數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

賈屹峰 鄭紅芬 王志高

【摘要】本文在實(shí)踐教學(xué)的基礎(chǔ)上，討論了在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，改革課堂教學(xué)方法，探索新的教學(xué)模式，加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提高成績(jī)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用和創(chuàng)新能力.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);Mathematica

一、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的背景

隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，用計(jì)算機(jī)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算的研究發(fā)展非常迅速，在20世紀(jì)80年代，相繼出現(xiàn)了功能齊全的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，例如Mathamatica、Maple、MathCAD、Axiom、Maxima等.計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)是集成化的計(jì)算機(jī)軟件系統(tǒng)，集成了一系列的軟件包，它主要包括：符號(hào)計(jì)算、數(shù)值計(jì)算和圖形三個(gè)方面功能.利用計(jì)算代數(shù)系統(tǒng)，許多復(fù)雜的推導(dǎo)和計(jì)算可以用計(jì)算機(jī)來完成，并且一些難以用手工作出的函數(shù)圖形也可以在計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)上畫出.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是在計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)平臺(tái)上，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題為目的，在計(jì)算機(jī)上完成的一種實(shí)踐活動(dòng)，是計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)、軟件引入教學(xué)后出現(xiàn)的新事物，是一種新的方法和技術(shù).利用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的函數(shù)以及程序，借助計(jì)算機(jī)快速、準(zhǔn)確、功能強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)在計(jì)算機(jī)上完成復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算、符號(hào)演算、幾何圖像等數(shù)學(xué)教學(xué)過程，從而達(dá)到對(duì)實(shí)際問題的求解、分析、模擬仿真和歸納總結(jié).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不但需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底和運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，而且需要掌握數(shù)學(xué)建模以及運(yùn)用計(jì)算機(jī)的能力，是綜合能力的一種體現(xiàn).

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)在已經(jīng)成為一門新的課程，很多大學(xué)都已經(jīng)列為選修課或是必修課.借助計(jì)算機(jī)，在實(shí)驗(yàn)中，讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)和動(dòng)手，在解決問題的過程體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用，從而去學(xué)習(xí)探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，既鞏固和提高數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，又建立起了基本數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)的應(yīng)用以及其他學(xué)科之間的聯(lián)系.

二、高等數(shù)學(xué)課中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的必要性

高等數(shù)學(xué)是理工科學(xué)生在大學(xué)期間的一門必修課，它不但對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯思維能力有著舉足輕重的作用，而且更是他們后續(xù)一些課程如大學(xué)物理、概率論以及一些專業(yè)課程的基礎(chǔ)，另外也是分析、解決實(shí)際問題的工具.但是高等數(shù)學(xué)高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性，特別是高度的抽象性使得很多學(xué)生很難理解，并有畏難情緒;再加上傳統(tǒng)的“板書——分析——講解”，這種只注重灌輸知識(shí)，忽視動(dòng)手能力、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)教學(xué)模式，使學(xué)生感到很枯燥乏味，負(fù)擔(dān)沉重，結(jié)果導(dǎo)致許多學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去了信心和興趣，甚至放棄學(xué)習(xí)，進(jìn)而對(duì)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)也產(chǎn)生很大的影響，甚至影響到整個(gè)大學(xué)階段的學(xué)習(xí)，這一點(diǎn)也一直困擾著大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué).

隨著計(jì)算機(jī)代數(shù)的發(fā)展，大學(xué)數(shù)學(xué)中幾乎所有的推理和計(jì)算都可以在計(jì)算機(jī)的輔助下完成，所有函數(shù)的圖像都可以在計(jì)算機(jī)屏幕上顯示，特別是三維圖像，這些都對(duì)許多的大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)手段產(chǎn)生了深刻的影響，特別是高等數(shù)學(xué)，并且產(chǎn)生了學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用的新途徑——數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).利用計(jì)算機(jī)代數(shù)，在高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，有利于將抽象問題具體化，比較典型的就是極限的定義、空間解析幾何、多元函數(shù)以及重積分區(qū)域的選取等問題，使得學(xué)生更容易理解，從而改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，使得高等數(shù)學(xué)不再枯燥乏味，力圖改變學(xué)生“高等數(shù)學(xué)難學(xué)”的觀念，大幅度提高等數(shù)學(xué)課程的及格率.同時(shí)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)并培養(yǎng)學(xué)生用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)技術(shù)去認(rèn)識(shí)問題和解決實(shí)際問題的能力.

隨著計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展和普及，大部分學(xué)生都擁有了自己的計(jì)算機(jī)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有了硬件的基礎(chǔ).在課堂教學(xué)引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，也可以讓學(xué)生自己完成一些典型問題的實(shí)驗(yàn)，通過學(xué)生自己設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，完成實(shí)驗(yàn)，并通過觀察總結(jié)規(guī)律，從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，激發(fā)他們“學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)”，并進(jìn)一步“研究數(shù)學(xué)”的興趣.從而起到了促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)良性循環(huán)的作用.

三、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)梗概

在實(shí)際教學(xué)中，我們采用Mathematica計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，它是美國(guó)Wolfram Research公司開發(fā)的，是一個(gè)功能完善而且強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，其交互式操作方式簡(jiǎn)單易學(xué).Mathematica突出的是其符號(hào)運(yùn)算功能，能夠完成多項(xiàng)式的運(yùn)算和因式分解可及求函數(shù)值，能求極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分、定積分、冪級(jí)數(shù)展開及求解某些微分方程等，對(duì)于向量、矩陣的各種運(yùn)算也可以勝任.Mathematica的繪圖能力也很強(qiáng)，可以很方便地畫出一元函數(shù)和二元函數(shù)在所需范圍內(nèi)的平面圖像與三維圖形，并可以在同一坐標(biāo)系內(nèi)以不同的顏色顯示進(jìn)行比較.Mathematica還可以進(jìn)行自定義函數(shù)和進(jìn)行編程，也使得其可以應(yīng)用于各領(lǐng)域涉及的復(fù)雜的符號(hào)運(yùn)算和數(shù)值計(jì)算問題.

Mathematica在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用主要有三個(gè)方面：數(shù)值計(jì)算與繪圖功能相結(jié)合，對(duì)一些抽象的知識(shí)，可以給學(xué)生直接的感受，從而使得學(xué)生更容易理解掌握抽象的知識(shí);利用強(qiáng)大的繪圖，畫出一些難以手工畫出的函數(shù)的圖像，使得學(xué)生更容易理解相關(guān)的知識(shí)，特別是二元函數(shù)三維圖像，更能增加學(xué)生的空間想象能力;Mathematica可以直接求一些復(fù)雜的極限，復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、不定積分、定積分以及一些簡(jiǎn)單的微分方程使得學(xué)生能夠從復(fù)雜的計(jì)算中解脫出來.

在講述數(shù)列的極限的定義時(shí)，首先利用Mathematica畫出了數(shù)列12n，1+（-1）nn，（-1）n的圖像，通過對(duì)三個(gè)數(shù)列變化趨勢(shì)的觀察，引入數(shù)列極限的概念;在此基礎(chǔ)上，利用數(shù)值計(jì)算算出數(shù)列前1000項(xiàng)，并進(jìn)一步給出數(shù)列極限的定義，使得學(xué)生在高等數(shù)學(xué)第一個(gè)比較抽象的概念學(xué)習(xí)中有一個(gè)比較直觀的印象;在講述第二個(gè)重要的極限limn→∞1+1nn時(shí)，也同樣利用畫圖和數(shù)值計(jì)算，并結(jié)合該極限的一個(gè)應(yīng)用實(shí)例：存款利率，使得學(xué)生對(duì)自然對(duì)數(shù)的基底e有著更為深刻的理解，并對(duì)以后研究函數(shù)y=ex的性質(zhì)打下基礎(chǔ).類似的，在講述定積分的定義的過程中也采用了數(shù)值計(jì)算與圖像相結(jié)合的方式.

利用Mathematica強(qiáng)大的繪圖功能，可以很方便地畫出很多手工不能畫出的圖形，并在屏幕上顯示出來，使得學(xué)生更容易理解相關(guān)知識(shí).利用繪圖功能，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)的連續(xù)性、間斷點(diǎn)、漸近線、微分的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性及拐點(diǎn)時(shí)，通過對(duì)相關(guān)圖形的顯示，加深了學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的感性認(rèn)識(shí)和直觀認(rèn)識(shí).例如對(duì)于震蕩間斷點(diǎn)，可以在屏幕上顯示函數(shù)f（x）=sin1x在區(qū)間[-1，1]的圖像，為了更進(jìn)一步了解，還可以在同一坐標(biāo)系顯示函數(shù)f（x）=xsin1x在區(qū)間[-1，1]的圖像.繪圖功能的另一個(gè)重要的應(yīng)用就是二元函數(shù)的三維圖像，在增加學(xué)生空間想象力的同時(shí)，也有利于多元微積分的學(xué)習(xí).

高等數(shù)學(xué)中的一些計(jì)算十分繁雜、枯燥，這些推導(dǎo)和計(jì)算都可以用Mathematica實(shí)現(xiàn)，Mathematica可以完成高等數(shù)學(xué)中的所有運(yùn)算.Mathematica一個(gè)突出的特點(diǎn)是符號(hào)計(jì)算，并且可以編程，因此一些推導(dǎo)可以利用計(jì)算機(jī)完成.Mathematica的命令和函數(shù)是交互式的，且易學(xué)易記，運(yùn)行也非常方便，能夠迅速得到結(jié)果.利用強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算功能，可以使學(xué)生不必再死記硬背很多的公式，減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān).

四、高等數(shù)學(xué)中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的意義

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，改變?cè)瓉淼慕虒W(xué)模式，豐富教學(xué)內(nèi)容，活躍了課堂氣氛，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，從直觀的實(shí)驗(yàn)中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)，使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的抽象性感到困惑，利用強(qiáng)大的畫圖功能為學(xué)生提供了直觀的印象，利用強(qiáng)大計(jì)算功能使學(xué)生從繁雜的計(jì)算中解脫出來，更專注于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的引入，是輔助而不是替代，對(duì)掌握數(shù)學(xué)概念、方法有極大的幫助，不會(huì)影響數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí).利用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，也需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)輔助高等數(shù)學(xué)教學(xué)，不但可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

【參考文獻(xiàn)】

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