小波基預(yù)測函數(shù)控制在陶瓷燒成溫度控制中的應(yīng)用*

侯 寧 費樹岷

(1 江蘇開放大學(xué) 江蘇 無錫 214011)(2 東南大學(xué)自動化學(xué)院 南京 210096)

陶瓷燒成窯爐是陶瓷生產(chǎn)過程最主要的設(shè)備，是生產(chǎn)過程的“心臟”，對提高陶瓷產(chǎn)品的品質(zhì)起著決定性的作用。但是由于陶瓷燒成窯爐具有大純滯后的特征，并且控制關(guān)系具有非線性，系統(tǒng)與控制指標(biāo)(如溫度，氣氛，壓力)之間為較強耦合，又表現(xiàn)為不確定性，普通的控制策略很難對其實現(xiàn)有效控制。為此一些針對陶瓷燒成窯爐控制策略被提出，文獻(xiàn)[1]提出變結(jié)構(gòu)溫度控制方法，即通過模糊控制和時間比例分割相結(jié)合應(yīng)用于陶瓷燒成窯爐中，并證明控制方法是有效的；文獻(xiàn)[2～4]將智能控制與PID控制技術(shù)相融合，通過整合兩種控制思想形成了模糊PID控制器的設(shè)計方法，對窯爐各工作區(qū)的溫度的調(diào)節(jié)是可行的；文獻(xiàn)[5]通過模糊控制和預(yù)測控制2種策略的結(jié)合來控制燒成溫度，在精度和快速性方面取得較好的效果。文獻(xiàn)[6]通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立對窯爐的溫度特性進行建模，解決了用普通控制算法建立非線性對象精確模型的問題，并結(jié)合動態(tài)矩陣預(yù)測控制實現(xiàn)對溫度變化的跟蹤控制；文獻(xiàn)[7]將窯爐內(nèi)的溫度偏差及偏差變化率通過智能邏輯控制器得到控制信號，實現(xiàn)燒成溫度的智能控制。

預(yù)測函數(shù)控制(Predictive Functional Control, 簡稱PFC)是第三代模型預(yù)測控制算法，由J Richalet于1986年提出[8]，廣泛應(yīng)用于機器人跟蹤、雷達(dá)跟蹤、熱焓控制等領(lǐng)域[9～14]。該方法的特點是在控制量的結(jié)構(gòu)中加入了基函數(shù)的內(nèi)容，基函數(shù)的形式以及數(shù)量可以根據(jù)控制過程預(yù)先選定，控制量的解析解為與基函數(shù)相關(guān)的線性組合，各基函數(shù)作用系統(tǒng)形成的輸出為加權(quán)組合結(jié)構(gòu)，通過目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化得到加權(quán)系數(shù)。在普通PFC控制方法中，基函數(shù)一般可取階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及正弦多項式函數(shù)等。這類基函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，離線計算方便，不足的是以上函數(shù)都是全局函數(shù)，對信號的逼近不能根據(jù)信號的局部特征即不同逼近精度而靈活設(shè)置，難以達(dá)到預(yù)期的控制效果[15]。筆者提出一種基于小波基函數(shù)的陶瓷燒成窯溫度預(yù)測函數(shù)控制方法，仿真結(jié)果表明該方法的有效性。

1 陶瓷燒成窯爐溫度預(yù)測函數(shù)控制

根據(jù)控制系統(tǒng)的要求，對陶瓷燒成溫度進行控制，要求控制過程輸出即燒成溫度能夠快、準(zhǔn)、穩(wěn)地達(dá)到設(shè)定溫度值。

1.1 陶瓷燒成窯爐數(shù)學(xué)模型[16]

為了獲得陶瓷燒成窯爐數(shù)學(xué)模型，可以從數(shù)學(xué)途徑分析其工藝過程,寫出有關(guān)的數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)式,然后推導(dǎo)出被控對象的模型。作為具有代表性的生產(chǎn)過程,陶瓷燒成窯爐模型可表示為以下常見工業(yè)過程：

(1)

式中：K——比例常數(shù);

τ——時延時間；

T——過程時間常數(shù)。

式(1)表示的是一階慣性加純滯后模型。當(dāng)式中τ與T的比值大于0.3時，稱為大純滯后慣性環(huán)節(jié)；當(dāng)比值小于0.3時，稱為一般純滯后慣性環(huán)節(jié)。筆者在對象數(shù)學(xué)模型的仿真過程中取K=5，τ=10，T=20，即大純滯后慣性環(huán)節(jié)。

1.2 控制輸入與模型輸出

預(yù)測函數(shù)控制方法在控制量的結(jié)構(gòu)中加入了基函數(shù)的內(nèi)容，控制量為：

(2)

式中：μj——線性組合的加權(quán)系數(shù);

fbj(i)——基函數(shù)在t=iT時的取值;

nB——基函數(shù)的個數(shù);

h——預(yù)測優(yōu)化時域的長度。

陶瓷燒成溫度預(yù)測函數(shù)控制的模型輸出ym(k+i)可以表示為：

ym(k+i)=yU(k+i)+yF(k+i)

(3)

式中：yU——自由(unforced)響應(yīng)輸出，即為輸入控制為零情況下模型的響應(yīng);

yF——由式(2)所給的新增控制輸入作用下的強迫響應(yīng)，可以由下式得到：

(4)

式中：ybj(i)為過程在第j個基函數(shù)fbj(i)作用下的模型輸出，不需要在線計算出；加權(quán)系數(shù)μj(k)可以通過在線求解得到。

陶瓷燒成溫度預(yù)測函數(shù)控制的預(yù)測模型為：

Xm(k)=EmXm(k-1)+Fmu(k-1)

ym(k)=CmXm(k)

(5)

式中：Xm∈Rn*1——狀態(tài)向量；

u∈R1*1——控制輸入；

ym∈R1*1——預(yù)測模型輸出；

Em∈Rn*n、Fm∈Rn*1、Cm∈R1*n——分別是模型的系數(shù)或向量。

由式(2)、(3)、(4)、(5)得到：

ym(k+1)=CmXm(k+i)

(6)

式中:μ(k)=[μ1(k),μ2(k),L,μnB(k)]T;

yb(i)=[yb1(k),yb2(k),L,ybnB(k)]T。

1.3 控制系統(tǒng)參考軌跡

為了達(dá)到預(yù)期的控制目標(biāo)，系統(tǒng)的模型輸出在控制過程中要能跟蹤參考軌跡，從而使系統(tǒng)控制溫度能夠平穩(wěn)的達(dá)到預(yù)期溫度值(設(shè)定值)。預(yù)測函數(shù)控制的參考軌跡在形式上沒有特別限制，筆者選取以下指數(shù)形式作為過程跟蹤參考軌跡，其表達(dá)式為：

(7)

式中：yR(k+1)——k+i時刻參考軌跡的值；

s(k)——設(shè)定溫度值軌跡；

yp——實際過程輸出；

sb(k)——多項式系數(shù)；

Bs——表示多項式階數(shù)。

1.4 誤差補償與優(yōu)化計算

對于過程輸出與模型輸出之間的誤差問題，通過反饋進行未來誤差的預(yù)測和補償，通常取未來誤差為：

(8)

式中：et(k)和Be分別為多項式的系數(shù)和階數(shù)。

(9)

預(yù)測函數(shù)控制方法中控制量是通過優(yōu)化實現(xiàn)的。具體做法是在預(yù)測時域上取若干優(yōu)化點，使得優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式為：

(10)

式中：nh——擬合點的個數(shù)，且nh≥nB；

hj——第j個擬合點的值，即為介于優(yōu)化時域之間的一些離散點。求 ?J/?μ(k)=0,求解出[μ1(k),μ2(k)，KμnB(k)]后，通過式(2)可得到控制量的解析式。

針對式(1)所示的一階慣性加純滯后系統(tǒng),在τ=0模型上進行修正，思路如下：

ypa(k)=ym(k)+yp(k)-ym(k+D)

(11)

設(shè)跟蹤預(yù)期溫度值為階躍設(shè)定值，則s(k+i)=s(k)，經(jīng)優(yōu)化計算可得到k時刻的控制量：

(12)

式中各系數(shù)：

式中：A=(GGT)-1G;

G=[yb(h1),yb(h2),K,yb(hnh];

yb(i)=[yb1(k),yb2(k),K,ybnB(k);

fb(0)=[fb1(0),fb2(0),L,fbnB(0)]T。

1.5 小波基函數(shù)的選擇

根據(jù)預(yù)測函數(shù)控制的方法，系統(tǒng)的控制精度取決于基函數(shù)的選取[17]，而基函數(shù)的選取則依賴設(shè)定值以及控制對象的性質(zhì)?；瘮?shù)選得越少越簡單，需優(yōu)化計算的加權(quán)系數(shù)也就越少，算法的快速性可以提高，但控制精度將降低。在普通的預(yù)測函數(shù)控制研究中，大多選取階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及正弦多項式函數(shù)[18]作為PFC的基函數(shù)，由于這些函數(shù)是全局函數(shù)，對參考軌跡的逼近不能隨預(yù)測時域的遞增作靈活的調(diào)整，為了解決這一不足，考慮選擇某種具有緊支撐局部特征且在布局上能靈活設(shè)置的函數(shù)作基函數(shù)。

fbj(i)=B(i,j)

(13)

nB——基函數(shù)的個數(shù)；

nh——擬合點個數(shù)。

選擇Mexican Hat(Mexh)小波基作為陶瓷燒成窯爐溫度PFC的基函數(shù)。該小波基是Gauss函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，在時域和頻域都具有很好的局部化特征，小波基系數(shù)衰減很快。其表達(dá)式為：

(14)

小波基函數(shù)的選取方法是:在預(yù)測時刻較小時段對參考軌跡逼近要求較高，為了滿足一定的精度要求可以設(shè)置以多個細(xì)尺度的小波基函數(shù)逼近；隨著預(yù)測時刻的增大，對參考軌跡逼近要求逐漸降低，則以少量粗尺度的小波基函數(shù)逼近，盡量減少基函數(shù)的個數(shù)。圖1和圖2為不同設(shè)置的小波基函數(shù)分布圖。

圖1 Mexican Hat(Mexh)小波基函數(shù)不均勻分布

Fig.1 Uneven distribution of Mexican Hat(Mexh )Wavelet basis function

圖2 5個小波基函數(shù)均勻分布Fig.2 Even distribution of 5 Wavelet basis functions

圖1利用小波基的多尺度特性，靈活選取了3個不均勻分布小波基函數(shù)。在逼近精度較高處設(shè)置了2個細(xì)尺度的小波基函數(shù)；隨著預(yù)測時刻增大，在精度要求相對降低處設(shè)置了一個粗尺度的小波基函數(shù)，在滿足一定精度要求的同時減少基函數(shù)的個數(shù)，提高算法的快速性。圖2為在預(yù)測時域內(nèi)設(shè)置的5個均勻分布小波基函數(shù)。

利用小波基函數(shù)PFC方法另外還有一個特點就是由于小波基函數(shù)是緊支局部函數(shù)，因此在式(12)表示的當(dāng)前控制量u(k)時只需計算第一個小波基函數(shù)fb1(0)的權(quán)系數(shù)μ1，并不需要計算所有的權(quán)系數(shù)，因此快速性得到了進一步的提高。

2 陶瓷燒成窯爐閉環(huán)系統(tǒng)性能分析 [19]

假設(shè)被控對象的實際模型為：

(15)

陶瓷燒成窯爐模型為常見一階系統(tǒng)，因此式(15)中的系數(shù)矩陣都是1×1維矩陣。當(dāng)跟蹤設(shè)定值為階躍變化，由式(12)得到PFC的控制作用為：

u(k)=no(s(k)-yp(k))+nmXm(k)

(16)

考慮系統(tǒng)外部干擾，令：

y(k)=yp(k)+d(k)

(17)

式中：d(k)——外部擾動;

y(k)——系統(tǒng)的實際輸出。

由式(5)、(15)、(16)、(17)得出陶瓷燒成溫控閉環(huán)系統(tǒng)的輸出y(z)方程：

y(z)=yp(z)+d(z)

(18)

由上式得到傳遞函數(shù)：

(19)

(20)

式中:n0=fb1(0)yb1(h1)-1(1-αh1)

當(dāng)模型匹配時，可得到

(21)

(22)

式(21)、(22)表明，預(yù)測函數(shù)控制能夠?qū)﹄A躍設(shè)定值實現(xiàn)無偏差跟蹤，理論上無穩(wěn)態(tài)誤差，并且完全能夠抑制外部干擾，因此具有較強的魯棒性。

由式(18)還可以得到溫度控制閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：

1-nm(zI-Em)-1Fm+n0C(zI-E)-1F=0

(23)

其特征根為：

(24)

由式(7)和(10)可得出:0<α<1,h1>1。01。因此上式特征根0

3 仿真比較

筆者選取純滯后一階慣性環(huán)節(jié)為陶瓷燒成溫度控制仿真對象：

其中參數(shù)取K=5,τ=10,T=20。該模型同時也作為小波基函數(shù)PFC的預(yù)測模型，并且在仿真過程中預(yù)測模型都不改變。

3.1 選取不均勻分布基函數(shù)

選取如圖1所示的3個不同預(yù)測時刻不均勻分布的小波基函數(shù)。在預(yù)測時刻較小且逼近要求較高時(p=0,15)選取細(xì)尺度(a=10)的Mexh小波；而在預(yù)測時刻較大時(p=50)選取粗尺度(a=20)的Mexh小波進行逼近。

圖3 跟蹤階躍設(shè)定值時的仿真結(jié)果比較Fig.3 Tracking the simulation results when the step setpoint

3.2 選取均勻分布基函數(shù)

選取5個均勻小波基函數(shù)，其不同預(yù)測時刻的均勻分布如圖2所示。仿真參數(shù)不變。同時對圖1、圖2所示2種不同分布的小波基函數(shù)情況進行仿真，并進行比較，結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同分布的小波基函數(shù)的仿真結(jié)果比較

Fig.4 Simulation results of the different distribution of the wavelet basis function

由圖4可知，不均勻分布的即具有申縮特性的小波基函數(shù)的動態(tài)特性要比均勻分布的小波基函數(shù)更好些，可見在保證一定精度的前提下，選定不均勻分布的小波基函數(shù)，減少了基函數(shù)個數(shù)，優(yōu)化了待求變量的個數(shù)，提高了系統(tǒng)的整體控制效果。

3.3 受干擾情況

為說明基于小波基函數(shù)PFC的抗干擾能力,在系統(tǒng)進入穩(wěn)定時間 200 s處，加入20% 干擾信號后的響應(yīng)曲線如圖5所示。仿真結(jié)果表明，加入干擾后，小波基函數(shù)PFC的溫度回到設(shè)定值的時間比普通PFC要快5～8 s?？梢娨种聘蓴_的能力優(yōu)于普通PFC。

4 結(jié)語

筆者利用小波基函數(shù)的緊支局部性、多尺度分析特性等特征，針對普通PFC方法中基函數(shù)的選取存在的不足，提出基于小波基函數(shù)的陶瓷燒成窯溫度預(yù)測函數(shù)控制方法。通過不同情況的仿真比較，表明小波PFC算法在顧及優(yōu)化目標(biāo)整體性的同時，又滿足了在不同預(yù)測時刻對參考軌跡逼近的精度要求，實現(xiàn)了基函數(shù)的個數(shù)和分布根據(jù)不同要求的靈活設(shè)置。該方法算法簡單,易于實現(xiàn),在響應(yīng)速度、控制精度、抑制外部干擾等方面比普通PFC方法都有明顯的改善，具有良好的應(yīng)用前景。