學(xué)情分析是數(shù)學(xué)教學(xué)的前提

趙緒昌

關(guān)注每一位學(xué)生的發(fā)展是新課程改革的核心理念.從學(xué)生發(fā)展的需要出發(fā)審視整個(gè)教學(xué)過程，真正了解學(xué)生的發(fā)展需要自然成為課堂教學(xué)的首要任務(wù).學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿都應(yīng)體現(xiàn)在學(xué)生身上，高效的教學(xué)離不開對(duì)學(xué)生的全面了解.只有了解學(xué)生、讀懂學(xué)生，走進(jìn)學(xué)生的心靈，我們的教學(xué)才能有的放矢，才能真正“以學(xué)論教”.我們想引領(lǐng)學(xué)生到我們想讓他去的地方，那必須首先知道學(xué)生現(xiàn)在到底在哪里.這是一個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí).我們想引領(lǐng)學(xué)生到另一個(gè)地方去，這會(huì)涉及三個(gè)問題，一是究竟想到哪里去.二是學(xué)生現(xiàn)在在哪里.三是怎樣去.了解學(xué)生現(xiàn)在在哪里，就是了解學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，怎樣引領(lǐng)就是學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，引領(lǐng)到哪里就是學(xué)生學(xué)習(xí)的目標(biāo).教師應(yīng)盡可能從學(xué)生的“已知”、“未知”、“能知”、“想知”和“怎么知”等五個(gè)方面深入分析學(xué)生情況.（1）學(xué)生的“已知”是指學(xué)生已經(jīng)具備的與本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)相關(guān)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和能力水平等，明確這點(diǎn)很重要，它決定著學(xué)習(xí)起點(diǎn)的定位.（2）學(xué)生的“未知”是相對(duì)“已知”而言的，它包括學(xué)習(xí)應(yīng)該達(dá)到的終極目標(biāo)中所包含的未知知識(shí)，而且還包括實(shí)現(xiàn)終極目標(biāo)之前，還要涉及學(xué)生所沒有掌握的知識(shí).（3）學(xué)生的“能知”是通過這節(jié)課教學(xué)，所任教班級(jí)的學(xué)生能達(dá)到怎么樣的目標(biāo)，它決定了學(xué)習(xí)終點(diǎn)（即學(xué)習(xí)目標(biāo)）的定位.這是因材施教的基礎(chǔ).（4）學(xué)生的“想知”是指除教學(xué)目標(biāo)規(guī)定的要求外，學(xué)生還希望知道哪些目標(biāo)以外的東西（注：學(xué)生學(xué)習(xí)中，往往會(huì)通過提出疑問來體現(xiàn)“想知”.當(dāng)然，學(xué)生的“想知”可能會(huì)超出教學(xué)目標(biāo)或者學(xué)生認(rèn)知水平.如果真是如此，課堂教學(xué)可以拓展，但建議給學(xué)生一個(gè)提示性的交待）.（5）學(xué)生的“怎么知”反映學(xué)生是如何進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的，它體現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)知風(fēng)格和學(xué)習(xí)方法、習(xí)慣等.下面就“學(xué)情分析是數(shù)學(xué)教學(xué)的前提”舉例說明.

1基于認(rèn)知起點(diǎn)，確定教學(xué)生長(zhǎng)點(diǎn)

案例1“幾何概型”探究教學(xué)（普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（蘇教版數(shù)學(xué)必修3））

問題1：若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，則從A中任取出一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)不大于3的概率是多少？

變式：若A=（0，9]，則從A中任意取出一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)不大于3的概率是多少？

問題2：取一根長(zhǎng)為9米的彩帶，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)度都不小于3米的概率是多少？

問題3：某島周圍海域面積約為17萬平方公里，若在此海域里有面積達(dá)01萬平方公里的大陸架蘊(yùn)藏著石油，假設(shè)在這個(gè)海域里任意選定一點(diǎn)鉆探，則鉆出石油的概率是多少？

問題4：有一杯1升的水，其中含有1個(gè)細(xì)菌，用一個(gè)小杯從這杯水中取出01升，求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率？

教學(xué)隨想美國(guó)著名心理學(xué)家奧斯貝爾曾經(jīng)說過：“如果不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會(huì)說，影響學(xué)習(xí)的最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)狀況去進(jìn)行教學(xué).”遵循從“學(xué)生已經(jīng)知道了什么”與“學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)”出發(fā)進(jìn)行教學(xué)，符合皮亞杰的“認(rèn)識(shí)即是一種以主體已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)的建構(gòu)活動(dòng)”的觀點(diǎn).案例中，通過設(shè)計(jì)問題串啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生以真實(shí)的問題（學(xué)生頭腦中真正存在的問題，是作為新知識(shí)固著點(diǎn)的問題）和真實(shí)的經(jīng)驗(yàn)（學(xué)生頭腦中已有的經(jīng)驗(yàn)，是作為新知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)）為基礎(chǔ)，從已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)——古典概型出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問題情境（設(shè)計(jì)合理的問題串），自然而然地引入新課——幾何概型.通過問題1為學(xué)生的思維搭建好框架，通過變式來設(shè)置懸念，引導(dǎo)學(xué)生思考在A=（0，9]內(nèi)到底有多少個(gè)數(shù)，A=（0，9]中不大于3的數(shù)又有多少呢？由此在思維層次上，盡可能減小思維落差，幫助學(xué)生從原有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)中找到“支架”和“固著點(diǎn)”，激起學(xué)生的探究欲望.接著，圍繞幾何概型計(jì)算公式中的測(cè)度進(jìn)行遞進(jìn)式設(shè)計(jì)，從線段（一維）到面積（二維）再到體積（三維），遵循學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”和認(rèn)知規(guī)律，教師與學(xué)生思維同步進(jìn)行探究，這樣學(xué)生才能真正體會(huì)、感受到數(shù)學(xué)所包含的深刻思維和豐富智慧，體驗(yàn)、享受探究的樂趣與魅力.

2關(guān)注學(xué)習(xí)需求，構(gòu)建教學(xué)啟發(fā)點(diǎn)

案例2“函數(shù)的奇偶性”的教學(xué)片斷

師：請(qǐng)同學(xué)們回顧函數(shù)單調(diào)性的定義、單調(diào)區(qū)間及判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.

生：（略）.

師：很好！下面我們研究函數(shù)的第二個(gè)性質(zhì)——奇偶性.

師：觀察函數(shù)y=x2與y=1x的圖象，它們有什么特征？

生：y=x2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，y=1x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

師：這兩種對(duì)稱的特點(diǎn)，反映在數(shù)量關(guān)系上，你能得出怎樣的結(jié)論？先看函數(shù)y=x2.

生：對(duì)于y=x2，當(dāng)自變量x取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，y取同一值.記f（x）=y=x2，有f（-12）=f（12），f（-1）=f（1），…，一般地，有f（-x）=f（x）.

師：非常好，這表明：如果點(diǎn)（x，y）在函數(shù)y=x2的圖象上，則該點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)（-x，y）也在函數(shù)y=x2的圖象上.下面請(qǐng)大家再來研究函數(shù)y=1x.

生：當(dāng)自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，y亦取相反數(shù).例如f（-12）=-f（12），f（-1）=-f（1），

…，一般地，有f（-x）=-f（x）.由此可以抽象出：如果點(diǎn)（x，y）在函數(shù)y=1x的圖象上，則該點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（-x，-y）也在函數(shù)y=1x的圖象上.

教師啟發(fā)學(xué)生，得出奇（偶）函數(shù)的定義.強(qiáng)調(diào)：①定義本身蘊(yùn)涵著“函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”；②“定義域內(nèi)任一個(gè)”是指對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x；③判斷函數(shù)奇偶性最基本的方法：先看定義域，再檢查f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x））是否成立.

教學(xué)隨想課堂教學(xué)活動(dòng)是在教師指導(dǎo)下有組織、有步驟、有計(jì)劃的一項(xiàng)復(fù)雜的心理活動(dòng)和智力活動(dòng).為了使數(shù)學(xué)課上得既生動(dòng)又有效，教師就必須有課前的周密策劃，即準(zhǔn)確把握教材內(nèi)容，全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，有效開發(fā)教學(xué)的豐富資源.其中，學(xué)習(xí)的主體——學(xué)生的學(xué)習(xí)需求顯得尤為重要.課堂教學(xué)中，只有努力滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生能夠愛學(xué)、喜學(xué)和樂學(xué)，激活學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)，才能促使學(xué)生積極主動(dòng)地參與教學(xué)過程.但是，教學(xué)實(shí)踐中，許多教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，往往忽視對(duì)學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)需求的分析與研究，從而使課堂教學(xué)走向誤區(qū).上述設(shè)計(jì)在學(xué)生已經(jīng)熟悉的函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上，從形和數(shù)相聯(lián)系的角度出發(fā)，通過對(duì)兩個(gè)特殊函數(shù)的研究，抽象出函數(shù)奇偶性的概念，體現(xiàn)了化陌生為熟悉和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，符合由熟悉到陌生、由特殊到一般、由直觀到抽象的認(rèn)知規(guī)律，整個(gè)過程，看似無懈可擊.但是，如果我們站在以學(xué)生為本、為學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)教學(xué)的高度進(jìn)行深人地思考，就會(huì)提出這樣的問題：為什么要研究函數(shù)的奇偶性？其意義何在，價(jià)值是什么？顯然，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)施時(shí)，只是站在教師教的角度，按照教師的主觀意志組織活動(dòng)，將教師的意圖強(qiáng)加給學(xué)生，而無視學(xué)生的學(xué)習(xí)需求.

3尋找興趣焦點(diǎn)，激活教學(xué)興奮點(diǎn)

案例3“弧度制”的教學(xué)片斷

在“弧度制”教學(xué)時(shí)，鈴聲一響，全班學(xué)生和聽課的教師正襟而坐，靜靜等待任課教師開始上課.這時(shí)，只見教室門被推開，上課教師手拿一面折扇，不慌不忙地走上講臺(tái)，悠然而立，“刷”的一聲打開折扇慢悠悠地?fù)u動(dòng)起來.學(xué)生及聽課教師如墜霧里，滿眼詫異：此時(shí)天氣正冷，教師這是唱的哪一出呢？

正在大家莫名其妙之時(shí)，教師將扇子一舉說：“同學(xué)們，請(qǐng)看這是什么圖形啊？”學(xué)生大聲回答：“扇形！”教師又問：“你會(huì)做扇形嗎？”學(xué)生：“將圓剪出一部分.”教師又問：“如果要使做出的折扇更好看，應(yīng)該怎么剪呢？”學(xué)生紛紛議論，有的迫不及待地開始動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，有的卻無從下手.此時(shí)教師又說話了：“誰做的扇形好看，我們便把它叫做黃金扇！”聽到此話，有的學(xué)生頓時(shí)驚醒：“黃金分割率”.教師會(huì)心一笑：“對(duì)，只要讓你剪出的扇形面積和剩余部分的面積比值符合黃金比例即可，那么怎么求出扇形的面積，以及剪出扇形的圓心角應(yīng)該是多少呢？學(xué)完本節(jié)課，希望同學(xué)們能夠輕松地完成該任務(wù).”

至此，聽課教師才恍然大悟，原來如此！而學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣也被充分調(diào)動(dòng)起來了，然后便開始了“弧度制”的學(xué)習(xí).因?yàn)閷W(xué)習(xí)氣氛熱烈，效率大大提高，學(xué)生很輕松地掌握了弧度制的概念、弧長(zhǎng)和扇形的面積公式.離下課還有五分鐘時(shí)，教師又提出了新授課前的問題：“哪位同學(xué)能給出黃金扇形的圓心角的求法，

請(qǐng)上講臺(tái)來展示一下.”話音未落，一名學(xué)生

便走上講臺(tái)開始講解：

如右圖，假如設(shè)計(jì)紙扇的圓心角為θ，

則剩余部分的圓心角為2π-θ.而折扇

面積S1與剩余面積S2的比值為黃金比例

值0618.由扇形面積公式可得

S1S2=12γ2θ12γ2（2π-θ）=0.618，

則θ=0618（2π-θ），所以θ≈0.764π≈140°.

即只要紙扇的中心大約為140°時(shí)，該紙扇符合黃金比例，所以最好看.

教學(xué)隨想數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展的過程.教師在學(xué)生主動(dòng)的建構(gòu)過程中，應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)者.數(shù)學(xué)教學(xué)要獲得成功，就必須想方設(shè)法啟動(dòng)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，將外在的教學(xué)目標(biāo)轉(zhuǎn)換為學(xué)生的心理需要，成為學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo).教師要充分分析了解學(xué)生的心理需求，學(xué)習(xí)興趣，在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中營(yíng)造生動(dòng)活潑的教學(xué)氣氛，讓學(xué)生經(jīng)過體驗(yàn)、創(chuàng)造、爭(zhēng)辯、反思、升華的過程，發(fā)揮自主性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).只有當(dāng)學(xué)生對(duì)所學(xué)的內(nèi)容產(chǎn)生了興趣，形成了內(nèi)在的需要和動(dòng)機(jī)，他才能具有達(dá)成目標(biāo)的主動(dòng)性，教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)才有保證，使學(xué)生由“要我學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤拔乙獙W(xué)”.案例中，學(xué)生分析思路清晰，公式應(yīng)用準(zhǔn)確.本節(jié)課教師以滿腔的熱忱感染著學(xué)生，以高超的教學(xué)藝術(shù)引領(lǐng)著學(xué)生，其獨(dú)特的教學(xué)風(fēng)格和爐火純青的教學(xué)藝術(shù)在本節(jié)課上得到了充分的體現(xiàn)，課堂設(shè)計(jì)情境前后照應(yīng)，整堂課精彩紛呈，既讓人精神愉悅又回味無窮，這真是：一把折扇貫始終，角度弧度在其中.奇思妙想巧點(diǎn)撥，學(xué)以致用標(biāo)達(dá)成.

4分析學(xué)習(xí)難點(diǎn)，尋找教學(xué)突破點(diǎn)

案例4“橢圓的性質(zhì)”的教學(xué)片斷

師：有沒有同學(xué)剪的橢圓紙板是不對(duì)稱的？

生：沒有！

師：是不是可以說任意的橢圓都是對(duì)稱的呢？

生：必須證明.

師：用什么來表示任意一個(gè)橢圓？

生：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

學(xué)生口述老師板書：求證橢圓x2a2+y2b2=1關(guān)于x軸對(duì)稱.

證明：在橢圓上任取一點(diǎn)P（x0，y0），它關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q（x0，-y0），有x20a2+（-y0）2b2=x20a2+y20b2=1，則點(diǎn)Q（x0，-y0）也在橢圓上，所以橢圓關(guān)于x軸對(duì)稱.同理橢圓關(guān)于y軸和原點(diǎn)對(duì)稱.

師：從這一證明過程，你能根據(jù)曲線方程的形式快速判別曲線關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱嗎？

生：用-y代y方程不變，曲線關(guān)于x軸對(duì)稱；用-x代x方程不變，曲線關(guān)于y軸對(duì)稱；用-x代x，-y代y方程都不變，曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

師：如果一個(gè)曲線不關(guān)于y軸對(duì)稱，如何判別？

生：舉反例！

師：我們從橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2b2=1的角度還能看出橢圓具有哪些性質(zhì)？大家討論一下，然后小組交流.

生：橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)……

生：橢圓上所有點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)有范圍……

生：存在一個(gè)大圓和一個(gè)小圓分別與橢圓外切和內(nèi)切……

教學(xué)隨想學(xué)習(xí)難點(diǎn)是指那些太抽象、離學(xué)生生活實(shí)際太遠(yuǎn)的、過程太復(fù)雜的、學(xué)生難于理解和掌握的知識(shí)、技能與方法.難點(diǎn)的形成主要有以下幾個(gè)方面的原因：一是該知識(shí)遠(yuǎn)離學(xué)生的生活實(shí)際，學(xué)生缺乏相應(yīng)的感性認(rèn)識(shí)；二是該知識(shí)較為抽象，學(xué)生難以理解；三是該知識(shí)包含多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，知識(shí)點(diǎn)過于集中；四是該知識(shí)與舊知識(shí)聯(lián)系不大或舊知識(shí)掌握不牢或因大多數(shù)學(xué)生對(duì)與之聯(lián)系的舊知識(shí)遺忘所致.因此，突破難點(diǎn)，關(guān)鍵在于對(duì)造成難點(diǎn)的原因進(jìn)行分析，原因找準(zhǔn)了，對(duì)癥下藥就不難了.案例中，“橢圓的性質(zhì)”一課的學(xué)習(xí)難點(diǎn)是利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程去發(fā)現(xiàn)和證明橢圓的性質(zhì)，把從具體實(shí)物中的發(fā)現(xiàn)上升到理論證明，由感性認(rèn)識(shí)到理性思考，這是進(jìn)行科學(xué)研究的必經(jīng)之路，同時(shí)也體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)：利用代數(shù)方法證明幾何問題.這里通過教師的引導(dǎo)，精心設(shè)計(jì)一個(gè)個(gè)小問題，不斷把學(xué)生的思維引向深入，把目光從具體的橢圓形狀轉(zhuǎn)移到它的方程上來，從直觀判斷到理性思考，找到了三種對(duì)稱的本質(zhì).這樣，不作出曲線同樣能從它的方程判斷其對(duì)稱性，對(duì)曲線對(duì)稱性的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)新的高度，掌握了問題的本質(zhì)特性.學(xué)生的思維象脫韁的野馬，課堂氣氛熱烈，掀起了一個(gè)又一個(gè)高潮.學(xué)生深刻體會(huì)到：應(yīng)該從曲線的方程去研究曲線的性質(zhì)，這正是解析幾何的本質(zhì)所在.

5發(fā)現(xiàn)課堂意外，抓住教學(xué)生成點(diǎn)

案例5“直線的傾斜角與斜率”的教學(xué)片斷

人教A版必修2“31直線的傾斜角與斜率”的教學(xué)

先創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，導(dǎo)出坐標(biāo)法研究方式，預(yù)設(shè)進(jìn)行兩次探究，建立直線的傾斜角與斜率的概念.

探究1“一點(diǎn)能否確定一條直線”，通過幾何畫板的動(dòng)畫，觀察過一點(diǎn)P作多條直線的區(qū)別，思考能不能用一個(gè)幾何量描述直線的傾斜程度，然后引出傾斜角的概念；

探究2“還有什么量能描述直線的傾斜程度”，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系坡度比，給出斜率的概念，再導(dǎo)出兩點(diǎn)間斜率公式.

筆者在引出探究1和觀察后，給出這樣一個(gè)思考：“能不能用一個(gè)幾何量描述直線的傾斜程度？”教師的設(shè)計(jì)意圖很明顯，是想讓學(xué)生用角來描述.但出人意料的事發(fā)生了，一位女同學(xué)站起來回答“可以用斜率描述”，學(xué)生的回答出乎了教師的預(yù)設(shè).如何處理這一“生成性問題”？若按這位學(xué)生的回答展開教學(xué)，將打亂原先的教學(xué)設(shè)計(jì)；若是“聽而不聞”，再讓另一個(gè)學(xué)生回答，但這樣處理勢(shì)必影響這位學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，并對(duì)她和其他學(xué)生的思維產(chǎn)生抑制，所以筆者沒有中斷她的回答，而是提出：

追問1“斜率是什么？”如果學(xué)生按照課本的定義回答斜率是傾斜角α的正切值，教師再追問傾斜角α是什么？自然將學(xué)生研究的視角引回到教學(xué)預(yù)設(shè)上來.但是學(xué)生的回答又一次出乎教師的預(yù)設(shè)，學(xué)生說“斜率k=y2-y1x2-x1，其中x1、y1，x2、y2表示直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)”.顯然學(xué)生的回答使教師的教學(xué)預(yù)設(shè)又一次落空，再繼續(xù)下去必然打亂之前的教學(xué)設(shè)計(jì).

追問2“你是怎么獲得的？”“書上有的”，學(xué)生們哄堂大笑.此時(shí)教師將k=y2-y1x2-x1板書，放棄了原先的教學(xué)設(shè)計(jì).

追問3“我們說兩點(diǎn)確定一條直線，對(duì)所有的直線都存在k嗎？”讓學(xué)生共同討論，并結(jié)合幾何畫板演示，明確只要確定兩點(diǎn)，當(dāng)x1≠x2時(shí)都有k的存在.

追問4“我們能不能從幾何角度研究k=y2-y1x2-x1？日常生活中，有沒有表示傾斜特征的量？”

追問5“能不能用坡度（比）來表示傾斜程度呢？坡度（比）能滿足我們研究直線的需要嗎？它有哪些局限性？”引導(dǎo)學(xué)生回憶起坡度問題，通過坡度比與斜率的對(duì)比，不斷完善斜率的概念.

追問6“所以我們有繼續(xù)研究斜率k的必要，斜率k取值與P1（x1，y1），P2（x2，y2）先后有關(guān)嗎？”通過幾何畫板，在點(diǎn)不斷的運(yùn)動(dòng)過程中，引導(dǎo)學(xué)生理解“坡度”實(shí)際就是“α的正切值”，從而引入傾斜角的概念.

教學(xué)隨想蘇霍姆林斯基說：“教育的技巧并不在于能預(yù)見到課堂的所有細(xì)節(jié)，而是在于根據(jù)當(dāng)時(shí)的具體情況，巧妙地在學(xué)生不知不覺中作出相應(yīng)的變動(dòng).”葉瀾教授曾經(jīng)充滿詩情畫意地說過，“課堂應(yīng)該是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的風(fēng)景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的行程.”學(xué)生作為一種活生生的力量，帶著自己的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、思考、情感參與課堂教學(xué)，他們隨時(shí)都有可能產(chǎn)生意外.教師需要摒棄固守原有的教學(xué)設(shè)計(jì)而不顧及形勢(shì)的變化的觀念，在課堂教學(xué)中隨機(jī)而變，敏銳地發(fā)現(xiàn)一些生成點(diǎn).案例中，學(xué)生的回答完全打亂了教師原先的教學(xué)設(shè)計(jì)，至少教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)順序被打亂了，但是教師卻在學(xué)生“意外回答”中，通過與學(xué)生的對(duì)話，教師的“問”、“追問”、“進(jìn)一步追問”，環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，指向教學(xué)目標(biāo)，借助“坡度”概念強(qiáng)化斜率的概念，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的意義，發(fā)展學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)了課堂教學(xué)的有效性.由此說明，教學(xué)的技巧并不在于預(yù)見課堂中的所有細(xì)節(jié)，而在于面對(duì)“節(jié)外生枝”時(shí)，能潤(rùn)物細(xì)無聲地做出巧妙的變動(dòng).這同樣也是教師的“意外收獲”.

“節(jié)外生枝”現(xiàn)象在課堂里并不少見，如何看待課堂教學(xué)的生成？首先，靈活處置“節(jié)外生枝”的內(nèi)容.如果它與課堂教學(xué)內(nèi)容無關(guān)，也無益于發(fā)展學(xué)生能力，教師可以婉轉(zhuǎn)地告知學(xué)生課后再作交流討論.如果“節(jié)外生枝”的內(nèi)容是很好的一個(gè)生成點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生的發(fā)展大有益處，那么教師就要把握住這個(gè)“枝”，順藤摸瓜，以取得意想不到的效果.其次，正確看待預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo).課堂教學(xué)目標(biāo)是為學(xué)生發(fā)展服務(wù)的，暫時(shí)未達(dá)成的教學(xué)目標(biāo)可以在后面的教學(xué)中達(dá)成，不要過分強(qiáng)調(diào)一定要在本節(jié)課中實(shí)現(xiàn).有經(jīng)驗(yàn)的教師，也完全可以在生成的課堂中運(yùn)用自己的智慧，更好地完成教學(xué)任務(wù).

總之，教學(xué)實(shí)踐中，是否進(jìn)行深入的學(xué)情分析，常常對(duì)一節(jié)課的成敗起決定性作用.所以教師要通過觀察、問卷、談話等形式進(jìn)行調(diào)研，深入地了解學(xué)生.只有用真心去讀學(xué)生，數(shù)學(xué)教學(xué)才會(huì)開創(chuàng)出一片新天地.

5發(fā)現(xiàn)課堂意外，抓住教學(xué)生成點(diǎn)

案例5“直線的傾斜角與斜率”的教學(xué)片斷

人教A版必修2“31直線的傾斜角與斜率”的教學(xué)

先創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，導(dǎo)出坐標(biāo)法研究方式，預(yù)設(shè)進(jìn)行兩次探究，建立直線的傾斜角與斜率的概念.

探究1“一點(diǎn)能否確定一條直線”，通過幾何畫板的動(dòng)畫，觀察過一點(diǎn)P作多條直線的區(qū)別，思考能不能用一個(gè)幾何量描述直線的傾斜程度，然后引出傾斜角的概念；

探究2“還有什么量能描述直線的傾斜程度”，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系坡度比，給出斜率的概念，再導(dǎo)出兩點(diǎn)間斜率公式.

筆者在引出探究1和觀察后，給出這樣一個(gè)思考：“能不能用一個(gè)幾何量描述直線的傾斜程度？”教師的設(shè)計(jì)意圖很明顯，是想讓學(xué)生用角來描述.但出人意料的事發(fā)生了，一位女同學(xué)站起來回答“可以用斜率描述”，學(xué)生的回答出乎了教師的預(yù)設(shè).如何處理這一“生成性問題”？若按這位學(xué)生的回答展開教學(xué)，將打亂原先的教學(xué)設(shè)計(jì)；若是“聽而不聞”，再讓另一個(gè)學(xué)生回答，但這樣處理勢(shì)必影響這位學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，并對(duì)她和其他學(xué)生的思維產(chǎn)生抑制，所以筆者沒有中斷她的回答，而是提出：

追問1“斜率是什么？”如果學(xué)生按照課本的定義回答斜率是傾斜角α的正切值，教師再追問傾斜角α是什么？自然將學(xué)生研究的視角引回到教學(xué)預(yù)設(shè)上來.但是學(xué)生的回答又一次出乎教師的預(yù)設(shè)，學(xué)生說“斜率k=y2-y1x2-x1，其中x1、y1，x2、y2表示直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)”.顯然學(xué)生的回答使教師的教學(xué)預(yù)設(shè)又一次落空，再繼續(xù)下去必然打亂之前的教學(xué)設(shè)計(jì).

追問2“你是怎么獲得的？”“書上有的”，學(xué)生們哄堂大笑.此時(shí)教師將k=y2-y1x2-x1板書，放棄了原先的教學(xué)設(shè)計(jì).

追問3“我們說兩點(diǎn)確定一條直線，對(duì)所有的直線都存在k嗎？”讓學(xué)生共同討論，并結(jié)合幾何畫板演示，明確只要確定兩點(diǎn)，當(dāng)x1≠x2時(shí)都有k的存在.

追問4“我們能不能從幾何角度研究k=y2-y1x2-x1？日常生活中，有沒有表示傾斜特征的量？”

追問5“能不能用坡度（比）來表示傾斜程度呢？坡度（比）能滿足我們研究直線的需要嗎？它有哪些局限性？”引導(dǎo)學(xué)生回憶起坡度問題，通過坡度比與斜率的對(duì)比，不斷完善斜率的概念.

追問6“所以我們有繼續(xù)研究斜率k的必要，斜率k取值與P1（x1，y1），P2（x2，y2）先后有關(guān)嗎？”通過幾何畫板，在點(diǎn)不斷的運(yùn)動(dòng)過程中，引導(dǎo)學(xué)生理解“坡度”實(shí)際就是“α的正切值”，從而引入傾斜角的概念.

教學(xué)隨想蘇霍姆林斯基說：“教育的技巧并不在于能預(yù)見到課堂的所有細(xì)節(jié)，而是在于根據(jù)當(dāng)時(shí)的具體情況，巧妙地在學(xué)生不知不覺中作出相應(yīng)的變動(dòng).”葉瀾教授曾經(jīng)充滿詩情畫意地說過，“課堂應(yīng)該是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的風(fēng)景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的行程.”學(xué)生作為一種活生生的力量，帶著自己的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、思考、情感參與課堂教學(xué)，他們隨時(shí)都有可能產(chǎn)生意外.教師需要摒棄固守原有的教學(xué)設(shè)計(jì)而不顧及形勢(shì)的變化的觀念，在課堂教學(xué)中隨機(jī)而變，敏銳地發(fā)現(xiàn)一些生成點(diǎn).案例中，學(xué)生的回答完全打亂了教師原先的教學(xué)設(shè)計(jì)，至少教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)順序被打亂了，但是教師卻在學(xué)生“意外回答”中，通過與學(xué)生的對(duì)話，教師的“問”、“追問”、“進(jìn)一步追問”，環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，指向教學(xué)目標(biāo)，借助“坡度”概念強(qiáng)化斜率的概念，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的意義，發(fā)展學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)了課堂教學(xué)的有效性.由此說明，教學(xué)的技巧并不在于預(yù)見課堂中的所有細(xì)節(jié)，而在于面對(duì)“節(jié)外生枝”時(shí)，能潤(rùn)物細(xì)無聲地做出巧妙的變動(dòng).這同樣也是教師的“意外收獲”.

“節(jié)外生枝”現(xiàn)象在課堂里并不少見，如何看待課堂教學(xué)的生成？首先，靈活處置“節(jié)外生枝”的內(nèi)容.如果它與課堂教學(xué)內(nèi)容無關(guān)，也無益于發(fā)展學(xué)生能力，教師可以婉轉(zhuǎn)地告知學(xué)生課后再作交流討論.如果“節(jié)外生枝”的內(nèi)容是很好的一個(gè)生成點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生的發(fā)展大有益處，那么教師就要把握住這個(gè)“枝”，順藤摸瓜，以取得意想不到的效果.其次，正確看待預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo).課堂教學(xué)目標(biāo)是為學(xué)生發(fā)展服務(wù)的，暫時(shí)未達(dá)成的教學(xué)目標(biāo)可以在后面的教學(xué)中達(dá)成，不要過分強(qiáng)調(diào)一定要在本節(jié)課中實(shí)現(xiàn).有經(jīng)驗(yàn)的教師，也完全可以在生成的課堂中運(yùn)用自己的智慧，更好地完成教學(xué)任務(wù).

總之，教學(xué)實(shí)踐中，是否進(jìn)行深入的學(xué)情分析，常常對(duì)一節(jié)課的成敗起決定性作用.所以教師要通過觀察、問卷、談話等形式進(jìn)行調(diào)研，深入地了解學(xué)生.只有用真心去讀學(xué)生，數(shù)學(xué)教學(xué)才會(huì)開創(chuàng)出一片新天地.

5發(fā)現(xiàn)課堂意外，抓住教學(xué)生成點(diǎn)

案例5“直線的傾斜角與斜率”的教學(xué)片斷

人教A版必修2“31直線的傾斜角與斜率”的教學(xué)

先創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，導(dǎo)出坐標(biāo)法研究方式，預(yù)設(shè)進(jìn)行兩次探究，建立直線的傾斜角與斜率的概念.

探究1“一點(diǎn)能否確定一條直線”，通過幾何畫板的動(dòng)畫，觀察過一點(diǎn)P作多條直線的區(qū)別，思考能不能用一個(gè)幾何量描述直線的傾斜程度，然后引出傾斜角的概念；

探究2“還有什么量能描述直線的傾斜程度”，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系坡度比，給出斜率的概念，再導(dǎo)出兩點(diǎn)間斜率公式.

筆者在引出探究1和觀察后，給出這樣一個(gè)思考：“能不能用一個(gè)幾何量描述直線的傾斜程度？”教師的設(shè)計(jì)意圖很明顯，是想讓學(xué)生用角來描述.但出人意料的事發(fā)生了，一位女同學(xué)站起來回答“可以用斜率描述”，學(xué)生的回答出乎了教師的預(yù)設(shè).如何處理這一“生成性問題”？若按這位學(xué)生的回答展開教學(xué)，將打亂原先的教學(xué)設(shè)計(jì)；若是“聽而不聞”，再讓另一個(gè)學(xué)生回答，但這樣處理勢(shì)必影響這位學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，并對(duì)她和其他學(xué)生的思維產(chǎn)生抑制，所以筆者沒有中斷她的回答，而是提出：

追問1“斜率是什么？”如果學(xué)生按照課本的定義回答斜率是傾斜角α的正切值，教師再追問傾斜角α是什么？自然將學(xué)生研究的視角引回到教學(xué)預(yù)設(shè)上來.但是學(xué)生的回答又一次出乎教師的預(yù)設(shè)，學(xué)生說“斜率k=y2-y1x2-x1，其中x1、y1，x2、y2表示直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)”.顯然學(xué)生的回答使教師的教學(xué)預(yù)設(shè)又一次落空，再繼續(xù)下去必然打亂之前的教學(xué)設(shè)計(jì).

追問2“你是怎么獲得的？”“書上有的”，學(xué)生們哄堂大笑.此時(shí)教師將k=y2-y1x2-x1板書，放棄了原先的教學(xué)設(shè)計(jì).

追問3“我們說兩點(diǎn)確定一條直線，對(duì)所有的直線都存在k嗎？”讓學(xué)生共同討論，并結(jié)合幾何畫板演示，明確只要確定兩點(diǎn)，當(dāng)x1≠x2時(shí)都有k的存在.

追問4“我們能不能從幾何角度研究k=y2-y1x2-x1？日常生活中，有沒有表示傾斜特征的量？”

追問5“能不能用坡度（比）來表示傾斜程度呢？坡度（比）能滿足我們研究直線的需要嗎？它有哪些局限性？”引導(dǎo)學(xué)生回憶起坡度問題，通過坡度比與斜率的對(duì)比，不斷完善斜率的概念.

追問6“所以我們有繼續(xù)研究斜率k的必要，斜率k取值與P1（x1，y1），P2（x2，y2）先后有關(guān)嗎？”通過幾何畫板，在點(diǎn)不斷的運(yùn)動(dòng)過程中，引導(dǎo)學(xué)生理解“坡度”實(shí)際就是“α的正切值”，從而引入傾斜角的概念.

教學(xué)隨想蘇霍姆林斯基說：“教育的技巧并不在于能預(yù)見到課堂的所有細(xì)節(jié)，而是在于根據(jù)當(dāng)時(shí)的具體情況，巧妙地在學(xué)生不知不覺中作出相應(yīng)的變動(dòng).”葉瀾教授曾經(jīng)充滿詩情畫意地說過，“課堂應(yīng)該是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的風(fēng)景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的行程.”學(xué)生作為一種活生生的力量，帶著自己的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、思考、情感參與課堂教學(xué)，他們隨時(shí)都有可能產(chǎn)生意外.教師需要摒棄固守原有的教學(xué)設(shè)計(jì)而不顧及形勢(shì)的變化的觀念，在課堂教學(xué)中隨機(jī)而變，敏銳地發(fā)現(xiàn)一些生成點(diǎn).案例中，學(xué)生的回答完全打亂了教師原先的教學(xué)設(shè)計(jì)，至少教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)順序被打亂了，但是教師卻在學(xué)生“意外回答”中，通過與學(xué)生的對(duì)話，教師的“問”、“追問”、“進(jìn)一步追問”，環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，指向教學(xué)目標(biāo)，借助“坡度”概念強(qiáng)化斜率的概念，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的意義，發(fā)展學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)了課堂教學(xué)的有效性.由此說明，教學(xué)的技巧并不在于預(yù)見課堂中的所有細(xì)節(jié)，而在于面對(duì)“節(jié)外生枝”時(shí)，能潤(rùn)物細(xì)無聲地做出巧妙的變動(dòng).這同樣也是教師的“意外收獲”.

“節(jié)外生枝”現(xiàn)象在課堂里并不少見，如何看待課堂教學(xué)的生成？首先，靈活處置“節(jié)外生枝”的內(nèi)容.如果它與課堂教學(xué)內(nèi)容無關(guān)，也無益于發(fā)展學(xué)生能力，教師可以婉轉(zhuǎn)地告知學(xué)生課后再作交流討論.如果“節(jié)外生枝”的內(nèi)容是很好的一個(gè)生成點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生的發(fā)展大有益處，那么教師就要把握住這個(gè)“枝”，順藤摸瓜，以取得意想不到的效果.其次，正確看待預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo).課堂教學(xué)目標(biāo)是為學(xué)生發(fā)展服務(wù)的，暫時(shí)未達(dá)成的教學(xué)目標(biāo)可以在后面的教學(xué)中達(dá)成，不要過分強(qiáng)調(diào)一定要在本節(jié)課中實(shí)現(xiàn).有經(jīng)驗(yàn)的教師，也完全可以在生成的課堂中運(yùn)用自己的智慧，更好地完成教學(xué)任務(wù).

總之，教學(xué)實(shí)踐中，是否進(jìn)行深入的學(xué)情分析，常常對(duì)一節(jié)課的成敗起決定性作用.所以教師要通過觀察、問卷、談話等形式進(jìn)行調(diào)研，深入地了解學(xué)生.只有用真心去讀學(xué)生，數(shù)學(xué)教學(xué)才會(huì)開創(chuàng)出一片新天地.