從一道新加坡高中數(shù)學(xué)考試題談起

叢心尉

【摘要】 利用函數(shù)在特殊點的函數(shù)取值范圍，判斷函數(shù)待定系數(shù)滿足的不等式，并引入門捷列夫的一個關(guān)于此類不等式證明的猜想，同時舉例說明這種普通解題方法與門捷列夫猜想在實際解題中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】最大值;門捷列夫猜想

新加坡來華東各省市招收高中后保送生，曾考過這樣一道題目：

題 對x∈[0，1]，設(shè)ax2+bx+c≤1，求|a|+|b|+|c|的最大值.

解 設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，x∈[0，1]，則

f0=c

f（1）=a+b+c

f12=14a+12b+c

解這個關(guān)于a，b，c的三元線性方程組，即用函數(shù)值表達(dá)f（x）的系數(shù)，得

a=2f（1）-4f12+2f0，

b=4f12-f（1）-3f0，

c=f0.

因x∈[0，1]，f（x）≤1，故

|a|=2f（1）-4f12+2f0

≤2f（1）+-4f12+2f0

≤2+4+2=8.

同理，|b|≤8，c≤1.故|a|+|b|+c≤17，即所求最大值為17.

相傳，化學(xué)元素周期表的創(chuàng)始者門捷列夫（1834—1907）曾作過下列猜想：

設(shè)x≤1，若一元n次多項式

f（x）=anxn+…+a2x2+a1x+a0

滿足f（x）≤M，則導(dǎo)數(shù)的絕對值f′（x）≤Mn2.

下面通過一道例題的兩種解法（普通解法與門捷列夫猜想）來說明此類題的解法.

例 設(shè)x≤1時，ax2+bx+c≤1，求證：x≤1時，2ax+b≤4.

證法1 設(shè)f（x）=ax2+bx+c，則

f-1=a-b+c

f（1）=a+b+c

f0=c

a=12f（1）+f-1-2f0，

b=12f（1）-f-1.

因x≤1時，f（x）≤1，故

2ax+b=f（1）+f-1-2f0x+12f（1）-f-1

=x+12f（1）+x-12f-1-2xf0

≤x+12+x-12+2≤4

證法2 利用本文所證結(jié)論，設(shè)f（x）=ax2+bx+c，

則f′（x）=2ax+b.

∵已知x≤1時，f（x）=ax2+bx+c≤1，

∴當(dāng)x≤1時，f′（x）=2ax+b≤1×22=4.

【參考文獻(xiàn)】

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