利用導(dǎo)數(shù)探究f（x）是否穿過(guò)x軸單調(diào)的策略

武增明

在高中數(shù)學(xué)中，有一類(lèi)函數(shù)問(wèn)題需要利用導(dǎo)數(shù)方法探究函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是否穿過(guò)x軸單調(diào)遞增或單調(diào)遞減.對(duì)此類(lèi)問(wèn)題，許多學(xué)生找不到突破口，甚至束手無(wú)策.以下結(jié)合實(shí)例探討判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是否穿過(guò)x軸單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的策略.

1判斷函數(shù)f（x）的值的符號(hào)

例1已知a∈R，關(guān)于x的方程xx2+x+2=a最多有（）個(gè)實(shí)數(shù)解.

A.1B.2C.3D.4

解析原題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=xx2+x+2與y=a的交點(diǎn)問(wèn)題.對(duì)函數(shù)f（x）=xx2+x+2求導(dǎo)后得f′（x）=2-x2（x2+x+2）2，由此可得，f（x）在（-∞，-2]，[2，+∞）上單調(diào)遞減，f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增.

下面我們要關(guān)心的問(wèn)題是，f（x）在（-∞，-2]，[2，+∞）上單調(diào)遞減是穿過(guò)x軸單調(diào)遞減嗎？

圖1

因?yàn)閤取一切實(shí)數(shù)，x2+x+2>0

恒成立，所以x∈（-∞，-2]時(shí)，

f（x）<0；x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）>0，

故f（x）在（-∞，-2]，[2，+∞）上

都不是穿過(guò)x軸的單調(diào)遞減，其模擬圖象如圖1，

于是直線(xiàn)y=a與函數(shù)y=f（x）最多有2個(gè)不同的交點(diǎn)，故選B.

評(píng)注此題用極限思想也可以判斷函數(shù)f（x）在單調(diào)區(qū)間（-∞，-2]，[2，+∞）上的圖象的走向.

2判斷函數(shù)f（x）的值的符號(hào)與極限思想并用

例2已知關(guān)于x的方程lnxx=a有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析原題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=lnxx與y=a的交點(diǎn)問(wèn)題.因?yàn)閒′（x）=1-lnxx2，注意到定義域是（0，+∞），所以由此可得，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，f（x）在[e，+∞）上單調(diào)遞減.

下面我們要關(guān)心的問(wèn)題是，f（x）在（0，e]上是否是穿過(guò)x軸的單增？f（x）在[e，+∞）上是否是穿過(guò)x軸的單減？

因?yàn)閒（e）=1e>0，f（1）=0，且x=0時(shí)，方程lnxx=0無(wú)實(shí)根，即函數(shù)f（x）=lnxx無(wú)意義（不存在），所以f（x）在（0，e]上是穿過(guò)x軸的單增，且x=0（y軸）是函數(shù)f（x）的圖象的一條漸近線(xiàn).

圖2

因?yàn)閒（e）=1e>0，在[e，+∞）上，

f（x）>0，所以f（x）在[e，+∞）上是沒(méi)有穿

過(guò)x軸的單減，且y=0（x軸）是函數(shù)f（x）在區(qū)間

[e，+∞）上的圖象的一條漸

近線(xiàn)，如圖2，于是由函數(shù)f（x）=lnxx的

圖象與直線(xiàn)y=a有且只有一個(gè)交點(diǎn)得

a≤0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0.

評(píng)注上述例1、例2是兩道典型的具有代表性的易錯(cuò)題，錯(cuò)因是判斷函數(shù)f（x）的圖象的變化趨勢(shì)不準(zhǔn)確.

3極限思想

例3已知當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，關(guān)于x的不等式ax2-x+ln（x+1）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析設(shè)f（x）=ax2-x+ln（x+1），

f′（x）=x[2ax+（2a-1）]x+1.

若a=0，則f′（x）=-xx+1<0.

f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，

又f（0）=0，如圖3，所以a=0符合題意.

圖3圖4

若a>0，則

當(dāng)1-2a2a<0a>12時(shí)，f（x）在[0，+∞）

上單調(diào)遞增，又f（0）=0，如圖4，

所以a>12不符合題意.

當(dāng)1-2a2a≥00

0，1-2a2a上單調(diào)遞減；在1-2a2a，+∞上單調(diào)遞增，又f（0）=0，

這時(shí)，我們要關(guān)心的問(wèn)題是，f（x）在1-2a2a，+∞上是穿過(guò)x軸遞增嗎？

因?yàn)閤→+∞時(shí)，f（x）→+∞，所以0

若a<0，則f′（x）=x[2ax+（2a-1）]x+1<0.

所以f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，如圖3，又f（0）=0，故a<0符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0.

評(píng)注當(dāng)1-2a2a≥000，從而f（x）在[1-2a2a，+∞）上是穿過(guò)x軸單調(diào)遞增.

例4證明：當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，12x+12（x+1）>ln（1+1x）.

圖5

證明令f（x）=12x+12（x+1）-ln（1+1x）（x≥1），

因?yàn)閒′（x）=-12x2（x+1）2<0，又x→+∞時(shí)，f（x）→0，

所以函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞

減，且f（x）的值無(wú)限趨近于0，故在區(qū)

間[1，+∞）上，f（x）的圖象恒在x軸上

方，即在[1，+∞）上，f（x）是沒(méi)有穿過(guò)

x軸的單調(diào)遞減，如圖5，故f（x）>0，

從而不等式12x+12（x+1）>ln（1+1x）（x≥1）成立.

4零點(diǎn)思想

例5已知關(guān)于x的不等式a-12ex+xex-2a<0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析a-12ex+xex-2a<0a-12e2x-2aex+x<0.

令f（x）=（a-12）e2x-2aex+x，

f′（x）=（2a-1）e2x-2aex+1=（ex-1）[（2a-1）ex-1].

若2a-1≤0a≤12.

此時(shí)，在區(qū)間（0，+∞）上恒有f′（x）<0，

從而f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)；要使

f（x）<0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，只需滿(mǎn)足

f（0）≤0，其模擬圖如圖6，f（0）≤0

-a-12≤0a≥-12，由此求得a的取值范

圍是-12，12.

圖6圖7

若2a-1>0a>12.

當(dāng)ln12a-1≤0a≥1時(shí)，f（x）在

（0，+∞）上單增.

因?yàn)閒（0）=-a-12<0，這時(shí)，

我們要關(guān)心的問(wèn)題是，f（x）是穿過(guò)x軸單調(diào)遞增嗎？

因?yàn)閒（ln4）=a-12e2ln4-2aeln4+ln4=8a-8+ln4>0（取x=ln2，ln3，能判定f（ln2），f（ln3）的值的符號(hào)嗎？不能?。?/p>

所以，當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是穿過(guò)x軸單調(diào)遞增，如圖7，于是a≥1不符合題意.

當(dāng)ln12a-1>012

因?yàn)閒（0）=-a-12<0，所以這時(shí)我們要關(guān)心的問(wèn)題是，f（x）在ln12a-1，+∞上單增，是穿過(guò)x軸單調(diào)遞增嗎？

取a=34，則ln12a-1=ln2.

此時(shí)，取x=ln6，則

f（ln6）=34-12×e2ln6-2×34×eln6+ln6

=364-364+ln6=ln6>0（取x=ln3，ln4，ln5，能判定f（ln3），f（ln4），f（ln5）的值的符號(hào)嗎？不能?。?/p>

圖8

所以當(dāng)12

上是穿過(guò)x軸單調(diào)遞增，如圖8，于是

12

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-12，12.

評(píng)注（1）當(dāng)ln12a-1>012

導(dǎo)數(shù)作為一種重要的解題工具，在處理高中數(shù)學(xué)的函數(shù)問(wèn)題中有著不可替代的作用.但是如果考慮不周，往往會(huì)帶來(lái)致命性的錯(cuò)誤！本文歸納的4種利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）是否穿過(guò)x軸單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的策略，是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考熱點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握并能靈活運(yùn)用.

令f（x）=（a-12）e2x-2aex+x，

f′（x）=（2a-1）e2x-2aex+1=（ex-1）[（2a-1）ex-1].

若2a-1≤0a≤12.

此時(shí)，在區(qū)間（0，+∞）上恒有f′（x）<0，

從而f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)；要使

f（x）<0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，只需滿(mǎn)足

f（0）≤0，其模擬圖如圖6，f（0）≤0

-a-12≤0a≥-12，由此求得a的取值范

圍是-12，12.

圖6圖7

若2a-1>0a>12.

當(dāng)ln12a-1≤0a≥1時(shí)，f（x）在

（0，+∞）上單增.

因?yàn)閒（0）=-a-12<0，這時(shí)，

我們要關(guān)心的問(wèn)題是，f（x）是穿過(guò)x軸單調(diào)遞增嗎？

因?yàn)閒（ln4）=a-12e2ln4-2aeln4+ln4=8a-8+ln4>0（取x=ln2，ln3，能判定f（ln2），f（ln3）的值的符號(hào)嗎？不能?。?/p>

所以，當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是穿過(guò)x軸單調(diào)遞增，如圖7，于是a≥1不符合題意.

當(dāng)ln12a-1>012

因?yàn)閒（0）=-a-12<0，所以這時(shí)我們要關(guān)心的問(wèn)題是，f（x）在ln12a-1，+∞上單增，是穿過(guò)x軸單調(diào)遞增嗎？

取a=34，則ln12a-1=ln2.

此時(shí)，取x=ln6，則

f（ln6）=34-12×e2ln6-2×34×eln6+ln6

=364-364+ln6=ln6>0（取x=ln3，ln4，ln5，能判定f（ln3），f（ln4），f（ln5）的值的符號(hào)嗎？不能?。?/p>

圖8

所以當(dāng)12

上是穿過(guò)x軸單調(diào)遞增，如圖8，于是

12

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-12，12.

評(píng)注（1）當(dāng)ln12a-1>012

導(dǎo)數(shù)作為一種重要的解題工具，在處理高中數(shù)學(xué)的函數(shù)問(wèn)題中有著不可替代的作用.但是如果考慮不周，往往會(huì)帶來(lái)致命性的錯(cuò)誤！本文歸納的4種利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）是否穿過(guò)x軸單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的策略，是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考熱點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握并能靈活運(yùn)用.

令f（x）=（a-12）e2x-2aex+x，

f′（x）=（2a-1）e2x-2aex+1=（ex-1）[（2a-1）ex-1].

若2a-1≤0a≤12.

此時(shí)，在區(qū)間（0，+∞）上恒有f′（x）<0，

從而f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)；要使

f（x）<0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，只需滿(mǎn)足

f（0）≤0，其模擬圖如圖6，f（0）≤0

-a-12≤0a≥-12，由此求得a的取值范

圍是-12，12.

圖6圖7

若2a-1>0a>12.

當(dāng)ln12a-1≤0a≥1時(shí)，f（x）在

（0，+∞）上單增.

因?yàn)閒（0）=-a-12<0，這時(shí)，

我們要關(guān)心的問(wèn)題是，f（x）是穿過(guò)x軸單調(diào)遞增嗎？

因?yàn)閒（ln4）=a-12e2ln4-2aeln4+ln4=8a-8+ln4>0（取x=ln2，ln3，能判定f（ln2），f（ln3）的值的符號(hào)嗎？不能?。?/p>

所以，當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是穿過(guò)x軸單調(diào)遞增，如圖7，于是a≥1不符合題意.

當(dāng)ln12a-1>012

因?yàn)閒（0）=-a-12<0，所以這時(shí)我們要關(guān)心的問(wèn)題是，f（x）在ln12a-1，+∞上單增，是穿過(guò)x軸單調(diào)遞增嗎？

取a=34，則ln12a-1=ln2.

此時(shí)，取x=ln6，則

f（ln6）=34-12×e2ln6-2×34×eln6+ln6

=364-364+ln6=ln6>0（取x=ln3，ln4，ln5，能判定f（ln3），f（ln4），f（ln5）的值的符號(hào)嗎？不能?。?/p>

圖8

所以當(dāng)12

上是穿過(guò)x軸單調(diào)遞增，如圖8，于是

12

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-12，12.

評(píng)注（1）當(dāng)ln12a-1>012

導(dǎo)數(shù)作為一種重要的解題工具，在處理高中數(shù)學(xué)的函數(shù)問(wèn)題中有著不可替代的作用.但是如果考慮不周，往往會(huì)帶來(lái)致命性的錯(cuò)誤！本文歸納的4種利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）是否穿過(guò)x軸單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的策略，是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考熱點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握并能靈活運(yùn)用.