例談高中數(shù)學(xué)“有效數(shù)學(xué)活動(dòng)”的構(gòu)建

熊春華

【摘要】基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是我國義務(wù)階段教育在原來“二基”目標(biāo)的基礎(chǔ)上提出“四基”目標(biāo)的一個(gè)基本目標(biāo).學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得離不開數(shù)學(xué)活動(dòng)參與，高中數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是活動(dòng)的課堂，加強(qiáng)學(xué)生的活動(dòng)意識是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心問題.然而，一些高中教師在組織數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中，缺少對數(shù)學(xué)活動(dòng)有效性的把握，導(dǎo)致其重要目標(biāo)——數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)無法實(shí)現(xiàn).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)活動(dòng)參與;活動(dòng)意識;數(shù)學(xué)活動(dòng)有效性

筆者通過對高中數(shù)學(xué)教師公開課觀摩，發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)活動(dòng)存在以下問題：一是教師精心設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)得不到學(xué)生的積極響應(yīng);二是數(shù)學(xué)具有濃厚的功利色彩，課堂教學(xué)只側(cè)重于顯性的知識與技能，忽視過程性知識的生成，三維目標(biāo)達(dá)成不夠全面;三是缺少數(shù)學(xué)活動(dòng)的整體性、有機(jī)性.基于此，筆者就有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)實(shí)施策略談一談個(gè)人看法.

一方面，數(shù)學(xué)活動(dòng)是圍繞數(shù)學(xué)問題開展的活動(dòng)，學(xué)生是教學(xué)活動(dòng)的主體，只有學(xué)生積極投入才能避免出現(xiàn)“被動(dòng)參與”.另一方面，高中數(shù)學(xué)課程設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”“數(shù)學(xué)建模”等學(xué)習(xí)活動(dòng)，為學(xué)生積極參與創(chuàng)造了有利的條件，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，在知識掌握的過程中，培養(yǎng)學(xué)生掌握獲取知識的思想方法以及幫助學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣.因此，筆者認(rèn)為，高中數(shù)學(xué)活動(dòng)的實(shí)施應(yīng)從注重思維參與、彰顯思想方法、突出同化演繹、加強(qiáng)反饋評價(jià)四個(gè)方面來加以落實(shí).下面，筆者將就這四個(gè)方面結(jié)合教學(xué)案例加以剖析.

1.課堂活動(dòng)注重思維參與

學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)能夠培養(yǎng)學(xué)生的自主意識、合作意識.沒有學(xué)生積極投身思考的數(shù)學(xué)活動(dòng)是無效的，沒有學(xué)生積極參與的數(shù)學(xué)活動(dòng)是低效的.教師在活動(dòng)過程中應(yīng)該創(chuàng)設(shè)良好的人際關(guān)系和學(xué)習(xí)氛圍，激發(fā)學(xué)生的參與意識，努力提高學(xué)生的參與質(zhì)量.這種活動(dòng)參與應(yīng)該從激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)出發(fā)、構(gòu)建良好的師生關(guān)系、形成高效的活動(dòng)評價(jià)三個(gè)方面來調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀參與.

案例1 “對數(shù)函數(shù)”活動(dòng)片段

《莊子·天下篇》：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”它說明一尺的棰子是有限的物體卻可以無限地分割下去.下面大家結(jié)合莊子的這句話思考如下問題：

問題1 一尺之棰，日取其半，取五次還剩多長呢？

師：不妨設(shè)有一尺長的棰子，每天取它的一半，五次之后剩下的那部分還有多長呢？可以先看看第一次剩下的那部分有多長，再看第二次……

生1：結(jié)合已經(jīng)學(xué)習(xí)過的指數(shù)函數(shù)的模型，容易得剩下的長度為125=132.

問題2 取多少次以后還剩0.125尺？

生2：設(shè)x次以后還剩0.125尺，列方程有12x=0.125=18.經(jīng)過代入x=1，2，3發(fā)現(xiàn)x=3方程成立.

師：非常好！用設(shè)未知量的方法建立等式方程，是我們解決未知函數(shù)應(yīng)用問題的一般方法.解12x=0.125=18時(shí)利用特殊值的方法也能夠求出來.但有些時(shí)候我們用特殊值卻不方便.

問題3 取多少次以后剩下的長度剛好小于1100尺呢？

生3：12x-1≥1100且12x≥1100，但不知道該怎么求解.

師：嗯，很好，那這節(jié)課我就教大家如何解12x≥1100.

本節(jié)活動(dòng)能夠做到貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，學(xué)生對于問題3，口欲言而不能，把學(xué)生置于“憤”“悱”境地，學(xué)生思維活動(dòng)被充分地調(diào)動(dòng)起來.指數(shù)函數(shù)教學(xué)位于對數(shù)函數(shù)教學(xué)之前，起到了前后呼應(yīng)的效果.“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”讓抽象的數(shù)學(xué)語言變得具體，更貼近生活實(shí)際，為學(xué)生數(shù)學(xué)探究營造了良好的數(shù)學(xué)氛圍.教師在活動(dòng)中多以鼓勵(lì)為主，注意合適引導(dǎo)加上及時(shí)鼓勵(lì)，能夠增強(qiáng)學(xué)生參與的積極性，樹立參與活動(dòng)的自信心.

2.知識形成彰顯思想方法

數(shù)學(xué)活動(dòng)既是一個(gè)肢體上的活動(dòng)，也是思維上的活動(dòng)，活動(dòng)的過程必須體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想方法.缺少了數(shù)學(xué)思想的活動(dòng)，數(shù)學(xué)活動(dòng)就沒有了“靈魂”，對學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的獲取無法產(chǎn)生深刻的影響.因而，數(shù)學(xué)活動(dòng)的有效體現(xiàn)在活動(dòng)過程中經(jīng)歷了數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識與理解.

案例2 “二項(xiàng)式定理”活動(dòng)片段

我們知道（a+b）2=a2+2ab+b2，那么將（a+b）3，（a+b）4，…，（a+b）n展開后，結(jié)果是多少？

探究1：從特殊入手，推導(dǎo)（a+b）3展開式，學(xué)生順利給出（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3.教師引導(dǎo)學(xué)生把每一項(xiàng)及其對應(yīng)的系數(shù)表達(dá)出來，每一項(xiàng)的字母的指數(shù)和展開式的冪存在什么關(guān)系？每一項(xiàng)系數(shù)用組合數(shù)可以如何表示？

（a+b）3展開式中的項(xiàng)

a3

a2b

ab2

b3

各項(xiàng)的系數(shù)

1

3

3

1

每一項(xiàng)的系數(shù)

C03

C13

C23

C33

展開式中的項(xiàng)由學(xué)生歸納：a3-rbr，r∈0，1，2，3;每一項(xiàng)的系數(shù)歸納：Cr3.容易寫出其展開式：（a+b）3=C03a3+C13a2b+C23ab2+C33b3.

探究2：用（a+b）3展開式的表達(dá)形式，寫出（a+b）4展開式.教師啟發(fā)學(xué)生觀察上述等式，尋找其項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)次數(shù)及展開式中各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn).

探究3：猜想（a+b）n （n∈N）展開式，并加以驗(yàn)證.

探究1屬于引導(dǎo)學(xué)生積極參與的過程，具有知識學(xué)習(xí)的針對性，探究2與探究3在原來的基礎(chǔ)上分別提升活動(dòng)的難度，這種分層次學(xué)習(xí)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思想建構(gòu)過程.如果讓學(xué)生直接思考（a+b）n展開式，就大大增加了教學(xué)的難度.以上數(shù)學(xué)活動(dòng)師生共同探究，讓學(xué)生在歸納和猜想中培養(yǎng)抽象概括能力，二項(xiàng)式定理的形成過程中體現(xiàn)了從特殊到一般的思想.它使得學(xué)生在掌握知識的過程中獲得能力，從而為學(xué)生提供解決問題的一般方法.數(shù)學(xué)活動(dòng)的目標(biāo)實(shí)現(xiàn)應(yīng)該體現(xiàn)了簡單到復(fù)雜的原則，學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中不僅要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和技能，還要掌握科學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法.

3.概念獲得突出同化演繹

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是一個(gè)不斷變化的動(dòng)態(tài)組織.隨著數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的進(jìn)行，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷分化和重組，并逐漸地變得更加精確和完善.正是數(shù)學(xué)認(rèn)知存在了這樣的特性，教師在數(shù)學(xué)活動(dòng)中應(yīng)充分利用學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，建立與新知識之間的關(guān)系.對于數(shù)學(xué)概念性知識的學(xué)習(xí)突顯同化演繹的過程，利用新舊知識的共性以及認(rèn)知沖突，在活動(dòng)的過程中讓學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)概念.

案例3 “復(fù)數(shù)的概念及定義”活動(dòng)片段

問題1 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，求方程10x-x2=21的解.

大部分學(xué)生利用求根公式的方法，很快能夠求出方程的解.少數(shù)學(xué)生利用十字交叉相乘的方法也能夠求出方程的解.

問題2 解方程10x-x2=40.

按照已經(jīng)存在于自己解題習(xí)慣的思路，大部分學(xué)生通過檢驗(yàn)“Δ”的方法發(fā)現(xiàn)Δ=-15<0，判斷方程無解.一部分學(xué)生由于提前預(yù)習(xí)了教材，認(rèn)為此方程的根是x=5±-15.

問題3 在正整數(shù)范圍內(nèi)，方程x+2=0有解嗎？類似地，在有理數(shù)范圍內(nèi)，x2=2有解嗎？我們又讓它怎樣有解？

生1：在正整數(shù)范圍內(nèi)方程x+2=0是沒有解的，在整數(shù)范圍內(nèi)有解，且解為x=2;在有理數(shù)范圍內(nèi)，x2=2也是沒有解的，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解，且解為x=2.

師：正整數(shù)與整數(shù)之間的集合關(guān)系是怎樣的？有理數(shù)與實(shí)數(shù)之間的集合關(guān)系又是怎樣的呢？

生2：正整數(shù)是整數(shù)的子集，整數(shù)包含正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零;有理數(shù)是實(shí)數(shù)的子集，實(shí)數(shù)包含有理數(shù)和無理數(shù).

問題4 x（10-x）=40在實(shí)數(shù)域無解，根據(jù)以上經(jīng)驗(yàn)將實(shí)數(shù)域也進(jìn)行擴(kuò)充，方程在新的定義域有解.要使得方程有解為x=5±-15，需要滿足什么條件呢？

生3：要滿足-1有意義，事實(shí)上x=5±15-1.

師：非常好！這節(jié)課我們就是在特殊數(shù)域內(nèi)解決-1有意義的問題，也就是我們今天要學(xué)習(xí)的復(fù)數(shù)域.

發(fā)現(xiàn)問題、解決問題是實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力提高的基本步驟.問題1與問題2屬于同一條件、不同問題同化演繹過程，這種知識層面的沖突能夠刺激學(xué)生的活動(dòng)激情.問題3與問題4都體現(xiàn)了數(shù)系的擴(kuò)充過程，也體現(xiàn)了概念學(xué)習(xí)的同化演繹過程.這種知識的不斷過渡，能夠引導(dǎo)學(xué)生從已知的學(xué)習(xí)沖突中發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識問題，（x-5）2=-15要有解必須滿足-15能夠開方，也即是任意的負(fù)數(shù)可以開方，由此就必須在實(shí)數(shù)域的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的基本概念.

4.克服難點(diǎn)依賴反饋評價(jià)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得是檢驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)成功的重要表現(xiàn).曹才翰和蔡金法認(rèn)為“要讓學(xué)生自己總結(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)比較難，所以作為學(xué)生學(xué)習(xí)指導(dǎo)的教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使他們能夠快速、直接地掌握數(shù)學(xué)活動(dòng)技能”，也就是說數(shù)學(xué)活動(dòng)效果有待于教師在活動(dòng)的過程中適時(shí)地加以診斷和評價(jià)，進(jìn)而給出有目的性、有針對性的反饋.提醒學(xué)生充分地重視本節(jié)課所應(yīng)掌握的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，進(jìn)而反思.

案例4 “圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”反饋活動(dòng)片段

問題1 綜合平面幾何的知識，從方程的角度探究：過點(diǎn)A（1，0）能確定圓嗎？為什么？

生1：不能，從幾何知識可知，過平面內(nèi)的一點(diǎn)可以畫出無數(shù)個(gè)圓.

生2：不能，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=R2，存在a，b，R三個(gè)未知量，將A（1，0）代入標(biāo)準(zhǔn)方程只能得到一個(gè)方程.求三個(gè)未知量應(yīng)該建立三個(gè)方程才有唯一解，因此，過一點(diǎn)A（1，0）不能確定圓.

問題2 過點(diǎn)A（1，0），B（3，0）能確定圓嗎？為什么？

生3：不能，因?yàn)閷⑦@兩點(diǎn)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只能得到兩個(gè)方程，方程中存在三個(gè)未知量，兩個(gè)方程組不能算出方程的唯一解.

問題3 在問題2中增加什么條件可以確定一個(gè)圓？試寫出增加的條件，并說明解題的思路.

生4：已知圓上不同于A（1，0），B（3，0）的另一點(diǎn)，可以分別代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到三個(gè)方程，解出a，b，R.

生5：已知圓的半徑，將A（1，0），B（3，0）代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b.

生6：存在一條已知直線與該圓相切，利用圓心（a，b）到該直線的最短距離d等于半徑R.

“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)重點(diǎn)就是讓學(xué)生會寫圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及確定一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的三要素，教學(xué)難點(diǎn)是求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程條件確定.設(shè)計(jì)這樣的數(shù)學(xué)反饋活動(dòng)，對于糾正學(xué)生的學(xué)習(xí)誤區(qū)、鞏固難點(diǎn)是十分必要的.借助這幾個(gè)問題既要檢驗(yàn)學(xué)生在活動(dòng)的過程中是否理解確定圓的方程需要哪些要素，又要以開放的角度養(yǎng)成學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn).這種活動(dòng)的反饋，對于經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)、錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)的診斷起到了良好的作用.

促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展是數(shù)學(xué)活動(dòng)的重要目標(biāo)，數(shù)學(xué)活動(dòng)不應(yīng)該只是停留在表面“活動(dòng)”.從現(xiàn)階段數(shù)學(xué)課堂教學(xué)重點(diǎn)建設(shè)課程引入、教學(xué)重難點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法、課后反思等幾個(gè)方面來看，只有在活動(dòng)參與的過程中積極引導(dǎo)學(xué)生思維參與、思想方法上的進(jìn)步，多利用同化演繹的理論來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，最終才能讓學(xué)生成為活動(dòng)的主人，在反饋和評價(jià)中形成數(shù)學(xué)能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的有效性.

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