開放性問題之探究

鄭子諭

近幾年全省各地中考出現(xiàn)了一批符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平和年齡特點(diǎn)，個(gè)性獨(dú)特設(shè)計(jì)優(yōu)美的開放探究題。開放性試題已成為一個(gè)熱點(diǎn)問題，為了培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，我們有必要對(duì)數(shù)學(xué)開放題進(jìn)行研究和實(shí)踐。初中數(shù)學(xué)問題一般可以分成兩大類：一類是封閉性問題，另一類是開放性問題，封閉性問題是已知和結(jié)論都有確定要求的問題，而答案不固定或者條件不完備的習(xí)題一般則稱為開放題。初中數(shù)學(xué)開放性問題為學(xué)生提供了以自己喜歡的方式解答問題的機(jī)會(huì)，在實(shí)際的解題過程中，學(xué)生可以將自己的知識(shí)、技能以各種方式相結(jié)合，以發(fā)現(xiàn)新的思想方法。實(shí)踐證明，初中數(shù)學(xué)開放性試題的教學(xué)有助于培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)化意識(shí)，提高解決問題的能力，可以使學(xué)生更全面地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，體會(huì)數(shù)學(xué)的美感，從而達(dá)到素質(zhì)教育的要求。

一、數(shù)學(xué)開放性問題具備的特征

1.非完全性

指數(shù)學(xué)開放型問題的組成因素是不完備的，要么條件不充分，要么結(jié)論不完全，要么解題方法和解題依據(jù)不明確。

2.不確定性

指數(shù)學(xué)開放型問題或者條件不確定；或者結(jié)論不確定；或者解題方法、解題依據(jù)不唯一；或者只給出了一種情景、其條件、解題策略需要解題者在情景中去設(shè)定，進(jìn)而尋求結(jié)論。

3.探究性

指解答開放型數(shù)學(xué)問題沒有傳統(tǒng)的、現(xiàn)成的模式可效仿，必須經(jīng)過主動(dòng)探索，認(rèn)真思考研究，設(shè)計(jì)解題方案。

4.靈活性

指開放型數(shù)學(xué)問題的解答方式、解題方法以及答案是靈活多樣的。

5.新穎性與創(chuàng)新性

指數(shù)學(xué)開放型問題內(nèi)容、形式的新穎性，對(duì)學(xué)生素質(zhì)與能力考查的創(chuàng)新性。

二、常見的開放型問題題型

1.給出結(jié)論，沒有給出條件

要解題者自行研究使結(jié)論成立的各種必備條件；或?qū)σ阎獥l件作出某種刪減或增添，要求解題者歸納出原先給定結(jié)論的相應(yīng)變化。

2.給出條件，沒有給出明確結(jié)論或結(jié)論不唯一的問題

要解題者探索出結(jié)論，必要時(shí)給出推理過程或理論說明。

3.方法探索型問題

指解題途徑或解題方法超越常規(guī)，要解題者思考合適的解題方法，尋找合理的解題途徑，去探求滿足題意的結(jié)論，在這里，特別強(qiáng)調(diào)的是，用不完全歸納猜想去尋找共同規(guī)律是中考中?？嫉念}型。

4.存在說理探索型

指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目。

5.猜想驗(yàn)證探究型

指能夠根據(jù)題目中的圖形或者數(shù)學(xué)直觀地發(fā)現(xiàn)共同特征，或者發(fā)展變化的趨勢(shì)，據(jù)此去預(yù)測(cè)、估計(jì)它的規(guī)律或者其他相關(guān)結(jié)論。

6.信息遷移型問題

這類問題大多通過定義一個(gè)概念，或規(guī)定一種運(yùn)算，或給出一個(gè)規(guī)則，通過閱讀相關(guān)信息，尋找解題方法；或是與其他學(xué)科相結(jié)合，解決其他學(xué)科的相關(guān)問題。

7.方案決策探究型

考查數(shù)學(xué)實(shí)踐能力和創(chuàng)新設(shè)計(jì)才能。

三、開放型問題常見的解法

1.從簡(jiǎn)單最特殊情況入手

有時(shí)也可借助直接觀察或判斷，從特殊到一般的歸納，從具體到抽象的概括，得出一般性的結(jié)論。

2.借助類比手段

通過尋找其類同之處，去推測(cè)新結(jié)論與類比對(duì)象的可能成分，也可以通過分析特征、提出猜想，再進(jìn)行必要的論證。

3.假設(shè)結(jié)論存在或成立

若推證無矛盾，則結(jié)論確實(shí)存在或成立；若推出矛盾，則結(jié)論不存在過不成立，這是處理存在型問題的一般模式。

四、常見的解題切入點(diǎn)

1.利用特殊值（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置）進(jìn)行歸納、概括，從而得出規(guī)律

2.反演推理

根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看看推導(dǎo)出矛盾的結(jié)果還是能否與已知條件一致。

3.分類討論

當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一確定時(shí)，則需對(duì)可能出現(xiàn)的情況做出既不重復(fù)、也不遺漏，分門別類地加以討論求解，將不同結(jié)論綜合討論歸納得出正確結(jié)論。

五、常見題型

1.題型一：條件開放性試題

此類問題的外在形式是針對(duì)一個(gè)結(jié)論，條件未知或不完備，或條件有誤需糾錯(cuò)，或滿足結(jié)論的條件不唯一，條件開放型問題的明顯特征是缺少確定的條件，問題所需補(bǔ)充的條件不是必要的條件，即所需補(bǔ)充的條件不能由結(jié)論完全推出。

一般來說，條件開放型問題的標(biāo)準(zhǔn)答案包括：將所缺的條件補(bǔ)充完整和根據(jù)自己給出條件形成的封閉題做出完整解答，解此題的基本策略都是執(zhí)果索因，尋找結(jié)論成立的條件，在判斷條件不存在時(shí)，常舉反例說明。

例1.如圖1：四邊形ABCD中，AB//CD，要使四邊形ABCD為平行四邊形，則應(yīng)添加的條件是（添加一個(gè)條件即可）。

解析：答案不唯一，可以是：AB=CD或AD//BC等，只要滿足平行四邊形的判定定理即可。

2.題型二：結(jié)論的開放與探索

這類問題的主要特征是有條件而無結(jié)論，自然地，解題的首要任務(wù)是探索結(jié)論?；静呗允峭ㄟ^對(duì)符號(hào)已知條件的特例（如特殊的數(shù)值、特殊的圖像、特殊的圖形位置等）或問題的簡(jiǎn)單情形的分析研究，考查其規(guī)律，猜想其結(jié)論然后進(jìn)行證明。

解決這類問題的方法是根據(jù)條件，結(jié)合已學(xué)的知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法，通過分析、歸納逐步得出結(jié)論；或通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、論證的方法求解。求解此類問題時(shí)，切勿憑空亂想，應(yīng)仔細(xì)對(duì)照條件，觀察圖形特征，聯(lián)想已學(xué)知識(shí)、方法或已解決過的問題，全方位、多角度地做全面分析。

例2.如圖2，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦OD⊥CB于點(diǎn)E，交圓于點(diǎn)D。

（1）請(qǐng)寫出三個(gè)不同類型的正確結(jié)論；

（2）連結(jié)CD，設(shè)∠CDB=α∠ABC=β，試找出α與β之間的一種關(guān)系式并給出證明。

解析：（1）不同類型的正確結(jié)論不唯一。（2）結(jié)論也不唯一，如若得出α與β的關(guān)系式為α>β，證明正確的也判對(duì)。

例3.已知一元二次方程有一個(gè)根是2，那么，這個(gè)方程可以是（填上你認(rèn)為正確的一個(gè)方程即可）。

分析：只要把2代入所給一元二次方程成立即可。

3.題型三：方法探索性試題

這類問題的主要特征是既有開放性，又具有探索性，是典型的綜合題，有方法的探索，還有對(duì)規(guī)律的探索，以后要加強(qiáng)對(duì)教材中探究性問題和研究性問題的重視。

一般來說，題目常分多步，第一步往往較基礎(chǔ)，要解題者思考合適的解題方法，尋找合理的解題途徑，去探求滿足題意的結(jié)論；接下來幾步可以看作閱讀理解，可采用類似的方法來處理。

4.題型四：信息遷移型問題

這類題型的特點(diǎn)是設(shè)計(jì)或定義一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)情景。要求考生在理解的基礎(chǔ)上將所學(xué)知識(shí)和方法靈活地進(jìn)行遷移。由于數(shù)學(xué)是學(xué)好物理、化學(xué)、地理等課程的基礎(chǔ)，因此在近幾年的中考命題中，以其他學(xué)科的問題為載體設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)問題隨處可見，令人耳目全新。既能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的作用，又能考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，更符合當(dāng)前課程改革的需要。在今后的中考試題中，信息遷移型問題仍是命題的熱點(diǎn)。

解決此類問題的常用方法：

（1）假設(shè)存在，直接推斷；

（2）剖析特例，發(fā)現(xiàn)結(jié)論（有些比較抽象，規(guī)律隱蔽的題目，可通過構(gòu)造實(shí)例進(jìn)行剖析與比較）；

（3）等價(jià)轉(zhuǎn)化，迂回探索。

5.題型五：方案設(shè)計(jì)型問題

一般來說，方案設(shè)計(jì)問題是近幾年全國各地中考命題的熱點(diǎn)，解決此類問題的思路如下：

（1）閱讀理解，即認(rèn)真閱讀題目，理解題意；

（2）建立模型，即針對(duì)題意，完成由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化；

（3）模型求解，即運(yùn)用具備的數(shù)學(xué)知識(shí)，技能和方法，完成對(duì)所建模型的解答；

（4）回歸實(shí)際，由于數(shù)學(xué)模型的解答不一定完全符合題的實(shí)際意義，所以應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況給出正確解答。

例4.市政公司為綠化一段沿江風(fēng)光帶，計(jì)劃購買甲、乙兩種樹苗共500株，甲種樹苗每株50元，乙種樹苗每株80元。有關(guān)統(tǒng)計(jì)表明：甲、乙兩種樹苗的成活率分別為90%和95%。

（1）若購買樹苗共用了28000元，求甲、乙兩種樹苗各多少株？

（2）若購買樹苗的錢不超過34000元，應(yīng)如何選購樹苗？

（3）若希望這批樹苗的成活率不低于92%，且購買樹苗的費(fèi)用最低，應(yīng)如何選購樹苗？

總之，開放性試題緊密聯(lián)系生活實(shí)際，把生活問題提煉為數(shù)學(xué)問題，調(diào)動(dòng)生活經(jīng)驗(yàn)用于數(shù)學(xué)問題的創(chuàng)造性活動(dòng)積極性，以利于學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活，又服務(wù)于生活的真諦。數(shù)學(xué)開放性問題在促進(jìn)學(xué)生發(fā)展方面具有重要意義，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)新能力，以上僅僅是筆者十幾年來教學(xué)的心得體會(huì)，有不完善的地方還需要在今后的教學(xué)中不斷探索、實(shí)踐，但我們的目標(biāo)是堅(jiān)定的，為培養(yǎng)開放型、創(chuàng)造型人才而努力工作。

參考文獻(xiàn)：

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[2]任志鴻.初中總復(fù)習(xí)優(yōu)化訓(xùn)練教學(xué).學(xué)苑出版社，2004-06.