極限算法的幾種特殊技巧

徐芹

【摘要】極限是微積分學(xué)最重要的概念之一，是高等數(shù)學(xué)后續(xù)知識的基礎(chǔ).而極限的計算是微積分學(xué)的基本運算之一.本文介紹了一些特殊的極限計算方法并通過實例加以說明，力求使初學(xué)者掌握更多計算極限的方法和技巧.

【關(guān)鍵詞】極限;特殊算法;夾逼原理;Stolz原理;單調(diào)有界;收斂

極限討論的是變化趨勢問題，極限的計算是事物運動變化由量變到質(zhì)變的辯證規(guī)律在數(shù)上的反映.導(dǎo)數(shù)和積分的定義都是建立在極限的計算基礎(chǔ)上的.因此，熟練掌握極限的計算是必須的.常用的極限計算方法有利用定義求極限、利用極限的四則運算法則和性質(zhì)求極限、利用兩個重要極限公式求極限、利用等價無窮小求極限、利用洛必達法則求未定式的極限等等.但有些極限的計算需要有一些特殊的技巧，下面列舉一些特殊的極限計算方法供大家參考，除增加極限的算法外，也力求能夠?qū)ξ⒎e分的知識有貫通性的把握.

1.利用夾逼原理求數(shù)列極限

夾逼定理：設(shè){an}，{bn}，{cn}為三個數(shù)列，an≤cn≤bn，limn→∞an=limn→∞bn=a，則limn→∞cn=a.

例1 求極限limn→∞∑ni=112n2+i .

解 n2n2+n≤∑ni=112n2+i≤n2n2+1，

limn→∞n2n2+n=limn→∞n2n2+1=22.

由夾逼原理有 limn→∞∑ni=112n2+i=22.

此方法的要點是當極限不易直接求出時，可考慮將求極限的數(shù)列作適當?shù)姆糯蠛涂s小，使放縮后所得的新數(shù)列易于求極限，且兩者的極限值相同，則原數(shù)列的極限存在，且等于此公共值.

2.利用級數(shù)審斂法求極限

通過此方法是找出要求極限的數(shù)列所對應(yīng)的級數(shù)∑an.如果能判定此級數(shù)是收斂的，則由級數(shù)收斂的必要條件可知limn→∞an=0.

例2 計算limn→02n·n！nn.

解 設(shè)an=2n·n！nn，有級數(shù)∑∞n=12n·n！nn.

因為limn→∞an+1an=limn→∞2n+1·（n+1）?。╪+1）n+1·nn2n·n！=limn→∞2·nn（n+1）n=2limn→∞11+1nn=2e<1，

由級數(shù)審斂法可知級數(shù)∑an收斂，故limn→02n·n！nn=0.

雖然這種方法只能判斷以零為極限的數(shù)列，具有很大局限性，但由于級數(shù)的審斂方法很多，所以對某些極限來說使用該方法還是方便的.

3.利用Stolz原理求數(shù)列極限

CauchyStolz定理：設(shè)數(shù)列{xn}及{yn}滿足條件：

（1） {yn}嚴格遞增且limn→∞yn=+∞;

（2） limn→∞xn+1-xnyn+1-yn存在（有限或為±∞），則limn→∞xnyn=limn→∞xn+1-xnyn+1-yn.

例3 設(shè)k為正整數(shù)，證明limn→∞1k+2k+…+nknk+1=1k+1.

證明 令xn=1k+2k+…+nk，yn=nk+1，由Stolz定理，

limn→∞1k+2k+…+nknk+1=limn→∞xnyn

=limn→∞xn+1-xnyn+1-yn=limn→∞（n+1）k（n+1）k+1-nk+1

=limn→∞（n+1）k（k+1）nk+12（k+1）knk-1+…+1=1k+1.

例4 求極限limn→∞1n！∑np=1p！.

解 令xn=∑np=1p！，yn=n！，則yn嚴格遞增且limn→∞yn=+∞.由CauchyStolz定理，有l(wèi)imn→∞∑np=1p！n！=limn→∞xnyn=limn→∞xn+1-xnyn+1-yn

=limn→∞（n+1）?。╪+1）！-n！=limn→∞n+1n=1.

4.利用極限滿足的關(guān)系式求極限

設(shè)f是連續(xù)函數(shù)，若數(shù)列{xn}由式xn+1=f（xn）給出，就說該數(shù)列是用遞推方法給出的.倘若{xn}收斂于x-，對式xn+1=f（xn）兩端求極限，注意到f的連續(xù)性，有x-=limn→∞xn+1=limn→∞f（xn）=f（x-）.可見{xn}的極限是方程x=f（x）的解.于是問題歸結(jié)為證明數(shù)列{xn}收斂.通常用單調(diào)有界原理或數(shù)列收斂的Cauchy準則證明{xn}收斂.我們也看到，決定遞推式xn+1=f（xn）給出的數(shù)列的要素是初值x0和函數(shù)f.為使{xn}收斂，討論初值x0和函數(shù)f所應(yīng)滿足的條件，?？山o出一般的結(jié)果，例如壓縮映象原理.這類數(shù)列的收斂問題，用某些一般的結(jié)果，可給出較簡潔的證明.

例5 已知函數(shù)f在[0，+∞）上連續(xù)，且0≤f（x）≤x，x∈[0，+∞）.對a1≥0，構(gòu)造數(shù)列an+1=f（an），n=1，2，….證明：

?。﹞an}為收斂數(shù)列;

ⅱ）設(shè)limn→∞an=t，則f（t）=t;

ⅲ）若條件改為0≤f（x）

證明 ⅰ）an+1=f（an）≤an，an單調(diào)遞減，由單調(diào)有界原理，{an}收斂.

ⅱ）設(shè)limn→∞an=t，對式an+1=f（an）兩端取極限，利用f的連續(xù)性有

t=limn→∞an+1=limn→∞f（an）=f（limn→∞an）=f（t）.

ⅲ）倘若t>0，有t=f（t）

可以看到，極限的計算既是一種重要的運算，同時它又牽扯到多方面的知識點和技巧，相信通過極限計算能力的提高也必然可以提升我們綜合處理問題的能力.

【參考文獻】

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