一類二階常系數(shù)線性微分方程的解法

常軍

【摘要】 通過變量代換，給出一類二階常系數(shù)線性微分方程的通解公式.

【關(guān)鍵詞】 二階常系數(shù)線性微分方程；通解公式

在現(xiàn)行的常微分教材中，求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程通解的一般方法是求對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解與非齊次線性微分方程的一個(gè)特解，進(jìn)而求得通解. 本文利用變量代換法給出一類二階常系數(shù)線性微分方程的通解公式，從而避免了一般解法中確立待定系數(shù)的繁瑣過程.

設(shè)有二階常系數(shù)線性微分方程

αy″ + βy′ + γy = f（x） （α≠0） （1）

其中α，β，γ為常數(shù)，若方程（1）的系數(shù)滿足

α + γ = |β| 則方程（1）的通解為

y=e■■e■■■e■dx+C1e■e■dx+C2或y=e■■e■■■e■dx+C1e■e■dx+C2

解 情形1 若α + γ = β

于是方程（1）可化為

α（y′ + y）′ + γ（y′ + y） = f（x）（2）

設(shè)y′ + y = p，

于是方程（2）可化為p′ + ■p = ■f（x）.

則p = e■■■e■dx+C1e■.

即y′ + y = e■■■e■dx+C1e■ .

因此（1）式的通解為

y = e■■e■■■e■dx+C1e■e■dx+C2

情形2 若α + γ = -β于是方程（1）可化為

α（y′ - y′）′ - γ（y′ - y） = f（x）（3）

同法可得（1）式的通解為

y = e■■e■■■e■dx+C1e■e■dx+C2.

例1 求微分方程y″ - 3y′ + 2y = 2xex的通解.

解 因?yàn)棣?= 1，β = -3，γ = 2，f（x） = 2xex.

所以α + γ = -β因此根據(jù)通解公式得

微分方程y″ - 3y′ + 2y = 2xex的通解為

y = e■■e■■2xex·e■dx + C1e■e■dx + C2.

解得y = （-x2 - 2x）ex + C1e2x + C2ex.

例2 求微分方程y″ - 2y′ + y = ex ln x的通解.

解 因?yàn)棣?= 1，β = -2，γ = 1，f（x） = ex ln x，

所以α + γ = -β，因此根據(jù)通解公式得

微分方程y″ - 2y′ + y = ex ln x的通解為

y = e■■e■■exln x·e■dx + C1e■e■dx + C2.

解得y = ex■x2 ln x - ■x2 + C1x + C2.

例3 求微分方程y″ + 3y′ + 2y = e-x cos x的通解.

解 因?yàn)棣?= 1，β = 3，γ = 2，f（x） = e-x cos x.

所以α + γ = β，因此根據(jù)通解公式得

微分方程y″ + 3y′ + 2y = e-x cos x的通解為

y = e■■e■■e-x cos x·e■dx + C1e■e■dx + C2.

解得y = ■e-x（sin x - cos x） - C1e-2x + C2e-x .