矩陣的克羅內(nèi)克積的推廣性質(zhì)

摘 要：解矩陣方程是大學數(shù)學的學習重點，對一般的線性矩陣方程，會采用克羅內(nèi)科積進行解的判斷和求解。本文是對克羅內(nèi)克積的基本性質(zhì)做了相關的推廣，主要給出了具有多矩陣的克羅內(nèi)克積形式的多項式關于特征值和特征向量的結論，并證明了若干定理和推論。

關鍵詞：克羅內(nèi)克積 特征值 性質(zhì)

在矩陣論的相關研究領域里，常常會用到矩陣的克羅內(nèi)克積。這種乘積有效的避免了矩陣行數(shù)和列數(shù)的限制，是對矩陣乘積的推廣[1]。另一方面克羅內(nèi)克積又與矩陣的普通乘積、舒爾積有著廣泛的聯(lián)系。在矩陣理論中，利用克羅內(nèi)克積可以較好的判斷矩陣方程是否有解，矩陣解對于常數(shù)矩陣的攝動的敏感性等問題[2]；在線性方程組中，克羅內(nèi)克積又促進了相關理論的發(fā)展，使得一部分線性方程的解用克羅內(nèi)克積的形式表示了出來，對避免病態(tài)方程的產(chǎn)生和提高計算機求解的速度有一定的積極作用。本文是在文獻1的基礎上，對多矩陣的克羅內(nèi)克積的形式進行了討論.以下如不做特殊說明所涉矩陣均為方陣.

定理1.1 設 是變量 的復系數(shù)多元多項式，對于階數(shù)分別是 的矩陣 來說定義

階矩陣

這里 為矩陣的克羅內(nèi)克積.

若 的特征值分別為

對應的特征向量分別為 則矩陣

的特征值是 ， 而對應 的特征向量為

證明：設矩陣 的特征值 它們對應的特征向量分別是 由

推論1.1 （1） 的特征值為 個數(shù) ，且對應 的特征向量為

（2）若矩陣 是正定（半正定）的，則矩陣 也是正定（半正定）的；

證明（1）取 ，由定理1.1即證；

（2）因為特征值全部大于零（大于等于零）.

定理1.2（1）若矩陣 是對稱矩陣，則 也是對稱矩陣；

（2）若矩陣 是正交（酉）矩陣，則 也是正交（酉）矩陣；

（3）若矩陣 是埃爾米特矩陣，則 也是埃爾米特矩陣；

（4）若矩陣 是可逆矩陣，則 也是可逆矩陣，且

；

（5）若矩陣 的秩分別是 ，則 的秩是 ；

（6）若矩陣 可以對角化，則 也可以對角化；

（7） ；

（8） ；

（9）若矩陣 為阿達瑪（Hadamard）矩陣（正規(guī)矩陣），則

也是阿達瑪矩陣（正規(guī)矩陣）.

證明

（3）（4）仿（2）可證

（5）設矩陣 的標準形分別是 ，則存在 階的可逆矩陣 和 使得 .所以

考慮到 和 均是非奇異矩陣，故

而 的秩等于 ，于是 的秩是

（6）仿（5）可證

（7）同（5）的證明，設矩陣 的約當標準形分別是 ，存在的 階矩陣為 ，則有

當 為上三角形矩陣時， 也為上三角形矩陣，因此

（8） 可以驗證

（9） 仿照（4）可證

用sv（A）記A的奇異值 的集合： .可得

定理1.3 若矩陣 的奇異值分別為： 其中

，則

證明 ：設 為Ai的奇異值分解， 為酉矩陣， ，則

由于 和 為酉矩陣， 為對角矩陣且對角元素是 ，從而得證.

定理1.3（1） 的特征值是 ，其對應的特征向量是

（2） 的特征值是 ，其對應的特征向量是 ；

證明：（1）取 ，由定理1.1即證；

（2）取 ，由定理1.1即證；

定理1.4 [4] 設 則 ，這里 表示把A的各列依次連接起來所得的向量.

推論1.5 設 都是n階方陣，則

證明 因為

以上，我們討論了矩陣的克羅內(nèi)克積的多項式形式，并以此出發(fā)討論了多個矩陣的克羅內(nèi)克積的相關性質(zhì)，是對文獻1中相關理論和性質(zhì)的推廣。

參考文獻：

[1] 方保镕 矩陣論[M] 清華大學出版社 2004.

[2] J.H.威爾金森 代數(shù)的特征值問題[M] 科學出版社 2003.

[3] 錢吉林 高等代數(shù)題解精粹[M] 中央民族大學出版社 2002.

[4] 詹興致 矩陣論[M] 高等教育出版社 2008.

作者簡介：

王挺：1977年出生，陜西西安人，西安文理學院教師。陜西省教育廳項目（11jk0500）endprint

摘 要：解矩陣方程是大學數(shù)學的學習重點，對一般的線性矩陣方程，會采用克羅內(nèi)科積進行解的判斷和求解。本文是對克羅內(nèi)克積的基本性質(zhì)做了相關的推廣，主要給出了具有多矩陣的克羅內(nèi)克積形式的多項式關于特征值和特征向量的結論，并證明了若干定理和推論。

關鍵詞：克羅內(nèi)克積 特征值 性質(zhì)

在矩陣論的相關研究領域里，常常會用到矩陣的克羅內(nèi)克積。這種乘積有效的避免了矩陣行數(shù)和列數(shù)的限制，是對矩陣乘積的推廣[1]。另一方面克羅內(nèi)克積又與矩陣的普通乘積、舒爾積有著廣泛的聯(lián)系。在矩陣理論中，利用克羅內(nèi)克積可以較好的判斷矩陣方程是否有解，矩陣解對于常數(shù)矩陣的攝動的敏感性等問題[2]；在線性方程組中，克羅內(nèi)克積又促進了相關理論的發(fā)展，使得一部分線性方程的解用克羅內(nèi)克積的形式表示了出來，對避免病態(tài)方程的產(chǎn)生和提高計算機求解的速度有一定的積極作用。本文是在文獻1的基礎上，對多矩陣的克羅內(nèi)克積的形式進行了討論.以下如不做特殊說明所涉矩陣均為方陣.

定理1.1 設 是變量 的復系數(shù)多元多項式，對于階數(shù)分別是 的矩陣 來說定義

階矩陣

這里 為矩陣的克羅內(nèi)克積.

若 的特征值分別為

對應的特征向量分別為 則矩陣

的特征值是 ， 而對應 的特征向量為

證明：設矩陣 的特征值 它們對應的特征向量分別是 由

推論1.1 （1） 的特征值為 個數(shù) ，且對應 的特征向量為

（2）若矩陣 是正定（半正定）的，則矩陣 也是正定（半正定）的；

證明（1）取 ，由定理1.1即證；

（2）因為特征值全部大于零（大于等于零）.

定理1.2（1）若矩陣 是對稱矩陣，則 也是對稱矩陣；

（2）若矩陣 是正交（酉）矩陣，則 也是正交（酉）矩陣；

（3）若矩陣 是埃爾米特矩陣，則 也是埃爾米特矩陣；

（4）若矩陣 是可逆矩陣，則 也是可逆矩陣，且

；

（5）若矩陣 的秩分別是 ，則 的秩是 ；

（6）若矩陣 可以對角化，則 也可以對角化；

（7） ；

（8） ；

（9）若矩陣 為阿達瑪（Hadamard）矩陣（正規(guī)矩陣），則

也是阿達瑪矩陣（正規(guī)矩陣）.

證明

（3）（4）仿（2）可證

（5）設矩陣 的標準形分別是 ，則存在 階的可逆矩陣 和 使得 .所以

考慮到 和 均是非奇異矩陣，故

而 的秩等于 ，于是 的秩是

（6）仿（5）可證

（7）同（5）的證明，設矩陣 的約當標準形分別是 ，存在的 階矩陣為 ，則有

當 為上三角形矩陣時， 也為上三角形矩陣，因此

（8） 可以驗證

（9） 仿照（4）可證

用sv（A）記A的奇異值 的集合： .可得

定理1.3 若矩陣 的奇異值分別為： 其中

，則

證明 ：設 為Ai的奇異值分解， 為酉矩陣， ，則

由于 和 為酉矩陣， 為對角矩陣且對角元素是 ，從而得證.

定理1.3（1） 的特征值是 ，其對應的特征向量是

（2） 的特征值是 ，其對應的特征向量是 ；

證明：（1）取 ，由定理1.1即證；

（2）取 ，由定理1.1即證；

定理1.4 [4] 設 則 ，這里 表示把A的各列依次連接起來所得的向量.

推論1.5 設 都是n階方陣，則

證明 因為

以上，我們討論了矩陣的克羅內(nèi)克積的多項式形式，并以此出發(fā)討論了多個矩陣的克羅內(nèi)克積的相關性質(zhì)，是對文獻1中相關理論和性質(zhì)的推廣。

參考文獻：

[1] 方保镕 矩陣論[M] 清華大學出版社 2004.

[2] J.H.威爾金森 代數(shù)的特征值問題[M] 科學出版社 2003.

[3] 錢吉林 高等代數(shù)題解精粹[M] 中央民族大學出版社 2002.

[4] 詹興致 矩陣論[M] 高等教育出版社 2008.

作者簡介：

王挺：1977年出生，陜西西安人，西安文理學院教師。陜西省教育廳項目（11jk0500）endprint

摘 要：解矩陣方程是大學數(shù)學的學習重點，對一般的線性矩陣方程，會采用克羅內(nèi)科積進行解的判斷和求解。本文是對克羅內(nèi)克積的基本性質(zhì)做了相關的推廣，主要給出了具有多矩陣的克羅內(nèi)克積形式的多項式關于特征值和特征向量的結論，并證明了若干定理和推論。

關鍵詞：克羅內(nèi)克積 特征值 性質(zhì)

在矩陣論的相關研究領域里，常常會用到矩陣的克羅內(nèi)克積。這種乘積有效的避免了矩陣行數(shù)和列數(shù)的限制，是對矩陣乘積的推廣[1]。另一方面克羅內(nèi)克積又與矩陣的普通乘積、舒爾積有著廣泛的聯(lián)系。在矩陣理論中，利用克羅內(nèi)克積可以較好的判斷矩陣方程是否有解，矩陣解對于常數(shù)矩陣的攝動的敏感性等問題[2]；在線性方程組中，克羅內(nèi)克積又促進了相關理論的發(fā)展，使得一部分線性方程的解用克羅內(nèi)克積的形式表示了出來，對避免病態(tài)方程的產(chǎn)生和提高計算機求解的速度有一定的積極作用。本文是在文獻1的基礎上，對多矩陣的克羅內(nèi)克積的形式進行了討論.以下如不做特殊說明所涉矩陣均為方陣.

定理1.1 設 是變量 的復系數(shù)多元多項式，對于階數(shù)分別是 的矩陣 來說定義

階矩陣

這里 為矩陣的克羅內(nèi)克積.

若 的特征值分別為

對應的特征向量分別為 則矩陣

的特征值是 ， 而對應 的特征向量為

證明：設矩陣 的特征值 它們對應的特征向量分別是 由

推論1.1 （1） 的特征值為 個數(shù) ，且對應 的特征向量為

（2）若矩陣 是正定（半正定）的，則矩陣 也是正定（半正定）的；

證明（1）取 ，由定理1.1即證；

（2）因為特征值全部大于零（大于等于零）.

定理1.2（1）若矩陣 是對稱矩陣，則 也是對稱矩陣；

（2）若矩陣 是正交（酉）矩陣，則 也是正交（酉）矩陣；

（3）若矩陣 是埃爾米特矩陣，則 也是埃爾米特矩陣；

（4）若矩陣 是可逆矩陣，則 也是可逆矩陣，且

；

（5）若矩陣 的秩分別是 ，則 的秩是 ；

（6）若矩陣 可以對角化，則 也可以對角化；

（7） ；

（8） ；

（9）若矩陣 為阿達瑪（Hadamard）矩陣（正規(guī)矩陣），則

也是阿達瑪矩陣（正規(guī)矩陣）.

證明

（3）（4）仿（2）可證

（5）設矩陣 的標準形分別是 ，則存在 階的可逆矩陣 和 使得 .所以

考慮到 和 均是非奇異矩陣，故

而 的秩等于 ，于是 的秩是

（6）仿（5）可證

（7）同（5）的證明，設矩陣 的約當標準形分別是 ，存在的 階矩陣為 ，則有

當 為上三角形矩陣時， 也為上三角形矩陣，因此

（8） 可以驗證

（9） 仿照（4）可證

用sv（A）記A的奇異值 的集合： .可得

定理1.3 若矩陣 的奇異值分別為： 其中

，則

證明 ：設 為Ai的奇異值分解， 為酉矩陣， ，則

由于 和 為酉矩陣， 為對角矩陣且對角元素是 ，從而得證.

定理1.3（1） 的特征值是 ，其對應的特征向量是

（2） 的特征值是 ，其對應的特征向量是 ；

證明：（1）取 ，由定理1.1即證；

（2）取 ，由定理1.1即證；

定理1.4 [4] 設 則 ，這里 表示把A的各列依次連接起來所得的向量.

推論1.5 設 都是n階方陣，則

證明 因為

以上，我們討論了矩陣的克羅內(nèi)克積的多項式形式，并以此出發(fā)討論了多個矩陣的克羅內(nèi)克積的相關性質(zhì)，是對文獻1中相關理論和性質(zhì)的推廣。

參考文獻：

[1] 方保镕 矩陣論[M] 清華大學出版社 2004.

[2] J.H.威爾金森 代數(shù)的特征值問題[M] 科學出版社 2003.

[3] 錢吉林 高等代數(shù)題解精粹[M] 中央民族大學出版社 2002.

[4] 詹興致 矩陣論[M] 高等教育出版社 2008.

作者簡介：

王挺：1977年出生，陜西西安人，西安文理學院教師。陜西省教育廳項目（11jk0500）endprint