“Wf＝－μmgl”全程等效意義及應(yīng)用

帥厚梅 李慶國(guó)

（江蘇省揚(yáng)州市新華中學(xué)，江蘇 揚(yáng)州 225009）

在對(duì)物理過程的分析過程中，我們可以總結(jié)出一些結(jié)論或規(guī)律，這些結(jié)論或規(guī)律具有一定的普遍性和靈活應(yīng)用性，若將其應(yīng)用到相關(guān)問題中，可以使解題更為方便、快捷.下面筆者就對(duì)“Wf＝-μmgl”這一結(jié)論進(jìn)行分析討論，呈現(xiàn)其等效意義及在解題中的應(yīng)用.

1 對(duì)Wf＝－μmgl的證明

圖1

如圖1所示，一個(gè)質(zhì)量為m的物體沿斜面滑下，并緊接著在水平面上滑行一段距離，測(cè)得初末位置間的水平位移為l，斜面與水平面對(duì)物體的動(dòng)摩擦因數(shù)相同都為μ，重力加速度為g，不考慮物體滑至斜面底端的碰撞作用，可以證明這一運(yùn)動(dòng)過程中滑動(dòng)摩擦力所做的功為Wf＝-μmgl.

圖2

證明：如圖2所示，設(shè)斜面的夾角為α，斜面的長(zhǎng)度為s，物體沿斜面運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的水平位移為l1，物體沿水平面運(yùn)動(dòng)的位移為l2.物體沿斜面運(yùn)動(dòng)的過程中所受滑動(dòng)摩擦力f1的大小為f1＝μN(yùn)1＝μmgcosα，f1做的功W1為W1＝-f1s＝-μmgscosα＝-μmgl1.物體沿水平面運(yùn)動(dòng)的過程中所受滑動(dòng)摩擦力f2的大小為f2＝μN(yùn)2＝μmg，f2做的功W2為W2＝-f2l2＝-μmgl2.整個(gè)過程中，滑動(dòng)摩擦力做的總功為W＝W1＋W2＝-μmg（l1＋l2）＝-μmgl.

2 對(duì)Wf＝－μmgl的理解

（1）成立條件：物體在垂直接觸面上只受支持力和重力（或重力垂直于接觸面的分力），若物體在平行于接觸面方向上除摩擦力外還受其他力，結(jié)論仍然成立.

（2）l的含義：起點(diǎn)與終點(diǎn)的水平距離，不是物體通過的路程.即滑動(dòng)摩擦力所做的功與斜面的傾角無關(guān)，而與整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所對(duì)應(yīng)水平位移有關(guān).

（3）μmg的含義：不是物體在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)滑動(dòng)摩擦力的大小，因?yàn)槲矬w在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)滑動(dòng)摩擦力為μmgcosα，并且當(dāng)傾角變化時(shí)摩擦力也會(huì)隨之變化.μmg可以看作是物體在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)滑動(dòng)摩擦力的大小.

圖3

（4）等效：物體在全程中滑動(dòng)摩擦力所做的功，從效果上看，相當(dāng)于物體在長(zhǎng)為l的水平面上運(yùn)動(dòng)過程中滑動(dòng)摩擦力所做的功.即可以將圖2全程中滑動(dòng)摩擦力所做的功等效成物體在水平面上運(yùn)動(dòng)相同水平位移時(shí)滑動(dòng)摩擦力所做的功，如圖3所示.只要全程所對(duì)應(yīng)的水平位移相同，則全程滑動(dòng)摩擦力所做的功相同.

3 對(duì)Wf＝－μmgl的應(yīng)用

下面筆者通過幾道典型例題來對(duì)Wf＝-μmgl這一結(jié)論進(jìn)行具體應(yīng)用.

圖4

例1.如圖4所示，OD是一水平面，AE為一斜面，一質(zhì)點(diǎn)由A點(diǎn)靜止釋放，沿斜面AE滑下，最后停在D點(diǎn)，不考慮物體滑至斜面底端的碰撞作用，若斜面改為AC（僅傾角變化），仍從A點(diǎn)由靜止釋放，則最終停在水平面OD上的（設(shè)物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)處處相等）

（A）D點(diǎn)右側(cè). （B）D點(diǎn)左側(cè).

（C）D點(diǎn). （D）無法確定.

解析：若用動(dòng)能定理求解，則沿兩種斜面運(yùn)動(dòng)過程中重力所做的功相同，關(guān)鍵是求滑動(dòng)摩擦力所做的功.斜面傾角發(fā)生變化、斜面上的滑動(dòng)摩擦力發(fā)生變化、斜面長(zhǎng)度發(fā)生變化、水平面長(zhǎng)度發(fā)生變化.既有斜面上的運(yùn)動(dòng)，又有水平面上的運(yùn)動(dòng)，還得分段寫方程，需要設(shè)定的未知量比較多，這些令許多學(xué)生“望而生畏”.若利用Wf＝-μmgl這一結(jié)論，求全程滑動(dòng)摩擦力所做的功相當(dāng)于求物體在OD水平面上運(yùn)動(dòng)相同水平位移時(shí)滑動(dòng)摩擦力所做的功，則可使解題思路變得較為簡(jiǎn)單、清晰.

設(shè)A點(diǎn)的豎直高度為h，質(zhì)點(diǎn)從斜面AE由靜止滑下停在D點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的水平位移為l1，則根據(jù)動(dòng)能定理和Wf＝-μmgl這一結(jié)論可得mgh-μmgl1＝0-0（A點(diǎn)和D點(diǎn)的速度為0，即初末位置的動(dòng)能為0）.若質(zhì)點(diǎn)從斜面AC由靜止滑下至最終停下來，設(shè)所對(duì)應(yīng)的水平位移為l2，則有mgh-μmgl1＝0-0.比較兩個(gè)方程可知l1＝l2，即質(zhì)點(diǎn)最終仍然停在水平面上的D點(diǎn)，正確選項(xiàng)為（C）.

變式：如圖4所示，物體以初速度v0，從D點(diǎn)出發(fā)沿DEA滑到頂點(diǎn)A點(diǎn)時(shí)速度恰好為0.若斜面改為AC，讓該物體從D點(diǎn)出發(fā)沿DCA滑到頂點(diǎn)A點(diǎn)時(shí)速度也恰好為0，則物體具有的初速度為（設(shè)物體與路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)處處相等且不為0）

（A）大于v0. （B）等于v0.

（C）小于v0. （D）取決于斜面的傾角.

解析：變式與例1是類似的，若利用Wf＝-μmgl這一結(jié)論可以簡(jiǎn)化解題過程，提高解題效率.設(shè)A點(diǎn)的豎直高度為h，物體從D點(diǎn)出發(fā)沿DEA滑到頂點(diǎn)A，所對(duì)應(yīng)的水平位移為l，則根據(jù)動(dòng)能定理和Wf＝-μmgl這一結(jié)論可得-mgh-μmgl＝0-.若物體從D點(diǎn)出發(fā)沿DCA滑到頂點(diǎn)A，其所對(duì)應(yīng)的水平位移仍為l，設(shè)初速度為v，則有-mgh-μmgl＝0-比較兩個(gè)方程式可知v＝v0，正確選項(xiàng)為（B）.

圖5

例2.水上滑梯可簡(jiǎn)化成如圖5所示的模型：傾角為θ＝37°斜滑道AE和水平滑道EC平滑連接，起點(diǎn)A距水面的高度H＝7.0m，EC長(zhǎng)d＝2.0m，端點(diǎn)C距水面的高度h＝1.0m.一質(zhì)量m＝50kg的運(yùn)動(dòng)員從滑道起點(diǎn)A點(diǎn)無初速地自由滑下，運(yùn)動(dòng)員與AE、EC間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ＝0.10.（取重力加速度g＝10m／s2，cos37°＝0.8，sin37°＝0.6，運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中可視為質(zhì)點(diǎn)）.

（1）求運(yùn)動(dòng)員沿AE下滑時(shí)加速度的大小a；

（2）求運(yùn)動(dòng)員從A滑到C的過程中克服摩擦力所做的功W和到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度的大小v；

（3）保持水平滑道端點(diǎn)在同一豎直線上，調(diào)節(jié)水平滑道高度h和長(zhǎng)度d到圖中E'C'位置時(shí)，運(yùn)動(dòng)員從滑梯平拋到水面的水平位移最大，求此時(shí)滑道E'C'距水面的高度h'.

解析：（1）a＝gsinθ-μgcosθ＝5.2m／s2.

對(duì)于第（2）問，用常規(guī)方法需要分段求摩擦力所做的功，列式過程比較麻煩，而根據(jù)Wf＝-μmgl這一結(jié)論可知，運(yùn)動(dòng)員從A滑到C的過程中克服摩擦力所做的功W為W＝μmg（＋d） ＝500J，一個(gè)方程即可解決問題.再根據(jù)動(dòng)能定理有mg（H-h）-W＝mv2-0，可得v＝10m／s.

對(duì)于第（3）問，要表示出運(yùn)動(dòng)員從滑梯平拋到水面的水平位移，則必須先表示出運(yùn)動(dòng)員到達(dá)C點(diǎn)的速度.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，多數(shù)學(xué)生都能想到用動(dòng)能定理求到達(dá)C點(diǎn)的速度，但就是對(duì)求“保持水平滑道端點(diǎn)在同一豎直線上，調(diào)節(jié)水平滑道高度h和長(zhǎng)度d”這一過程中滑動(dòng)摩擦力所做的功感到“束手無策”，因?yàn)閷W(xué)生感到這一變化過程得分段進(jìn)行分析，而每一段的位移又在發(fā)生變化，表示起來比較麻煩，從而導(dǎo)致此問求不出來.若利用Wf＝-μmgl這一結(jié)論，滑動(dòng)摩擦力所做的功只與水平位移有關(guān)，由題目中“保持水平滑道端點(diǎn)在同一豎直線上”可知，調(diào)節(jié)水平滑道高度h和長(zhǎng)度d并不影響運(yùn)動(dòng)員在整個(gè)滑道上所對(duì)應(yīng)的水平位移，因此在整個(gè)滑道上運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力所做的功仍為第（2）問所求的W.則根據(jù)動(dòng)能定理可以求出C點(diǎn)的速度為

圖6

例3.如圖6所示，一個(gè)滑雪運(yùn)動(dòng)員從左側(cè)斜坡距離坡底豎直高度H1＝8m的高處由靜止自由滑下，以坡底為零勢(shì)能參考面，當(dāng)下滑到距離坡底h1高處時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)能和勢(shì)能恰好相等，到坡底后運(yùn)動(dòng)員又靠慣性沖上右側(cè)斜坡，當(dāng)上滑到距離坡底h2高處時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)能和勢(shì)能再次相等，最后上滑的最大高度H2＝4m，全程運(yùn)動(dòng)員通過的水平距離為l＝20m，運(yùn)動(dòng)員與斜坡間的動(dòng)摩擦因數(shù)處處相等，不計(jì)經(jīng)過坡底時(shí)的機(jī)械能損失.在此過程中，下列說法正確的是

（A）h1＜4m，h2＞2m.

（B）滑雪板與雪面的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2.

（C）滑雪運(yùn)動(dòng)員到達(dá)右側(cè)最高處后可能不再返回.

（D）滑雪運(yùn)動(dòng)員從右側(cè)返回再次沖上左側(cè)斜坡的最大高度為2m.

解析：本題正確選項(xiàng)為（A）、（B），可以證明滑雪運(yùn)動(dòng)員到達(dá)右側(cè)最高處后能夠返回，這里重點(diǎn)討論（B）、（D）兩個(gè)選項(xiàng).運(yùn)動(dòng)員從左側(cè)斜坡由靜止下滑運(yùn)動(dòng)至右側(cè)斜坡的最大高度處，這一過程中，根據(jù)動(dòng)能定理和Wf＝-μmgl這一結(jié)論即可得mg（H1-H2）-μmgl＝0-0.由此得μ＝代入數(shù)據(jù)得μ＝0.2，因此（B）選項(xiàng)正確.

考慮到Wf＝-μmgl這一結(jié)論，全程中滑動(dòng)摩擦力所做的功可等效成物體在水平面上運(yùn)動(dòng)相同水平位移時(shí)滑動(dòng)摩擦力所做的功.因此，如圖7所示，運(yùn)動(dòng)員從A處（H＝8m處）無論沿傾角多大的斜面滑下，都能上滑到E處（H＝4m處）且速度為0.即此運(yùn)動(dòng)員可以沿著如圖7所示的ACE、ADE、AEE等不同路徑運(yùn)動(dòng)，重力和滑動(dòng)摩擦力所做的功都相同.假設(shè)運(yùn)動(dòng)員沿著不同的路徑返回到達(dá)左側(cè)斜坡H3＝2m高處（如圖中粗虛線所示高度），重力所做的功相同，而運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的水平位移并不相同，即這一返回過程中滑動(dòng)摩擦力所做的功并不相同，根據(jù)動(dòng)能定理可知，運(yùn)動(dòng)員到達(dá)左側(cè)斜坡H3＝2m高處的速度并不相同，即滑雪運(yùn)動(dòng)員從右側(cè)返回再次沖上左側(cè)斜坡的最大高度并不一定為2m（若α＞θ則到達(dá)不了2m高度，若α＜θ能到達(dá)2m高度以上，若α＝θ剛好到達(dá)2m高度）.因此（D）選項(xiàng)不正確.若不用Wf＝-μmgl這一結(jié)論，則很難通過列方程來判斷（D）選項(xiàng)的正誤.

在高中物理中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)涉及斜面與平面相結(jié)合的題目，而且往往會(huì)涉及到滑動(dòng)摩擦力做功，如果教師在教學(xué)過程中能夠引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用Wf＝-μmgl這一結(jié)論，無疑可以拓寬學(xué)生的解題思路，簡(jiǎn)化解題過程，提高解題速度，從而提高學(xué)生的物理成績(jī).

其實(shí)，只要在平時(shí)教學(xué)過程中多思考、多分析、多總結(jié)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)有許多像“Wf＝-μmgl”這一類書本上沒有但又很實(shí)用的結(jié)論，例如，“平拋運(yùn)動(dòng)速度的反向延長(zhǎng)線與水平位移的交點(diǎn)為水平位移的中點(diǎn)”、“不計(jì)重力帶電粒子沿著半徑方向射入圓形磁場(chǎng)必沿著半徑方向射出圓形磁場(chǎng)”等等.充分、靈活應(yīng)用這些結(jié)論，可以提高教師的教學(xué)效率及學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，使“教與學(xué)”達(dá)到“事半功倍”的效果.