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    “Wf=-μmgl”全程等效意義及應(yīng)用

    2014-10-21 13:15:54帥厚梅李慶國(guó)
    物理教師 2014年1期
    關(guān)鍵詞:動(dòng)能定理斜面結(jié)論

    帥厚梅 李慶國(guó)

    (江蘇省揚(yáng)州市新華中學(xué),江蘇 揚(yáng)州 225009)

    在對(duì)物理過程的分析過程中,我們可以總結(jié)出一些結(jié)論或規(guī)律,這些結(jié)論或規(guī)律具有一定的普遍性和靈活應(yīng)用性,若將其應(yīng)用到相關(guān)問題中,可以使解題更為方便、快捷.下面筆者就對(duì)“Wf=-μmgl”這一結(jié)論進(jìn)行分析討論,呈現(xiàn)其等效意義及在解題中的應(yīng)用.

    1 對(duì)Wf=-μmgl的證明

    圖1

    如圖1所示,一個(gè)質(zhì)量為m的物體沿斜面滑下,并緊接著在水平面上滑行一段距離,測(cè)得初末位置間的水平位移為l,斜面與水平面對(duì)物體的動(dòng)摩擦因數(shù)相同都為μ,重力加速度為g,不考慮物體滑至斜面底端的碰撞作用,可以證明這一運(yùn)動(dòng)過程中滑動(dòng)摩擦力所做的功為Wf=-μmgl.

    圖2

    證明:如圖2所示,設(shè)斜面的夾角為α,斜面的長(zhǎng)度為s,物體沿斜面運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的水平位移為l1,物體沿水平面運(yùn)動(dòng)的位移為l2.物體沿斜面運(yùn)動(dòng)的過程中所受滑動(dòng)摩擦力f1的大小為f1=μN(yùn)1=μmgcosα,f1做的功W1為W1=-f1s=-μmgscosα=-μmgl1.物體沿水平面運(yùn)動(dòng)的過程中所受滑動(dòng)摩擦力f2的大小為f2=μN(yùn)2=μmg,f2做的功W2為W2=-f2l2=-μmgl2.整個(gè)過程中,滑動(dòng)摩擦力做的總功為W=W1+W2=-μmg(l1+l2)=-μmgl.

    2 對(duì)Wf=-μmgl的理解

    (1)成立條件:物體在垂直接觸面上只受支持力和重力(或重力垂直于接觸面的分力),若物體在平行于接觸面方向上除摩擦力外還受其他力,結(jié)論仍然成立.

    (2)l的含義:起點(diǎn)與終點(diǎn)的水平距離,不是物體通過的路程.即滑動(dòng)摩擦力所做的功與斜面的傾角無關(guān),而與整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所對(duì)應(yīng)水平位移有關(guān).

    (3)μmg的含義:不是物體在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)滑動(dòng)摩擦力的大小,因?yàn)槲矬w在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)滑動(dòng)摩擦力為μmgcosα,并且當(dāng)傾角變化時(shí)摩擦力也會(huì)隨之變化.μmg可以看作是物體在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)滑動(dòng)摩擦力的大小.

    圖3

    (4)等效:物體在全程中滑動(dòng)摩擦力所做的功,從效果上看,相當(dāng)于物體在長(zhǎng)為l的水平面上運(yùn)動(dòng)過程中滑動(dòng)摩擦力所做的功.即可以將圖2全程中滑動(dòng)摩擦力所做的功等效成物體在水平面上運(yùn)動(dòng)相同水平位移時(shí)滑動(dòng)摩擦力所做的功,如圖3所示.只要全程所對(duì)應(yīng)的水平位移相同,則全程滑動(dòng)摩擦力所做的功相同.

    3 對(duì)Wf=-μmgl的應(yīng)用

    下面筆者通過幾道典型例題來對(duì)Wf=-μmgl這一結(jié)論進(jìn)行具體應(yīng)用.

    圖4

    例1.如圖4所示,OD是一水平面,AE為一斜面,一質(zhì)點(diǎn)由A點(diǎn)靜止釋放,沿斜面AE滑下,最后停在D點(diǎn),不考慮物體滑至斜面底端的碰撞作用,若斜面改為AC(僅傾角變化),仍從A點(diǎn)由靜止釋放,則最終停在水平面OD上的(設(shè)物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)處處相等)

    (A)D點(diǎn)右側(cè). (B)D點(diǎn)左側(cè).

    (C)D點(diǎn). (D)無法確定.

    解析:若用動(dòng)能定理求解,則沿兩種斜面運(yùn)動(dòng)過程中重力所做的功相同,關(guān)鍵是求滑動(dòng)摩擦力所做的功.斜面傾角發(fā)生變化、斜面上的滑動(dòng)摩擦力發(fā)生變化、斜面長(zhǎng)度發(fā)生變化、水平面長(zhǎng)度發(fā)生變化.既有斜面上的運(yùn)動(dòng),又有水平面上的運(yùn)動(dòng),還得分段寫方程,需要設(shè)定的未知量比較多,這些令許多學(xué)生“望而生畏”.若利用Wf=-μmgl這一結(jié)論,求全程滑動(dòng)摩擦力所做的功相當(dāng)于求物體在OD水平面上運(yùn)動(dòng)相同水平位移時(shí)滑動(dòng)摩擦力所做的功,則可使解題思路變得較為簡(jiǎn)單、清晰.

    設(shè)A點(diǎn)的豎直高度為h,質(zhì)點(diǎn)從斜面AE由靜止滑下停在D點(diǎn),所對(duì)應(yīng)的水平位移為l1,則根據(jù)動(dòng)能定理和Wf=-μmgl這一結(jié)論可得mgh-μmgl1=0-0(A點(diǎn)和D點(diǎn)的速度為0,即初末位置的動(dòng)能為0).若質(zhì)點(diǎn)從斜面AC由靜止滑下至最終停下來,設(shè)所對(duì)應(yīng)的水平位移為l2,則有mgh-μmgl1=0-0.比較兩個(gè)方程可知l1=l2,即質(zhì)點(diǎn)最終仍然停在水平面上的D點(diǎn),正確選項(xiàng)為(C).

    變式:如圖4所示,物體以初速度v0,從D點(diǎn)出發(fā)沿DEA滑到頂點(diǎn)A點(diǎn)時(shí)速度恰好為0.若斜面改為AC,讓該物體從D點(diǎn)出發(fā)沿DCA滑到頂點(diǎn)A點(diǎn)時(shí)速度也恰好為0,則物體具有的初速度為(設(shè)物體與路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)處處相等且不為0)

    (A)大于v0. (B)等于v0.

    (C)小于v0. (D)取決于斜面的傾角.

    解析:變式與例1是類似的,若利用Wf=-μmgl這一結(jié)論可以簡(jiǎn)化解題過程,提高解題效率.設(shè)A點(diǎn)的豎直高度為h,物體從D點(diǎn)出發(fā)沿DEA滑到頂點(diǎn)A,所對(duì)應(yīng)的水平位移為l,則根據(jù)動(dòng)能定理和Wf=-μmgl這一結(jié)論可得-mgh-μmgl=0-.若物體從D點(diǎn)出發(fā)沿DCA滑到頂點(diǎn)A,其所對(duì)應(yīng)的水平位移仍為l,設(shè)初速度為v,則有-mgh-μmgl=0-比較兩個(gè)方程式可知v=v0,正確選項(xiàng)為(B).

    圖5

    例2.水上滑梯可簡(jiǎn)化成如圖5所示的模型:傾角為θ=37°斜滑道AE和水平滑道EC平滑連接,起點(diǎn)A距水面的高度H=7.0m,EC長(zhǎng)d=2.0m,端點(diǎn)C距水面的高度h=1.0m.一質(zhì)量m=50kg的運(yùn)動(dòng)員從滑道起點(diǎn)A點(diǎn)無初速地自由滑下,運(yùn)動(dòng)員與AE、EC間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.10.(取重力加速度g=10m/s2,cos37°=0.8,sin37°=0.6,運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中可視為質(zhì)點(diǎn)).

    (1)求運(yùn)動(dòng)員沿AE下滑時(shí)加速度的大小a;

    (2)求運(yùn)動(dòng)員從A滑到C的過程中克服摩擦力所做的功W和到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度的大小v;

    (3)保持水平滑道端點(diǎn)在同一豎直線上,調(diào)節(jié)水平滑道高度h和長(zhǎng)度d到圖中E'C'位置時(shí),運(yùn)動(dòng)員從滑梯平拋到水面的水平位移最大,求此時(shí)滑道E'C'距水面的高度h'.

    解析:(1)a=gsinθ-μgcosθ=5.2m/s2.

    對(duì)于第(2)問,用常規(guī)方法需要分段求摩擦力所做的功,列式過程比較麻煩,而根據(jù)Wf=-μmgl這一結(jié)論可知,運(yùn)動(dòng)員從A滑到C的過程中克服摩擦力所做的功W為W=μmg(+d) =500J,一個(gè)方程即可解決問題.再根據(jù)動(dòng)能定理有mg(H-h)-W=mv2-0,可得v=10m/s.

    對(duì)于第(3)問,要表示出運(yùn)動(dòng)員從滑梯平拋到水面的水平位移,則必須先表示出運(yùn)動(dòng)員到達(dá)C點(diǎn)的速度.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn),多數(shù)學(xué)生都能想到用動(dòng)能定理求到達(dá)C點(diǎn)的速度,但就是對(duì)求“保持水平滑道端點(diǎn)在同一豎直線上,調(diào)節(jié)水平滑道高度h和長(zhǎng)度d”這一過程中滑動(dòng)摩擦力所做的功感到“束手無策”,因?yàn)閷W(xué)生感到這一變化過程得分段進(jìn)行分析,而每一段的位移又在發(fā)生變化,表示起來比較麻煩,從而導(dǎo)致此問求不出來.若利用Wf=-μmgl這一結(jié)論,滑動(dòng)摩擦力所做的功只與水平位移有關(guān),由題目中“保持水平滑道端點(diǎn)在同一豎直線上”可知,調(diào)節(jié)水平滑道高度h和長(zhǎng)度d并不影響運(yùn)動(dòng)員在整個(gè)滑道上所對(duì)應(yīng)的水平位移,因此在整個(gè)滑道上運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力所做的功仍為第(2)問所求的W.則根據(jù)動(dòng)能定理可以求出C點(diǎn)的速度為

    圖6

    例3.如圖6所示,一個(gè)滑雪運(yùn)動(dòng)員從左側(cè)斜坡距離坡底豎直高度H1=8m的高處由靜止自由滑下,以坡底為零勢(shì)能參考面,當(dāng)下滑到距離坡底h1高處時(shí),運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)能和勢(shì)能恰好相等,到坡底后運(yùn)動(dòng)員又靠慣性沖上右側(cè)斜坡,當(dāng)上滑到距離坡底h2高處時(shí),運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)能和勢(shì)能再次相等,最后上滑的最大高度H2=4m,全程運(yùn)動(dòng)員通過的水平距離為l=20m,運(yùn)動(dòng)員與斜坡間的動(dòng)摩擦因數(shù)處處相等,不計(jì)經(jīng)過坡底時(shí)的機(jī)械能損失.在此過程中,下列說法正確的是

    (A)h1<4m,h2>2m.

    (B)滑雪板與雪面的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2.

    (C)滑雪運(yùn)動(dòng)員到達(dá)右側(cè)最高處后可能不再返回.

    (D)滑雪運(yùn)動(dòng)員從右側(cè)返回再次沖上左側(cè)斜坡的最大高度為2m.

    解析:本題正確選項(xiàng)為(A)、(B),可以證明滑雪運(yùn)動(dòng)員到達(dá)右側(cè)最高處后能夠返回,這里重點(diǎn)討論(B)、(D)兩個(gè)選項(xiàng).運(yùn)動(dòng)員從左側(cè)斜坡由靜止下滑運(yùn)動(dòng)至右側(cè)斜坡的最大高度處,這一過程中,根據(jù)動(dòng)能定理和Wf=-μmgl這一結(jié)論即可得mg(H1-H2)-μmgl=0-0.由此得μ=代入數(shù)據(jù)得μ=0.2,因此(B)選項(xiàng)正確.

    考慮到Wf=-μmgl這一結(jié)論,全程中滑動(dòng)摩擦力所做的功可等效成物體在水平面上運(yùn)動(dòng)相同水平位移時(shí)滑動(dòng)摩擦力所做的功.因此,如圖7所示,運(yùn)動(dòng)員從A處(H=8m處)無論沿傾角多大的斜面滑下,都能上滑到E處(H=4m處)且速度為0.即此運(yùn)動(dòng)員可以沿著如圖7所示的ACE、ADE、AEE等不同路徑運(yùn)動(dòng),重力和滑動(dòng)摩擦力所做的功都相同.假設(shè)運(yùn)動(dòng)員沿著不同的路徑返回到達(dá)左側(cè)斜坡H3=2m高處(如圖中粗虛線所示高度),重力所做的功相同,而運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的水平位移并不相同,即這一返回過程中滑動(dòng)摩擦力所做的功并不相同,根據(jù)動(dòng)能定理可知,運(yùn)動(dòng)員到達(dá)左側(cè)斜坡H3=2m高處的速度并不相同,即滑雪運(yùn)動(dòng)員從右側(cè)返回再次沖上左側(cè)斜坡的最大高度并不一定為2m(若α>θ則到達(dá)不了2m高度,若α<θ能到達(dá)2m高度以上,若α=θ剛好到達(dá)2m高度).因此(D)選項(xiàng)不正確.若不用Wf=-μmgl這一結(jié)論,則很難通過列方程來判斷(D)選項(xiàng)的正誤.

    在高中物理中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)涉及斜面與平面相結(jié)合的題目,而且往往會(huì)涉及到滑動(dòng)摩擦力做功,如果教師在教學(xué)過程中能夠引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用Wf=-μmgl這一結(jié)論,無疑可以拓寬學(xué)生的解題思路,簡(jiǎn)化解題過程,提高解題速度,從而提高學(xué)生的物理成績(jī).

    其實(shí),只要在平時(shí)教學(xué)過程中多思考、多分析、多總結(jié),就會(huì)發(fā)現(xiàn)有許多像“Wf=-μmgl”這一類書本上沒有但又很實(shí)用的結(jié)論,例如,“平拋運(yùn)動(dòng)速度的反向延長(zhǎng)線與水平位移的交點(diǎn)為水平位移的中點(diǎn)”、“不計(jì)重力帶電粒子沿著半徑方向射入圓形磁場(chǎng)必沿著半徑方向射出圓形磁場(chǎng)”等等.充分、靈活應(yīng)用這些結(jié)論,可以提高教師的教學(xué)效率及學(xué)生的學(xué)習(xí)效率,使“教與學(xué)”達(dá)到“事半功倍”的效果.

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