分析建模

李娟

【摘要】 從小學(xué)到初中，應(yīng)用題始終是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，難在理解題意，也難在需要從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題. 方程、不等式、函數(shù)等是數(shù)學(xué)中的重要模型，因?yàn)楸容^抽象，實(shí)際問(wèn)題中出現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系較多，運(yùn)用它們解應(yīng)用題讓不少學(xué)生頭疼. 如何幫助學(xué)生分析建模？本文就列分式方程解決實(shí)際問(wèn)題闡述了筆者在教學(xué)實(shí)踐中的一點(diǎn)思考.

【關(guān)鍵詞】 分析；建模；應(yīng)用題

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中描述：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑. 建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義. 這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí). ”這段話明確提出了運(yùn)用方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型解應(yīng)用題的目標(biāo)要求和教學(xué)建議.

列分式方程解應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一. 部分學(xué)生的困難是：看不清題意；不明確問(wèn)題中的基本量；不會(huì)運(yùn)用未知數(shù)表示與之相關(guān)的未知量；不善于抓住關(guān)鍵語(yǔ)句和關(guān)鍵詞，尋找問(wèn)題中的等量關(guān)系，列出方程等. 為此筆者在教學(xué)實(shí)踐中，首先引導(dǎo)學(xué)生明確題意，在此前提下，著力引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行分析：一是確定應(yīng)用題的基本類型；二是明確這類應(yīng)用題中的基本量及它們之間的數(shù)量關(guān)系；三是在設(shè)出未知數(shù)之后，輔以表格，尋找關(guān)鍵語(yǔ)句和關(guān)鍵詞，用未知數(shù)x表示其他相關(guān)量，列出等量關(guān)系，建立分式方程. 特別是第三步分析，是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵給力之處，也是列方程解應(yīng)用題的教學(xué)智慧所在. 下面列舉幾例分析：

【問(wèn)題1】A、B兩地的距離是80公里，一輛公共汽車從A地駛出3小時(shí)后，一輛小汽車也從A地出發(fā)，它的速度是公共汽車的3倍，已知小汽車比公共汽車遲20分鐘到達(dá)B地，求兩車的速度.

分析：1. 問(wèn)題的類型——行程問(wèn)題；

2. 行程問(wèn)題中的基本量是：路程、速度、時(shí)間；

3. 基本量的確定及等量關(guān)系，以表格的形式列出.

路程 速度 時(shí)間 題中的等量關(guān)系

公共汽車 80公里 x ■

小汽車 80公里 3x ■

解：設(shè)公共汽車速度為每小時(shí)x公里，

則■ - ■ = 3 - ■.

解分式方程、檢驗(yàn)、作答的過(guò)程這里不作贅述.

【問(wèn)題2】為加快西部大開(kāi)發(fā)，某自治區(qū)決定新修一條公路，甲、乙兩工程隊(duì)承包此項(xiàng)工程. 如果甲工程隊(duì)單獨(dú)施工，則剛好如期完成；如果乙工程隊(duì)單獨(dú)施工就要超過(guò)6個(gè)月才能完成. 現(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)先共同施工4個(gè)月，剩下的由乙隊(duì)單獨(dú)施工，則剛好如期完成. 問(wèn)原來(lái)規(guī)定修好這條公路需多長(zhǎng)時(shí)間？

分析：1. 問(wèn)題的類型——工程問(wèn)題；

2. 工程問(wèn)題中的基本量是：工作總量、工作效率、工作時(shí)間；

3. 基本量的確定及等量關(guān)系，以表格的形式列出.

一般經(jīng)常設(shè)所問(wèn)量為未知數(shù). 這里，設(shè)“原來(lái)規(guī)定修好這條公路需x個(gè)月”，用未知數(shù)表示其他未知量也是一個(gè)難點(diǎn)，由題意可得：甲獨(dú)做需要x個(gè)月，乙獨(dú)做需要（x + 6）個(gè)月，則接下來(lái)可以列出以下表格幫助分析：

工作效率 工作時(shí)間 工作總量 題中的等量關(guān)系

甲 ■ 4 ■ × 4

乙 ■ x ■× x

解：設(shè)規(guī)定修好時(shí)間為x個(gè)月，

則■ × 4 + ■ × x = 1.

【問(wèn)題3】北京奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕前，某體育用品商場(chǎng)預(yù)測(cè)某品牌運(yùn)動(dòng)服能夠暢銷，就用32000元購(gòu)進(jìn)了一批這種運(yùn)動(dòng)服，上市后很快脫銷，商場(chǎng)又用68000元購(gòu)進(jìn)第二批這種運(yùn)動(dòng)服，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)數(shù)量的2倍，但每套進(jìn)價(jià)多了10元.

（1）該商場(chǎng)兩次共購(gòu)進(jìn)這種運(yùn)動(dòng)服多少套？

（2）如果這兩批運(yùn)動(dòng)服每套的售價(jià)相同，且全部售完后總利潤(rùn)率不低于20%，那么每套售價(jià)至少是多少元？（利潤(rùn)率 = ■ × 100%）

分析 1. 問(wèn)題的類型——銷售問(wèn)題；

2. 銷售問(wèn)題中的基本量及基本關(guān)系較多，有：進(jìn)價(jià)、售價(jià)、數(shù)量、利潤(rùn)等，主要的等量關(guān)系有：利潤(rùn) = 售價(jià) - 進(jìn)價(jià)，總價(jià) = 單價(jià) × 數(shù)量，等；

3. 題中基本量的確定及等量關(guān)系，以表格的形式列出：

考慮到問(wèn)題（1）中問(wèn)“兩次共購(gòu)進(jìn)這種運(yùn)動(dòng)服多少套？”可以設(shè)第一批進(jìn)的數(shù)量為未知數(shù)：

進(jìn)價(jià) 數(shù)量 總成本 題中的等量關(guān)系

第一批 ■ x 32000元

第二批 ■ 2x 68000元

當(dāng)然，這里若不設(shè)數(shù)量為未知數(shù)，也可以就“進(jìn)價(jià)”來(lái)設(shè)未知數(shù).

進(jìn)價(jià) 數(shù)量 總成本 題中的等量關(guān)系

第一批 x ■ 32000元

第二批 x +10 ■ 68000元

兩種不同的設(shè)未知數(shù)的方法，源于題中的兩個(gè)等量關(guān)系：“所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)數(shù)量的2倍，但每套進(jìn)價(jià)多了10元”，其中的一個(gè)等量關(guān)系用來(lái)用未知數(shù)表示其他與之相關(guān)的未知量，另一個(gè)等量關(guān)系用來(lái)列方程.

在教學(xué)過(guò)程中，針對(duì)學(xué)生掌握知識(shí)、提升能力過(guò)程中的難點(diǎn)，幫助學(xué)生分步分析，用合理的方式輔助，用符號(hào)呈現(xiàn)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，形成這樣的思維習(xí)慣，有助于提高學(xué)生的分析能力，初步形成模型思想，增強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力，也能提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，這也是我們一線數(shù)學(xué)教師在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)該不斷研究的教學(xué)智慧.