“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)反思

孫麗娜

一、教學(xué)過(guò)程實(shí)錄

1.創(chuàng)設(shè)情景，喚起學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的感悟和體驗(yàn)

世界七大奇跡之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？（多媒體展示三角形圖案）

也就是計(jì)算1+2+3+…+100=？

提問(wèn)：有沒(méi)有同學(xué)了解這個(gè)題的解題過(guò)程？簡(jiǎn)便方法？

學(xué)生會(huì)聯(lián)想到以前接觸過(guò)的高斯求和法.

介紹高斯算法：高斯，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”.二百多年前，高斯的算術(shù)教師提出了下面的問(wèn)題：1+2+3+…+100=？據(jù)說(shuō)，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：

（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 情境學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是與一定的知識(shí)背景，即“情境”相聯(lián)系.從實(shí)際問(wèn)題入手，圖中蘊(yùn)含算數(shù)，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的興趣，提高解決問(wèn)題的積極性.

2.層層鋪墊，在自主探究與合作中學(xué)習(xí)

問(wèn)題：1+2+3+…+100=？（高斯算法）

實(shí)質(zhì)：首尾相加法，成對(duì)出現(xiàn)，每對(duì)和為101，組成50對(duì).將和變?yōu)榉e來(lái)求.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 高斯的這一首尾配對(duì)算法學(xué)生雖然是熟悉的，但是他們對(duì)此的認(rèn)知只是處于非常簡(jiǎn)單的記憶，并不能說(shuō)是理解.為了讓學(xué)生對(duì)此算法有更深的認(rèn)識(shí)，也為了更好地推出后面的等差數(shù)列求和公式，設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)問(wèn)題探究：

探究1：在寶石圖案中，第1層到第21層共用了多少顆寶石？即1+2+3+…+21=？

用同樣方法相加的時(shí)候?qū)W生會(huì)發(fā)現(xiàn)，首尾配對(duì)后最中間一個(gè)會(huì)多出來(lái)，即：（1+2+…+10+12+…+20+21）+11.（對(duì)學(xué)生的分析歸納給予表?yè)P(yáng)）

發(fā)現(xiàn)：若項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)時(shí)和項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)時(shí)不同，采用這一方法求和就得分開(kāi)討論.

提問(wèn)：是不是求和時(shí)得根據(jù)項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論呢？

學(xué)生可能會(huì)贊成這一說(shuō)法.教師并不全盤(pán)否定，但可以指出每次這樣分類(lèi)會(huì)有點(diǎn)煩瑣，此時(shí)應(yīng)適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生探索更為簡(jiǎn)捷的求解方法.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 求和時(shí)不可能每次都通過(guò)討論項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)還是項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)來(lái)進(jìn)行求解.教師指出還可以將解法簡(jiǎn)潔化，激發(fā)學(xué)生探索的興趣，讓學(xué)生自己積極參與到解決問(wèn)題中來(lái).

引導(dǎo)學(xué)生回憶小學(xué)探求三角形面積是通過(guò)先補(bǔ)后分的方法，再用多媒體顯示探索路徑：補(bǔ)一個(gè)倒置的三角形，形成平行四邊形，使得上下每行的個(gè)數(shù)剛好相等.

學(xué)生觀察得出答案：

S21=21×1+212.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 用直觀的圖形啟發(fā)學(xué)生，開(kāi)拓思路，化繁為簡(jiǎn).

幫助學(xué)生更好地理解這一簡(jiǎn)便算法.此過(guò)程滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，將問(wèn)題直觀化.鼓勵(lì)學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)

中也可以結(jié)合這一較為直觀的數(shù)學(xué)思想解題.

多補(bǔ)一個(gè)同樣的圖形，借用兩倍來(lái)考慮問(wèn)題，省去了對(duì)奇偶項(xiàng)數(shù)進(jìn)行分類(lèi).

將幾何圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子：

S21=1+2+…+11+…+20+21

S21=21+20+…+11+…+2+12S21=21×1+21S21=21×1+212.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 補(bǔ)一個(gè)同樣的式子，顛倒相加.由加法轉(zhuǎn)化為乘法求解，省去了討論奇偶項(xiàng)數(shù)的麻煩.這個(gè)方法記為“倒序相加法”.

探究2：n個(gè)自然數(shù)求和： 1+2+3+…+n=？（學(xué)生分組討論，學(xué)生代表發(fā)言）

Sn=1+2 +3+…+n-1+n.

Sn=n+n-1+n-2+…+2+1 2Sn=n1+nS21=n1+n2.

也就是說(shuō)n個(gè)自然數(shù)求和直接可以利用這種倒序相加法求得，不管n為奇數(shù)還是偶數(shù).

設(shè)計(jì)說(shuō)明 這里的n個(gè)自然數(shù)是學(xué)生最為熟悉的等差數(shù)列，不管n是奇數(shù)還是偶數(shù)，過(guò)程采用的是一樣的方法，旨在讓學(xué)生體驗(yàn)倒序相加求和這個(gè)算法的合理性，從心理上完成對(duì)首尾配對(duì)求和算法的改進(jìn).此研究過(guò)程也由特殊過(guò)渡到了一般，為等差數(shù)列前n項(xiàng)求和做了鋪墊，培養(yǎng)了學(xué)生觀察分析、類(lèi)比推理的能力.

那么一般的等差數(shù)列如何求和呢？能用相同的方法嗎？條件滿(mǎn)足嗎？

探究3：已知等差數(shù)列{an}：a1，a2，a3，…，an，…，如何求前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+a3+…+an ？

Sn=a1+a2+a3+…+an

Sn=an+an-1+an-2+…+a1

Sn=a1+（a1+d）+…+a1+（n-1）d

Sn=an+（an-d）+…+an-（n-1）d

2Sn=n（a1+an）Sn=n（a1+an）2.

通過(guò)對(duì)等差數(shù)列基本概念及性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，從它的基本元素出發(fā)，結(jié)合“倒序相加法”對(duì)求和公式進(jìn)行了推導(dǎo).（等差數(shù)列的后一項(xiàng)比前一項(xiàng)多一個(gè)公差，前一項(xiàng)比后一項(xiàng)少一個(gè)公差）

設(shè)計(jì)說(shuō)明 推導(dǎo)過(guò)程采用了層層遞進(jìn)，由學(xué)生最容易接受的21個(gè)自然數(shù)到n個(gè)自然數(shù)，再推廣到一般的等差數(shù)列前n項(xiàng)求和，從特殊過(guò)渡到一般，利用“倒序相加法”順利完成公式的推導(dǎo)，將課堂的難點(diǎn)巧妙地加以突破.不僅培養(yǎng)了學(xué)生觀察分析、類(lèi)比推理的能力，也培養(yǎng)了主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的精神.

3.歸納整理，公式應(yīng)用

等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+a3+…+an，由上述推導(dǎo)得出公式：

Sn=n（a1+an）2公式1

結(jié)合通項(xiàng)公式：an=a1+n-1·d，代入公式1，得：

Sn=na1+n（n-1）2d公式2

注：d可以為0，此時(shí) Sn=na1.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程都是在教師的引導(dǎo)下，由學(xué)生主動(dòng)完成的，加深了對(duì)公式的理解，也提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體驗(yàn)成就感，增加學(xué)習(xí)的信心.兩個(gè)求和公式涉及了a1，an，d，n，Sn五個(gè)量，都是等差數(shù)列中的基本元素.

結(jié)合兩個(gè)求和公式，給出相應(yīng)例題加以應(yīng)用.

例1 在等差數(shù)列{an}中，（1）已知a1=3，a21=55，求S21;（2）已知a1=6，d=-12，求S20.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 第一小題從首項(xiàng)、尾項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)出發(fā)可以利用公式1求解，第二小題從首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)出發(fā)可以利用公式2求解，讓學(xué)生自己選擇不同公式求解.通過(guò)比較，引導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)根據(jù)題目條件選擇適當(dāng)?shù)墓郊右郧蠼?

例2 求正奇數(shù)數(shù)列1，3，5，7，…前100項(xiàng)和.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 本題可用公式2直接求解，也可結(jié)合通項(xiàng)公式根據(jù)公式1求解，讓學(xué)生體會(huì)哪個(gè)公式更為便捷.

變式： 等差數(shù)列 -13，-9，-5，-1，3，…的前多少項(xiàng)和等于50 ？

設(shè)計(jì)說(shuō)明 本題適當(dāng)加深了難度，需要變用公式.由數(shù)列的前四項(xiàng)可知首項(xiàng)、公差，且題中告知和為50，讓我們求的是項(xiàng)數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生可以借用公式2求解項(xiàng)數(shù).

例3 在等差數(shù)列{an}中，已知d=12，an=32，Sn=-152，求a1及n.

設(shè)計(jì)說(shuō)明 本題已知三個(gè)量求另外兩個(gè)未知量，可以選擇求和公式1結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出關(guān)于a1及n的兩個(gè)方程求解.兩個(gè)求和公式中都包括四個(gè)元素，利用其中任意三個(gè)元素必可求出另外一個(gè)，即：知三求一.其實(shí)兩個(gè)求和公式共涉及了a1，an，d，n，Sn五個(gè)量，我們可以通過(guò)任意三個(gè)求解另外兩個(gè)，即：知三求二.

4.梳理知識(shí)，自我小結(jié)

找?guī)酌麑W(xué)生來(lái)談?wù)勍ㄟ^(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)到了什么？體驗(yàn)到什么？掌握了什么？最后教師加以歸納肯定：

（1）回顧從特殊到一般的推導(dǎo)方法，采用“倒序相加法”.

（2）等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式：①Sn=n（a1+an）2;

②Sn=na1+n（n-1）2d.

（3）會(huì)根據(jù)條件選用適當(dāng)?shù)墓角蠼?

二、教學(xué)反思

收獲：教師有意識(shí)、有目的地開(kāi)發(fā)、整合和使用課程資源，將在很大程度上提高學(xué)生從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的水平和教師從事教學(xué)活動(dòng)的質(zhì)量.本節(jié)課改進(jìn)了教材上直接推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的做法，而是通過(guò)設(shè)計(jì)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般的幾個(gè)問(wèn)題幫助學(xué)生自己探究出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，學(xué)生在經(jīng)歷的過(guò)程中加深了對(duì)公式的理解和鞏固，取得了良好的教學(xué)效果.

思考：如何處理好“預(yù)設(shè)”與“生成”的關(guān)系？

教學(xué)方案是教師對(duì)教學(xué)過(guò)程的“預(yù)設(shè)”，實(shí)施教學(xué)方案，是把“預(yù)設(shè)”轉(zhuǎn)化為實(shí)際的教學(xué)活動(dòng).在這個(gè)過(guò)程中，師生雙方的互動(dòng)往往會(huì)“生成”一些新的教學(xué)資源 ，特別是在數(shù)學(xué)探究教學(xué)中，更需要教師及時(shí)把握，因勢(shì)利導(dǎo)，適時(shí)調(diào)控.

例如，本節(jié)課在講到第一個(gè)問(wèn)題探究1+2+3+…+21時(shí)，學(xué)生并不是都像教師預(yù)設(shè)的那樣出現(xiàn)一種方法，即原式=（1+2+…+10+12+…+20+21）+11，而是出現(xiàn)了其他方法，方法1：原式=（1+2+3+…+20）+21;方法2：原式=0+1+2+…+20+21.

以上方法實(shí)際上是用了“化歸思想”，將奇數(shù)個(gè)項(xiàng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個(gè)項(xiàng)求解，教師不得不嘆服學(xué)生思維的偉大，感嘆自己預(yù)設(shè)的不足，對(duì)于學(xué)生的這種思考，教師應(yīng)進(jìn)行充分肯定與表?yè)P(yáng).

感悟：有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是教師教與學(xué)生學(xué)的統(tǒng)一，應(yīng)體現(xiàn)“以人為本”的理念，學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)以促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展為宗旨！