促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)活動(dòng)特征及其案例設(shè)計(jì)

孔小明

隨著數(shù)學(xué)課程改革的推進(jìn)與深入，“數(shù)學(xué)活動(dòng)”的教學(xué)觀念已逐漸為教師所接受，并轉(zhuǎn)化為教學(xué)實(shí)踐中的具體行為，數(shù)學(xué)課堂發(fā)生了可喜的變化.但是，就數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)而言，目前教學(xué)中還存在不少問題，其中數(shù)學(xué)活動(dòng)過于活動(dòng)化，活動(dòng)缺少“數(shù)學(xué)味”，學(xué)生缺乏對(duì)數(shù)學(xué)的深度理解是當(dāng)前數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)存在的主要問題.

數(shù)學(xué)是一門抽象性的學(xué)科，知識(shí)的獲得與應(yīng)用都是以理解為基礎(chǔ)的.理解是關(guān)聯(lián)性價(jià)值的目標(biāo)，其他如記憶、運(yùn)用、分析、遷移和創(chuàng)造等目標(biāo)的達(dá)成，也都是以理解為基礎(chǔ)的.因此，將“理解”作為數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心關(guān)注點(diǎn)，把數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)與實(shí)施看成理解的過程，既是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)追求，也是對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)活動(dòng)過多強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)技能的一種修正.

1促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)活動(dòng)特征

1.1活動(dòng)的意義是揭示內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)活動(dòng)是以數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)、用數(shù)學(xué)的方法解決問題從而感悟數(shù)學(xué)知識(shí)、形成數(shù)學(xué)能力的活動(dòng).促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，有利于摒棄數(shù)學(xué)活動(dòng)中過于追求課堂的表面熱鬧、活動(dòng)的花樣翻新，致使教學(xué)出現(xiàn)華而不實(shí)、偏離主題等現(xiàn)象，緊緊圍繞教學(xué)內(nèi)容，調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)層面來體驗(yàn)、認(rèn)識(shí)所學(xué)內(nèi)容，在深刻揭示教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程中，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深入理解.

1.2活動(dòng)的設(shè)計(jì)體現(xiàn)理解的層次性

數(shù)學(xué)理解水平可分為不同的層次，數(shù)學(xué)理解是一個(gè)曲折的、螺旋式上升的發(fā)展過程.因此，促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)應(yīng)該從學(xué)生已有認(rèn)知理解出發(fā)，設(shè)計(jì)基于不同理解要求的數(shù)學(xué)活動(dòng).每個(gè)活動(dòng)按一定層次展開，前一個(gè)活動(dòng)為后一個(gè)活動(dòng)做鋪墊，隨著活動(dòng)的一一呈現(xiàn)，學(xué)生對(duì)生成問題的探討逐步深入，學(xué)生的理解也逐步達(dá)到較高的認(rèn)知水平.

1.3活動(dòng)的形式注重“有引導(dǎo)”的建構(gòu)性

理解是一種個(gè)性化的、自我實(shí)現(xiàn)的行為，教師的講解代替不了學(xué)生的思考，因此，促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)活動(dòng)形式注重主體的建構(gòu)性.由于學(xué)生自身經(jīng)驗(yàn)的局限性，這種建構(gòu)是在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行的，是一種“再發(fā)現(xiàn)”、“再創(chuàng)造”.教師可將數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)放在新知理解的“疑難點(diǎn)”、認(rèn)知理解的“模糊點(diǎn)”、激發(fā)理解的思維“發(fā)散點(diǎn)”上，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確理解內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì).

1.4活動(dòng)的過程需要思維的深度參與

理解是指個(gè)體逐步認(rèn)識(shí)事物的各種聯(lián)系、關(guān)系直至認(rèn)識(shí)其本質(zhì)規(guī)律的思維活動(dòng).因此，內(nèi)在思維活動(dòng)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心，只有思維層次的遞進(jìn)，才有數(shù)學(xué)理解層次的提升，只有高層次的思維參與，才能達(dá)到高層次的數(shù)學(xué)理解.教師可用“為什么？”“你是怎么想出來的？”等進(jìn)行追問，讓學(xué)生闡述獲得結(jié)論的思維過程，以促進(jìn)學(xué)生思維的深度參與.

1.5活動(dòng)的有效途徑是交流與反思

學(xué)生對(duì)外的交流溝通和對(duì)內(nèi)的自我反思是促進(jìn)理解的有效途徑.交流過程中，學(xué)生要對(duì)自己的想法進(jìn)行梳理、加工，這是優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程.交流中的討論、爭議等能激活學(xué)生相關(guān)已有知識(shí)，使新舊知識(shí)產(chǎn)生更多聯(lián)系，有助于加深學(xué)生的理解.反思是自己對(duì)自己的交流，是對(duì)自己理解過程的回顧與思考，從而獲取經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，通過對(duì)已有認(rèn)識(shí)的再認(rèn)識(shí)，可以進(jìn)一步理解相關(guān)知識(shí)的意義，感悟蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法.

2促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)活動(dòng)案例設(shè)計(jì)

根據(jù)理解的不同目標(biāo)要求，需要設(shè)計(jì)不同類別的數(shù)學(xué)活動(dòng)，本文將促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)活動(dòng)分為情境體驗(yàn)活動(dòng)、主題探究活動(dòng)、問題解決活動(dòng)三類.

2.1情境體驗(yàn)活動(dòng)

情境體驗(yàn)活動(dòng)意味著借助具體情境，通過觀察、操作、思考等活動(dòng)，初步認(rèn)識(shí)所學(xué)內(nèi)容的特征，獲得感性認(rèn)識(shí).從理解角度看，表現(xiàn)為能結(jié)合個(gè)人經(jīng)驗(yàn)初步解釋所學(xué)內(nèi)容意義，能解決一些識(shí)記性與操作性比較強(qiáng)的簡單問題，即達(dá)到經(jīng)驗(yàn)性理解水平.

案例1數(shù)學(xué)歸納法“直觀模型”的建立.

數(shù)學(xué)歸納法的形式化表達(dá)是學(xué)生理解該原理的難點(diǎn)，教學(xué)引入多米諾骨牌游戲的目的，是降低認(rèn)知難度，讓學(xué)生經(jīng)歷“從生活到數(shù)學(xué)”、“從形象到抽象”的過程，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)歸納法的“直觀模型”，為歸納兩個(gè)步驟、理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)做好鋪墊.

活動(dòng)目標(biāo)：通過活動(dòng)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)與理解多米諾骨牌游戲蘊(yùn)含的“數(shù)學(xué)內(nèi)涵”，建立數(shù)學(xué)歸納法的雛形.

活動(dòng)過程：讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)新方法的必要性之后，引導(dǎo)學(xué)生舉一些生活中通過“傳遞”來完成任務(wù)的例子，如接力比賽、連串的鞭炮、多米諾骨牌游戲等，接著讓學(xué)生觀看多米諾骨牌游戲的視頻，引導(dǎo)學(xué)生著力思考與分析能使所有骨牌全部倒下的條件，師生共同討論得出：

（1）第一塊倒下；

（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.

為了使學(xué)生真正理解游戲的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，從而在后續(xù)類比證明相關(guān)數(shù)學(xué)問題中，逐步理解數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟的作用，教師可通過追問，引導(dǎo)學(xué)生理解與體會(huì)具體模型的思想實(shí)質(zhì).

T：為什么滿足上述兩個(gè)條件，所有骨牌就能全部倒下？

S：由條件（1）可知第一塊骨牌倒下，因?yàn)榈谝粔K相鄰的后一塊是第二塊，由條件（2）可知第二塊倒下，同樣，第二塊倒下又引發(fā)第三塊倒下，如此一直下去，所有骨牌全部倒下.

T：該過程可由如下程序結(jié)構(gòu)圖表示，即第一塊倒下條件（2）第二塊倒下條件（2）第三塊倒下條件（2）……，在這里條件（1）的作用是什么？

S：“起步”作用，沒有它，后面的骨牌擺得再好也不可能倒下.

T：從程序結(jié)構(gòu)圖看，條件（2）起到關(guān)鍵作用，那么它的作用又是什么？

S：“傳遞”作用，就是將某一塊倒下的結(jié)果傳遞到與其相鄰的后一塊，即“第k塊倒下一定導(dǎo)致第k+1塊倒下”.

……

教師可借助實(shí)物演示、圖畫再現(xiàn)、語言描述等途徑進(jìn)行情境體驗(yàn)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，激發(fā)學(xué)生的積極學(xué)習(xí)情感，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生與形成過程，有助于學(xué)生更好地理解學(xué)習(xí)內(nèi)容.

2.2主題探究活動(dòng)

主題探究活動(dòng)意味著數(shù)學(xué)活動(dòng)圍繞相關(guān)內(nèi)容的生成性主題來展開，為認(rèn)識(shí)主題特性設(shè)置一系列層層遞進(jìn)的活動(dòng)，通過觀察、試驗(yàn)、推測、說理、論證、反思等活動(dòng)，完成對(duì)主題的意義建構(gòu)，獲得理性認(rèn)識(shí).從理解的角度看，表現(xiàn)為能厘清知識(shí)本質(zhì)，把握知識(shí)縱橫聯(lián)系，包括新舊知識(shí)的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系等，即達(dá)到關(guān)系性理解水平.

案例2“直線與平面垂直判定定理”的析出.

因?yàn)橹本€與平面垂直定義中的條件是“任一條直線”，而判定定理中的條件是“兩條相交直線”，這種用“有限”代替“無限”的過程導(dǎo)致學(xué)生理解上的思維障礙，構(gòu)建圍繞主題的探究活動(dòng)系列有利于掃除這種障礙.

活動(dòng)目標(biāo)：通過活動(dòng)確認(rèn)和理解判定定理中“雙垂直”和“相交”的條件.

活動(dòng)過程：在完成定義教學(xué)后，教師給出“如何檢驗(yàn)旗桿豎直立于地面（即旗桿所在直線與地面所在平面垂直）？”的問題，引發(fā)認(rèn)知沖突，激發(fā)將平面內(nèi)直線條數(shù)從定義中的“無限”轉(zhuǎn)化為“有限”的需要.教師逐次給出下列探究活動(dòng)，完成對(duì)定理的意義構(gòu)建.

探究1：試討論平面內(nèi)直線減少到多少條才合適，一條夠嗎？兩條呢？

意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)物（可用筆表示直線，課本表示平面）的觀察、操作，感知并猜測“兩條”“相交”的條件.

探究2：請(qǐng)你拿出準(zhǔn)備好的三角形的紙片，我們一起來做一個(gè)試驗(yàn)：如右圖，過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）.（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使AD與桌面所在平面α垂直？

意圖：通過折紙活動(dòng)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，即AD⊥BD，AD⊥CD時(shí)，AD與平面α垂直，感知“雙垂直”的條件.

探究3：當(dāng)折痕AD⊥BC時(shí)，繞AD無論怎樣翻折，（1）翻折之后AD始終與桌面所在平面α垂直嗎？（2）翻折之后的垂直關(guān)系即AD⊥BD，AD⊥CD是否發(fā)生變化？由此得到什么結(jié)論？

意圖：讓學(xué)生繼續(xù)操作并確認(rèn)：只要有“雙垂直”和“相交”的條件，就有“直線與平面垂直”的結(jié)論.

上述數(shù)學(xué)活動(dòng)中，通過設(shè)置層層遞進(jìn)的三個(gè)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、操作、解釋與說理，挖掘折紙?jiān)囼?yàn)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，對(duì)定理的“雙垂直”和“相交”條件進(jìn)行確認(rèn)和理解.

2.3問題解決活動(dòng)

問題解決活動(dòng)意味著數(shù)學(xué)活動(dòng)圍繞著解決生成性問題來展開，學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、推斷、概括、遷移等活動(dòng)，暴露思維過程，揭示問題本質(zhì).從理解的角度看，表現(xiàn)為能豐富問題的應(yīng)用背景，剖析思想方法的本源，并能將解決問題的思想方法遷移至新的情形，即達(dá)到遷移性理解水平.

案例3用基本不等式求最值中“配湊系數(shù)”的實(shí)質(zhì).

利用基本不等式求最值有時(shí)需要“配湊系數(shù)”，因其技巧性強(qiáng)而使不少學(xué)生望而卻步.這就需要對(duì)解題的思維過程進(jìn)行倒攝深究，發(fā)現(xiàn)并理解“配湊系數(shù)”的思想實(shí)質(zhì)，從而促進(jìn)有效遷移.

活動(dòng)目標(biāo)：通過活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)并理解“配湊系數(shù)”的實(shí)質(zhì)，體會(huì)解題方法的提煉與遷移過程.

活動(dòng)過程：給出問題：已知x、y∈R+，求x+yx+22xy的最小值.

借助已有經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生通過系數(shù)的配湊，完成問題的求解：

因?yàn)?2xy=2x（2y）≤x+2y.（1）

所以x+yx+22xy≥x+yx+（x+2y）=12.（2）

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取到等號(hào)，故最小值為12

有研究表明，即使學(xué)生給出了一個(gè)表面看來完美的解答，也不表明學(xué)生完全理解了其中的方法內(nèi)涵.教師有意給出下列變式讓學(xué)生繼續(xù)思考：

已知x、y∈R+，求2x+yx+23xy的最小值.

學(xué)生努力進(jìn)行系數(shù)的配湊，仍然不得其解.教師引導(dǎo)學(xué)生從新審視原有問題的解決過程，著力分析解決問題的關(guān)鍵——“配湊系數(shù)”的目的與方法是什么.

師生共同探討得到，（1）式中不等號(hào)左邊2xy配湊為x（2y），其目的是（2）式中不等號(hào)右邊出現(xiàn)定值.變式中，考慮到分子是2x+y，分母中3xy配湊的目的，是在應(yīng)用基本不等式后，x的系數(shù)是y的系數(shù)的2倍，保證其比值為定值，系數(shù)的確定可用待定系數(shù)法.

解法1：因?yàn)?x+yx+23xy=2x+yx+23tx·yt≥2x+yx+3tx+yt（t>0），

要使不等式右邊是定值，只要1+3t=2t，得t=23.

當(dāng)且僅當(dāng)4x=3y時(shí)取到等號(hào)，最小值為23，

理解了“配湊系數(shù)”的實(shí)質(zhì)，新的解法隨之從學(xué)生的頭腦中自然地流淌出來.

解法2：因?yàn)?x+yx+23xy=mx+（2-m）x+yx+23xy≥mx+2（2-m）xyx+23xy（0

要使不等式右邊是定值，只要2-m=3m，得m=23.

解法3：設(shè)2x+yx+23xy≥p（常數(shù)），則

（2-p）x+y≥2p3xy.（3）

又當(dāng)0

（2-p）x+y≥2（2-p）xy.（4）

比較（3）（4），只要3p=2-p，得p=23.

促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的目的旨在將發(fā)展學(xué)生的理解作為教學(xué)的核心目標(biāo)，將“理解”貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)中.創(chuàng)設(shè)有效的數(shù)學(xué)情境，引發(fā)數(shù)學(xué)活動(dòng)任務(wù)，啟發(fā)學(xué)生積極思維，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，促進(jìn)學(xué)生深層次參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的全過程，在知識(shí)意義和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過程中達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解，在數(shù)學(xué)交流與自我反思中深化內(nèi)容的理解.

主題探究活動(dòng)意味著數(shù)學(xué)活動(dòng)圍繞相關(guān)內(nèi)容的生成性主題來展開，為認(rèn)識(shí)主題特性設(shè)置一系列層層遞進(jìn)的活動(dòng)，通過觀察、試驗(yàn)、推測、說理、論證、反思等活動(dòng)，完成對(duì)主題的意義建構(gòu)，獲得理性認(rèn)識(shí).從理解的角度看，表現(xiàn)為能厘清知識(shí)本質(zhì)，把握知識(shí)縱橫聯(lián)系，包括新舊知識(shí)的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系等，即達(dá)到關(guān)系性理解水平.

案例2“直線與平面垂直判定定理”的析出.

因?yàn)橹本€與平面垂直定義中的條件是“任一條直線”，而判定定理中的條件是“兩條相交直線”，這種用“有限”代替“無限”的過程導(dǎo)致學(xué)生理解上的思維障礙，構(gòu)建圍繞主題的探究活動(dòng)系列有利于掃除這種障礙.

活動(dòng)目標(biāo)：通過活動(dòng)確認(rèn)和理解判定定理中“雙垂直”和“相交”的條件.

活動(dòng)過程：在完成定義教學(xué)后，教師給出“如何檢驗(yàn)旗桿豎直立于地面（即旗桿所在直線與地面所在平面垂直）？”的問題，引發(fā)認(rèn)知沖突，激發(fā)將平面內(nèi)直線條數(shù)從定義中的“無限”轉(zhuǎn)化為“有限”的需要.教師逐次給出下列探究活動(dòng)，完成對(duì)定理的意義構(gòu)建.

探究1：試討論平面內(nèi)直線減少到多少條才合適，一條夠嗎？兩條呢？

意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)物（可用筆表示直線，課本表示平面）的觀察、操作，感知并猜測“兩條”“相交”的條件.

探究2：請(qǐng)你拿出準(zhǔn)備好的三角形的紙片，我們一起來做一個(gè)試驗(yàn)：如右圖，過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）.（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使AD與桌面所在平面α垂直？

意圖：通過折紙活動(dòng)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，即AD⊥BD，AD⊥CD時(shí)，AD與平面α垂直，感知“雙垂直”的條件.

探究3：當(dāng)折痕AD⊥BC時(shí)，繞AD無論怎樣翻折，（1）翻折之后AD始終與桌面所在平面α垂直嗎？（2）翻折之后的垂直關(guān)系即AD⊥BD，AD⊥CD是否發(fā)生變化？由此得到什么結(jié)論？

意圖：讓學(xué)生繼續(xù)操作并確認(rèn)：只要有“雙垂直”和“相交”的條件，就有“直線與平面垂直”的結(jié)論.

上述數(shù)學(xué)活動(dòng)中，通過設(shè)置層層遞進(jìn)的三個(gè)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、操作、解釋與說理，挖掘折紙?jiān)囼?yàn)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，對(duì)定理的“雙垂直”和“相交”條件進(jìn)行確認(rèn)和理解.

2.3問題解決活動(dòng)

問題解決活動(dòng)意味著數(shù)學(xué)活動(dòng)圍繞著解決生成性問題來展開，學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、推斷、概括、遷移等活動(dòng)，暴露思維過程，揭示問題本質(zhì).從理解的角度看，表現(xiàn)為能豐富問題的應(yīng)用背景，剖析思想方法的本源，并能將解決問題的思想方法遷移至新的情形，即達(dá)到遷移性理解水平.

案例3用基本不等式求最值中“配湊系數(shù)”的實(shí)質(zhì).

利用基本不等式求最值有時(shí)需要“配湊系數(shù)”，因其技巧性強(qiáng)而使不少學(xué)生望而卻步.這就需要對(duì)解題的思維過程進(jìn)行倒攝深究，發(fā)現(xiàn)并理解“配湊系數(shù)”的思想實(shí)質(zhì)，從而促進(jìn)有效遷移.

活動(dòng)目標(biāo)：通過活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)并理解“配湊系數(shù)”的實(shí)質(zhì)，體會(huì)解題方法的提煉與遷移過程.

活動(dòng)過程：給出問題：已知x、y∈R+，求x+yx+22xy的最小值.

借助已有經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生通過系數(shù)的配湊，完成問題的求解：

因?yàn)?2xy=2x（2y）≤x+2y.（1）

所以x+yx+22xy≥x+yx+（x+2y）=12.（2）

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取到等號(hào)，故最小值為12

有研究表明，即使學(xué)生給出了一個(gè)表面看來完美的解答，也不表明學(xué)生完全理解了其中的方法內(nèi)涵.教師有意給出下列變式讓學(xué)生繼續(xù)思考：

已知x、y∈R+，求2x+yx+23xy的最小值.

學(xué)生努力進(jìn)行系數(shù)的配湊，仍然不得其解.教師引導(dǎo)學(xué)生從新審視原有問題的解決過程，著力分析解決問題的關(guān)鍵——“配湊系數(shù)”的目的與方法是什么.

師生共同探討得到，（1）式中不等號(hào)左邊2xy配湊為x（2y），其目的是（2）式中不等號(hào)右邊出現(xiàn)定值.變式中，考慮到分子是2x+y，分母中3xy配湊的目的，是在應(yīng)用基本不等式后，x的系數(shù)是y的系數(shù)的2倍，保證其比值為定值，系數(shù)的確定可用待定系數(shù)法.

解法1：因?yàn)?x+yx+23xy=2x+yx+23tx·yt≥2x+yx+3tx+yt（t>0），

要使不等式右邊是定值，只要1+3t=2t，得t=23.

當(dāng)且僅當(dāng)4x=3y時(shí)取到等號(hào)，最小值為23，

理解了“配湊系數(shù)”的實(shí)質(zhì)，新的解法隨之從學(xué)生的頭腦中自然地流淌出來.

解法2：因?yàn)?x+yx+23xy=mx+（2-m）x+yx+23xy≥mx+2（2-m）xyx+23xy（0

要使不等式右邊是定值，只要2-m=3m，得m=23.

解法3：設(shè)2x+yx+23xy≥p（常數(shù)），則

（2-p）x+y≥2p3xy.（3）

又當(dāng)0

（2-p）x+y≥2（2-p）xy.（4）

比較（3）（4），只要3p=2-p，得p=23.

促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的目的旨在將發(fā)展學(xué)生的理解作為教學(xué)的核心目標(biāo)，將“理解”貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)中.創(chuàng)設(shè)有效的數(shù)學(xué)情境，引發(fā)數(shù)學(xué)活動(dòng)任務(wù)，啟發(fā)學(xué)生積極思維，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，促進(jìn)學(xué)生深層次參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的全過程，在知識(shí)意義和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過程中達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解，在數(shù)學(xué)交流與自我反思中深化內(nèi)容的理解.

主題探究活動(dòng)意味著數(shù)學(xué)活動(dòng)圍繞相關(guān)內(nèi)容的生成性主題來展開，為認(rèn)識(shí)主題特性設(shè)置一系列層層遞進(jìn)的活動(dòng)，通過觀察、試驗(yàn)、推測、說理、論證、反思等活動(dòng)，完成對(duì)主題的意義建構(gòu)，獲得理性認(rèn)識(shí).從理解的角度看，表現(xiàn)為能厘清知識(shí)本質(zhì)，把握知識(shí)縱橫聯(lián)系，包括新舊知識(shí)的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系等，即達(dá)到關(guān)系性理解水平.

案例2“直線與平面垂直判定定理”的析出.

因?yàn)橹本€與平面垂直定義中的條件是“任一條直線”，而判定定理中的條件是“兩條相交直線”，這種用“有限”代替“無限”的過程導(dǎo)致學(xué)生理解上的思維障礙，構(gòu)建圍繞主題的探究活動(dòng)系列有利于掃除這種障礙.

活動(dòng)目標(biāo)：通過活動(dòng)確認(rèn)和理解判定定理中“雙垂直”和“相交”的條件.

活動(dòng)過程：在完成定義教學(xué)后，教師給出“如何檢驗(yàn)旗桿豎直立于地面（即旗桿所在直線與地面所在平面垂直）？”的問題，引發(fā)認(rèn)知沖突，激發(fā)將平面內(nèi)直線條數(shù)從定義中的“無限”轉(zhuǎn)化為“有限”的需要.教師逐次給出下列探究活動(dòng)，完成對(duì)定理的意義構(gòu)建.

探究1：試討論平面內(nèi)直線減少到多少條才合適，一條夠嗎？兩條呢？

意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)物（可用筆表示直線，課本表示平面）的觀察、操作，感知并猜測“兩條”“相交”的條件.

探究2：請(qǐng)你拿出準(zhǔn)備好的三角形的紙片，我們一起來做一個(gè)試驗(yàn)：如右圖，過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）.（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使AD與桌面所在平面α垂直？

意圖：通過折紙活動(dòng)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，即AD⊥BD，AD⊥CD時(shí)，AD與平面α垂直，感知“雙垂直”的條件.

探究3：當(dāng)折痕AD⊥BC時(shí)，繞AD無論怎樣翻折，（1）翻折之后AD始終與桌面所在平面α垂直嗎？（2）翻折之后的垂直關(guān)系即AD⊥BD，AD⊥CD是否發(fā)生變化？由此得到什么結(jié)論？

意圖：讓學(xué)生繼續(xù)操作并確認(rèn)：只要有“雙垂直”和“相交”的條件，就有“直線與平面垂直”的結(jié)論.

上述數(shù)學(xué)活動(dòng)中，通過設(shè)置層層遞進(jìn)的三個(gè)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、操作、解釋與說理，挖掘折紙?jiān)囼?yàn)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，對(duì)定理的“雙垂直”和“相交”條件進(jìn)行確認(rèn)和理解.

2.3問題解決活動(dòng)

問題解決活動(dòng)意味著數(shù)學(xué)活動(dòng)圍繞著解決生成性問題來展開，學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、推斷、概括、遷移等活動(dòng)，暴露思維過程，揭示問題本質(zhì).從理解的角度看，表現(xiàn)為能豐富問題的應(yīng)用背景，剖析思想方法的本源，并能將解決問題的思想方法遷移至新的情形，即達(dá)到遷移性理解水平.

案例3用基本不等式求最值中“配湊系數(shù)”的實(shí)質(zhì).

利用基本不等式求最值有時(shí)需要“配湊系數(shù)”，因其技巧性強(qiáng)而使不少學(xué)生望而卻步.這就需要對(duì)解題的思維過程進(jìn)行倒攝深究，發(fā)現(xiàn)并理解“配湊系數(shù)”的思想實(shí)質(zhì)，從而促進(jìn)有效遷移.

活動(dòng)目標(biāo)：通過活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)并理解“配湊系數(shù)”的實(shí)質(zhì)，體會(huì)解題方法的提煉與遷移過程.

活動(dòng)過程：給出問題：已知x、y∈R+，求x+yx+22xy的最小值.

借助已有經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生通過系數(shù)的配湊，完成問題的求解：

因?yàn)?2xy=2x（2y）≤x+2y.（1）

所以x+yx+22xy≥x+yx+（x+2y）=12.（2）

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取到等號(hào)，故最小值為12

有研究表明，即使學(xué)生給出了一個(gè)表面看來完美的解答，也不表明學(xué)生完全理解了其中的方法內(nèi)涵.教師有意給出下列變式讓學(xué)生繼續(xù)思考：

已知x、y∈R+，求2x+yx+23xy的最小值.

學(xué)生努力進(jìn)行系數(shù)的配湊，仍然不得其解.教師引導(dǎo)學(xué)生從新審視原有問題的解決過程，著力分析解決問題的關(guān)鍵——“配湊系數(shù)”的目的與方法是什么.

師生共同探討得到，（1）式中不等號(hào)左邊2xy配湊為x（2y），其目的是（2）式中不等號(hào)右邊出現(xiàn)定值.變式中，考慮到分子是2x+y，分母中3xy配湊的目的，是在應(yīng)用基本不等式后，x的系數(shù)是y的系數(shù)的2倍，保證其比值為定值，系數(shù)的確定可用待定系數(shù)法.

解法1：因?yàn)?x+yx+23xy=2x+yx+23tx·yt≥2x+yx+3tx+yt（t>0），

要使不等式右邊是定值，只要1+3t=2t，得t=23.

當(dāng)且僅當(dāng)4x=3y時(shí)取到等號(hào)，最小值為23，

理解了“配湊系數(shù)”的實(shí)質(zhì)，新的解法隨之從學(xué)生的頭腦中自然地流淌出來.

解法2：因?yàn)?x+yx+23xy=mx+（2-m）x+yx+23xy≥mx+2（2-m）xyx+23xy（0

要使不等式右邊是定值，只要2-m=3m，得m=23.

解法3：設(shè)2x+yx+23xy≥p（常數(shù)），則

（2-p）x+y≥2p3xy.（3）

又當(dāng)0

（2-p）x+y≥2（2-p）xy.（4）

比較（3）（4），只要3p=2-p，得p=23.

促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的目的旨在將發(fā)展學(xué)生的理解作為教學(xué)的核心目標(biāo)，將“理解”貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)中.創(chuàng)設(shè)有效的數(shù)學(xué)情境，引發(fā)數(shù)學(xué)活動(dòng)任務(wù)，啟發(fā)學(xué)生積極思維，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，促進(jìn)學(xué)生深層次參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的全過程，在知識(shí)意義和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過程中達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解，在數(shù)學(xué)交流與自我反思中深化內(nèi)容的理解.