dydx.（2）

首先我們知道的關(guān)于反函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)是，若記函數(shù)f（x）的反函數(shù)為f-1（y），那么有：

f[f-1（y）]=y.（3）

f-1[f（x）]=x.（4）

2.反函數(shù)性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：由幾個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，叫復(fù)合函數(shù).由函數(shù)y=f（u）與u=φ（x）復(fù)合而成的函數(shù)一般形式是y=f[φ（x）]，其中u稱為中間變量.

y=f（u）在u處可導(dǎo)，u=φ（x）在x處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ（x）]在x處也可導(dǎo)，且dydx=dydu·dudx或dydx=d[f（u）]du·d[φ（x）]dx或（f[φ（x）]）′=f′（u）φ′（x）.（5）

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法還可以推廣到含有更多個(gè)中間變量的情形.

3.反函數(shù)性質(zhì)和隱函數(shù)求導(dǎo)

隱函數(shù)求導(dǎo)法則：設(shè)方程F（x，y）=0確定了可導(dǎo)函數(shù)y=f（x），在方程F（x，y）=0的兩端分別對(duì)x求導(dǎo)，最后解出y′.隱函數(shù)求導(dǎo)法的關(guān)鍵是要把y當(dāng)作x的函數(shù)y=f（x），利用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)，并且最后解出的y′是一個(gè)關(guān)于x，y的函數(shù)，即y′=G（x，y）.

二、反函數(shù)求導(dǎo)法例釋

例1 求函數(shù)x=ln（y）的導(dǎo)數(shù).

解 此函數(shù)是y=ex的反函數(shù)，y′=ex.

解法1 由公式（1）得x′=1y′=1ex=1y.

解法2 由式子（3）可得elny=y，兩邊對(duì)y求導(dǎo)，左邊由鏈?zhǔn)椒▌t得elnydlnydy，右邊=1，即elnydlnydy=1，得dlnydy=1y.

解法3 y=ex，即F（x，y）=y-ex=0，兩邊對(duì)y求導(dǎo)，1-exx′=0，即x′=1ex=1y.

例2 求反正弦函數(shù)x=arcsin y （-1 < y < 1）的導(dǎo)數(shù).

解 函數(shù)的反函數(shù)是y=sinx，-π2

解法1 由公式（1）得x′=1y′=1cosx=11-y2.

解法2 由式子（3）可得sin（arcsiny）=y，

兩邊對(duì)y求導(dǎo)，左邊由鏈?zhǔn)椒▌t得

cos（arcsiny）darcsinydy，

右邊=1.∵cosx=cosB=1-y2，

∴左邊=1-y2 darcsinydy=1，得

darcsinydy=11-y2.

解法3 y=sinx，即F（x，y）=y-sinx=0，兩邊對(duì)y求導(dǎo)得，1-cosxx′=0即x′=1cosx=11-y2.

用類似的方法可求得反余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（arccosx）′=11-x2，（-1

顯然從以上兩個(gè)例子可以看出，三種方法都可以求解反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可根據(jù)具體情況具體采用相應(yīng)的方法達(dá)到簡(jiǎn)化反函數(shù)求導(dǎo)步驟.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)·上冊(cè)[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007：1-88.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.上冊(cè)[M].第三版.北京：高等教育出版社，2001：98-100.