波羅的海干散貨運價指數(shù)的馬爾可夫鏈分析

畢艷芳

(上海海事大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院，上海201306)

一、引言

波羅的海干散貨指數(shù)(BDI)是投資者研究航運股的重要工具，干散貨航運上市公司的股價走勢與BDI緊密相關(guān)。波羅的海干散貨市場運價指數(shù)即BDI，一直被認為是反映國際干散貨運輸市場變化的晴雨表，同時是初級商品市場價格走勢的風(fēng)向標(biāo)。研究BDI的波動規(guī)律，對其發(fā)展趨勢進行預(yù)測得到人們廣泛的關(guān)注。呂靖(2002)通過對波羅的海國際干散貨運價指數(shù)分別提取長期趨勢項、周期波動項和季節(jié)波動項以后，建立ARMA模型，對 BFI(BDI的前身)進行了短期預(yù)測［1];徐萍(2005)采用小波分析和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對BFI進行了預(yù)測研究［2];劉晶，盧春霞(2008)結(jié)合FFA市場，建立了波羅的海干散貨運價指數(shù)ARMA預(yù)測模型［3];聶金龍，李序穎(2009)引入ARFIMA模型，來改進傳統(tǒng)的ARMA預(yù)測模型［4];靳廉潔(2010)針對巴拿馬型干散貨船舶，進行基于支持向量機(SVM)模型的波羅的海運價指數(shù)預(yù)測研究［5];魏文臻杰，李序穎(2011)通過引入波羅的海原油運價指數(shù)BDTI這一外生變量，提出了一種ARMAX模型的短期 BDI預(yù)測方法［6]。

本文將引入馬爾可夫鏈理論，建立BDI的馬爾可夫預(yù)測模型，并據(jù)此分析BDI的短期波動變化趨勢可能性［7]。

二、數(shù)學(xué)理論

1.馬爾可夫鏈的定義

將具有“過去只影響現(xiàn)在，而不影響將來”特點的隨機過程成為馬爾可夫過程。狀態(tài)離散的馬爾可夫過程稱為馬爾可夫鏈。符合馬氏性的隨機數(shù)列可用馬爾可夫鏈進行狀態(tài)預(yù)測。

則稱{Xn:n≥0}為馬爾可夫鏈，簡稱馬氏鏈。

隨機過程Xn:n≥{}0是馬氏鏈的充要條件是，對于任意的 n≥1，及任意的 i1，i2，···，in，j∈S，有

2.轉(zhuǎn)移概率

對于 馬 氏 鏈{Xn:n≥0}，稱P(ijn)(m)=PS為系統(tǒng)在時刻m時處于狀態(tài)i的條件下，經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的n步轉(zhuǎn)移概率。P(ijn)(m)具有以下性質(zhì):

對于齊次的馬氏鏈Xn:n≥{}0，有

轉(zhuǎn)移概率矩陣形式為

P滿足:(1)所有元素非負，(2)各行元素之和為1。

3.馬氏性的檢驗

檢驗隨機過程是否具有馬氏性，是應(yīng)用馬爾可夫鏈模型進行數(shù)據(jù)分析的首要前提。通常對于離散型的馬爾可夫鏈?zhǔn)怯忙?統(tǒng)計量來檢驗:

為了說明我們引入頻數(shù)矩陣(nij)n×n，nij是系統(tǒng)從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到j(luò)狀態(tài)的次數(shù)。

則統(tǒng)計量

4.C－K方程

對于齊次馬氏鏈{Xn:n≥0}的n步轉(zhuǎn)移概率，有

即為C－K方程，在馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移概率計算中起著重要作用。寫成矩陣形式即:P(m+n)=P(m)P(n)，且P(n)=Pn。所以對齊次馬爾可夫鏈來說，一步轉(zhuǎn)移概率Pij就可以確定所有的n步轉(zhuǎn)移概率，即

這對于應(yīng)用馬爾可夫鏈來進行預(yù)測有關(guān)鍵意義。

二、馬爾可夫鏈分析模型的建立

1.數(shù)據(jù)選取與狀態(tài)劃分

波羅的海干散貨運價指數(shù)BDI隨著時間而不斷變化，形成時間序列數(shù)據(jù)。這里選取2013年12月2日至2014年3月5日的BDI數(shù)據(jù)(來源Clarkson SIN數(shù)據(jù))。

因為BDI一直被認為是反映國際干散貨運輸市場變化的晴雨表，也為簡化分析，將狀態(tài)劃分為“上漲”“持平”“下跌”三種狀態(tài)［8]，具體劃分法如下:

(1)將BDI數(shù)據(jù)進行差分處理;

(2)狀態(tài)劃分標(biāo)準(zhǔn):指數(shù)上漲超過20點，為狀態(tài)1，稱為“上漲”;指數(shù)上漲或者下跌在20點范圍內(nèi)，為狀態(tài)2，稱為“持平”;指數(shù)下跌超過20點，為狀態(tài)3，稱之為“下跌”。故狀態(tài)空間S=1，2，{}3。

(3)據(jù)上述標(biāo)準(zhǔn)進行狀態(tài)劃分，得到如下結(jié)果(見表1).

表1 2013年12月2日至2014年3月5日的BDI情況

2.檢驗馬爾科夫性

用nij表示BDI從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到j(luò)狀態(tài)的次數(shù)，通過計算得到頻數(shù)矩陣(nij)n×n:

將頻數(shù)矩陣的第j列之和除以各行各列的總和，由公式(5)得到，并計算得到

由公式計算得到χ2=60.44257，取α=0.05，查表得χ2(3－1)=5.991，所以此過程是馬氏鏈過程，具有馬氏性［9]。

3.轉(zhuǎn)移概率矩陣計算

由表1可知，最后一天的狀態(tài)為1，而沒有出現(xiàn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移，故出現(xiàn)狀態(tài)1的次數(shù)為18－1=17次，其中由狀態(tài)1轉(zhuǎn)1的次數(shù)為11次，即轉(zhuǎn)移概率;狀態(tài)1轉(zhuǎn)2的次數(shù)為5次，即轉(zhuǎn)移概率;狀態(tài)1轉(zhuǎn)3的次數(shù)為1次，即轉(zhuǎn)移概率同理可計算得到

由此可得，該BDI狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣:

因此利用表1資料預(yù)測以后交易日的情況，由于馬氏性和齊次性，我們用第61個交易日的狀態(tài)為初始狀態(tài)，由表1可知，2014年3月5日的數(shù)據(jù)落在狀態(tài)1區(qū)間內(nèi)，即初始分布為P(0)=(1 0 0 )，利用模型(7)式，可計算得第62個交易日的BDI狀態(tài)概率情況:

經(jīng)計算表明，第62個交易日的BDI指數(shù)上漲超過20個點的概率為64.71%，指數(shù)變動在－20到20范圍內(nèi)的概率為29.41%，指數(shù)下降超過20個點的概率為5.88%。

第59個交易日的BDI狀態(tài)概率情況:

第60個交易日的BDI狀態(tài)概率情況:

第60個交易日的BDI狀態(tài)概率情況:

這樣，只要穩(wěn)定條件不變，即一步轉(zhuǎn)移概率不變，以后各個交易日的狀態(tài)都可預(yù)測分析［10]。

三、馬爾可夫鏈分析結(jié)果說明

據(jù)以上分析可知，隨著交易日的增加，BDI指數(shù)上漲超過20點的可能性在不斷下降，其他兩個狀態(tài)出現(xiàn)的可能性在上升，這與現(xiàn)實情況一致。越遠期越是難預(yù)測，出現(xiàn)三種狀態(tài)的可能性將會差不多。同時，需要說明的是，BDI指數(shù)除了受市場因素影響之外，還會受到其他很多外界因素的影響，不能保證轉(zhuǎn)移概率矩陣不變，因此本方法適宜于對BDI進行短期預(yù)測分析，為波羅的海干散貨運價指數(shù)的科學(xué)預(yù)測提供新的思路。

［1] 呂靖.海運價格指數(shù)的波動規(guī)律［J] .大連海事大學(xué)學(xué)報，2003(2).

［2] 徐萍.基于小波分析和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的BFI預(yù)測研究［D] .大連海事大學(xué)，2005.

［3] 劉晶，盧春霞.波羅的海干散貨運價指數(shù)預(yù)測模型分析［J] .航海技術(shù)，2008(5).

［4] 聶金龍，李序穎.波羅的海干散貨運價指數(shù)的ARFIMA模型研究［J] .中國水運，2009(4).

［5] 靳廉潔.基于支持向量機的干散貨運價指數(shù)預(yù)測研究［D] .大連海事大學(xué)，2010(6).

［6] 魏文臻杰，李序穎.基于ARMAX模型的短期BDI預(yù)測［J] .物流工程與管理，2012(1).

［7] 李龍鎖 .隨機過程［M] .北京;科學(xué)出版社，2011.

［8] 韋丁源.股市大盤指數(shù)的馬爾科夫鏈預(yù)測法［J] .廣西廣播電視大學(xué)學(xué)報，2008(9).

［9] 葉宗文.股票價格的馬氏鏈預(yù)測法［J] .重慶師范大學(xué)學(xué)報，2006(3).

［10] 孟銀鳳，李榮華.股票價格的馬氏鏈預(yù)測模型［J] .數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2010(9).