例談高考對“坐標系與參數(shù)方程”的考查

鐵志榮

新課標高考試卷中，作為三選一內容之一的“坐標系與參數(shù)方程”在歷年的考試中，試題的形式和難度逐漸發(fā)生著變化，但由于其內容基礎，方法基本，且與三角函數(shù)、直線 與圓以及圓錐曲線的聯(lián)系較為緊密，故此考試中試題的難度不大.因此，在學習中，掌握考試要求，注重基本內容和方法，以基礎為重點，抓住知識要點，少做難題，達到靈活轉換即可.

一、考查點或曲線的極坐標與直角坐標的互化

例1 （2007年新課標）⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別為ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ.

（1）把⊙O1和⊙O2的極坐標方程化為直角坐標方程;

（2）求經(jīng)過⊙O1和⊙O2交點的直線的直角坐標方程.

解析 以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位.

（1）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ.所以x2+y2=4x.

即x2+y2-4x=0為⊙O1的直角坐標方程.同理x2+y2+4y=0為⊙O2的直角坐標方程.

（2）由x2+y2-4x=0，

x2+y2+4y=0，解得x1=0，

y1=0，x2=2，

y2=-2.即⊙O1，⊙O2交于點（0，0）和（2，-2）.過交點的直線的直角坐標方程為y=-x.

方法總結 1.要抓住極坐標與直角坐標互化公式x=ρcosθ

y=ρsinθ和ρ2=x2+y2

tanθ=yx（ρ≥0，

0≤θ≤2π）這個關鍵點，這樣就可以把極坐標問題轉化為直角坐標問題解決.2.對點的極坐標與直角坐標的互化要抓住公式，但要注意把點的直角坐標化為極坐標，求極角θ時，應注意判斷點P所在的象限，以便正確地求出角θ，當點位于直角坐標軸上時，可以充分利用數(shù)形結合的思想直接寫出點的極坐標.

二、考查曲線的參數(shù)方程和普通方程的互化

例2 （2008年新課標）已知曲線C1：x=cosθ，

y=sinθ（θ為參數(shù)），曲線C2：x=22t-2，

y=22（t為參數(shù)）.

（1）指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點的個數(shù);

（2）若把C1，C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線C′1，C′2.寫出C′1，C′2的參數(shù)方程.C′1與C′2公共點的個數(shù)和C1與C2公共點的個數(shù)是否相同？說明你的理由.

解析 （1）C1是圓，C2是直線.C1的普通方程為x2+y2=1，圓心C1（0，0），半徑r=1.C2的普通方程為x-y+2=0.因為圓心C1到直線x-y+2=0的距離為1，所以C2與C1只有一個公共點.

（2）壓縮后的參數(shù)方程分別為C′1：x=cosθ，

y=12sinθ（θ為參數(shù)）; C′2：x=22t-2，

y=24t（t為參數(shù)）.化為普通方程為：C′1：x2+4y2=1，C′2：y=12x+22，聯(lián)立消元得2x2+22x+1=0，其判別式Δ=（22）2-4×2×1=0，故壓縮后的直線C′2與橢圓C′1只有一個公共點，和C1與C2公共點個數(shù)相同.

方法總結 將參數(shù)方程化為普通方程的關鍵是消去參數(shù)：一要熟練掌握常用的消參方法（如整體代換、代入消去法、加減消去法、恒等式（三角的或代數(shù)的）消去法），二要注意參數(shù)的取值范圍的一致性.

三、考查點的軌跡的參數(shù)方程

例3 （2010年新課標卷）已知直線C1：x=1+tcosα，

y=tsinα（t為參數(shù)），C2：x=cosθ

y=sinθ（θ為參數(shù)）.

（1）當α=π3時，求C1與C2的交點坐標;

（2）過坐標原點O作C1的垂線，垂足為A，P為OA中點，當α變化時，求P點的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線.

解析 （1）當α=π3時，C1的普通方程為y=3（x-1），C2的普通方程為x2+y2=1.聯(lián)立方程組，解得C1與C2的交點為（1，0），（12，-32）.

（2）C1的普通方程為xsinα-ycosα-sinα=0.A點坐標為sin2α-cosαsinα，故當α變化時，P點軌跡的參數(shù)方程為x=12sin2α，

y=-12sinαcosαα為參數(shù)，P點軌跡的普通方程為（x-14）2+y2=116，故P點軌跡是圓心為14，0，半徑為14的圓.

方法總結 用參數(shù)法求點的軌跡方程，是通過已知條件把所求的點的橫、縱坐標分別表示為某個參數(shù)（該參數(shù)通常是角度）的函數(shù)，但要注意參數(shù)的取值范圍.

四、考查曲線參數(shù)方程的應用

例4 （2013年浙江）在直角坐標系xOy中，曲線C：x=2cosθ，

y=sinθ（θ為參數(shù)），過點P（2，1）的直線與曲線C交于A，B兩點.若PA·PB=83，求AB的值.

解析 由題意，曲線C的直角坐標方程為x2+2y2=2.設過點P（2，1）且傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為x=2+tcosα，

y=1+tsinα（t為參數(shù)），設點A，B對應的參數(shù)分別為t1，t2.將直線的參數(shù)方程代入x2+2y2=2，化簡得（1+sin2α）t2+4（sinα+cosα）t+4=0，

則Δ=16（2sinαcos2α-sin2α）>0 且t1+t2=4（sinα+cosα）1+sin2α，t1t2=41+sin2α.

由PA·PB=83得t1t2=41+sin2α=83，故sin2α=12，又由Δ>0得0

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方法總結 1.曲線的參數(shù)方程為x=f（θ），

y=g（θ） （θ是參數(shù)）時，曲線上任一點的坐標即可設為（f（θ），g（θ））.2.在選修教材中，只考查過定點P（x0，y0）且傾斜角為α的直線的參數(shù)方程x=x0+tcosα，

y=y0+tsinα（t是參數(shù)），因其參數(shù)t 有實際的幾何意義，故對直線的參數(shù)方程的考查會逐漸加強.3.根據(jù)直線的參數(shù)方程的標準式中參數(shù)t的幾何意義，有如下常用結論：（1）直線與圓錐曲線相交于點A，B，設點A，B對應的參數(shù)分別為t1，t2，則弦長AB=t1-t2;（2）若定點P是弦AB的中點，則t1+t2=0;（3）設弦AB中點為M，則點M對應的參數(shù)值t=t1+t22（由此可求AB及中點M的坐標）.