對(duì)發(fā)現(xiàn)式數(shù)學(xué)教學(xué)的思考

趙麗軍

摘 要：發(fā)現(xiàn)式數(shù)學(xué)教學(xué)就是將數(shù)學(xué)課堂變?yōu)榘l(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的課堂，因此教師既要重視演繹推理，更要重視合情推理，使學(xué)生能夠體驗(yàn)到發(fā)現(xiàn)與猜想過(guò)程中的興趣，激發(fā)學(xué)生的好奇心與創(chuàng)新激情。

關(guān)鍵詞：發(fā)現(xiàn)式 數(shù)學(xué)教學(xué) 演繹推理 好奇心 創(chuàng)新激情

在數(shù)學(xué)教學(xué)中采用發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法，是指教師不直接把現(xiàn)成的知識(shí)傳授給學(xué)生，而是引導(dǎo)學(xué)生在教師事先精心設(shè)計(jì)、周密組織安排的一系列學(xué)習(xí)活動(dòng)中，通過(guò)自主探索、合作交流，像數(shù)學(xué)家那樣去自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)事實(shí)、主動(dòng)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的一種教學(xué)方法。這樣教師不僅要教會(huì)學(xué)生演繹推理，更要教會(huì)學(xué)生合情推理，培養(yǎng)學(xué)生的好奇心及創(chuàng)造激情，從而讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)。

一、教會(huì)學(xué)生掌握演繹推理的基本方法與規(guī)律

推理是從一個(gè)或幾個(gè)已知命題得出另一個(gè)新命題的思維過(guò)程。演繹推理是由一般到特殊的推理。如果大前提正確，并遵守推理的基本規(guī)律，那么演繹推理得到的結(jié)論一定正確。它是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)理論體系的重要推理方法。然而，有的學(xué)生在推理過(guò)程中，對(duì)作為大前提的已有定理、定義斷章取義，忽視某些條件，因而導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。

例如，判斷函數(shù)?（x）=1g（x-1）+1g（x+1）的奇偶性。有的學(xué)生將函數(shù)變形為，?（x）=1g（x-1）（x+1）=1g（x2-1），由?（x）=1g（-x）=1g[（-x）2-1]=1g（x2-1）=?（x），于是得出錯(cuò)誤結(jié)論，?（x）是偶函數(shù)。事實(shí)上，?（x）的定義域是﹛x|x>1﹜，對(duì)任意x∈﹛x|x>1﹜時(shí)，而-x﹛x|x>1﹜，因此并不滿(mǎn)足偶函數(shù)的定義：對(duì)定義域中的任意X都有?（-x）=?（x）。

在教學(xué)中針對(duì)定理、定義中的條件，特別是隱含條件，都要通過(guò)典型例題，讓學(xué)生從錯(cuò)誤中揣摩、理解，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)前提中每個(gè)條件的必要性、不可或缺性，避免學(xué)生頭腦中產(chǎn)生虛假前提。

在解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生遇到的最大困惑是沒(méi)有解題思路，找不到解題的切入點(diǎn)。這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中不僅要重視定理等結(jié)論的教學(xué)，更要重視分析問(wèn)題解決問(wèn)題的方法與思想教學(xué)、重視解決問(wèn)題過(guò)程教學(xué)。在數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法有綜合法、分析法、逆向思維方法、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、構(gòu)造思想方法、特殊值法等。只要教師精心設(shè)計(jì)好發(fā)現(xiàn)步驟，引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)，學(xué)生必然會(huì)興致勃勃地去探索。有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，采用通常的思路很難解答，這時(shí)就需要我們發(fā)散思維，采取特殊的思想和方法。

例如，已知a，b，c，d，e皆為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求證：。很多學(xué)生見(jiàn)到問(wèn)題后感到茫然，不知從何下手。然而，我們從函數(shù)思想出發(fā)，構(gòu)造出二次函數(shù)f（x）=4x2+2（a+b+c+d）x+（a2+b2+c2+d2+e2），配方后得，?（x）=（x+a）2+（x+b）2+（x+c）2+（x+d）2。學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，?（x）≥0，又二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)為正，所以根的判別式?≥0，據(jù)此可推得要證結(jié)論。

由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)中的奇思妙想，轉(zhuǎn)化與變通，有時(shí)能夠起到撥云見(jiàn)日、破解迷思的奇效，它是智慧的積累、是經(jīng)驗(yàn)與靈感的結(jié)晶。只有通過(guò)大量訓(xùn)練，日積月累，掌握各種數(shù)學(xué)思想方法，久而久之，就會(huì)運(yùn)用自如。

二、教會(huì)學(xué)生合情推理

合情推理是指運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比、推廣、限定、猜想等一套自然科學(xué)常用的探索方式的方法進(jìn)行的推理。我國(guó)的理科教學(xué)，歷來(lái)較多強(qiáng)調(diào)邏輯推理，而對(duì)科學(xué)發(fā)現(xiàn)的合情推理有所忽視，導(dǎo)致我們培養(yǎng)的學(xué)生動(dòng)手能力較差、創(chuàng)造性不強(qiáng)，極大地影響了創(chuàng)造性人才的培養(yǎng)，因此，加強(qiáng)對(duì)合情推理能力的培養(yǎng)已是刻不容緩。

1.在歸納猜想中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新素質(zhì)

歸納是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理。歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍，由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過(guò)邏輯證明。因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具，但通過(guò)歸納推理得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題。

例如，求和：13+23+33+43+…+n3?？上葐l(fā)學(xué)生從簡(jiǎn)單事例歸納，13+23=？（9=32），13+23+33=？（36=62），13+23+33+43=？（100=102），13+23+33+43+53=？（225=152），學(xué)生通過(guò)計(jì)算、觀察、概括，可以猜想到13+23+33+43+…+n等于某個(gè)自然數(shù)的平方。3、6、10、15、…有什么規(guī)律呢？帶著這一問(wèn)題，同學(xué)們考試討論、嘗試，教師再適時(shí)啟發(fā)1+2+3+4+…+n=？，很快同學(xué)們就會(huì)歸納、并猜想到13+23+33+43+…+n3=（1+2+3+…n）2=。

我們可以通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想是正確的。沒(méi)有經(jīng)過(guò)證明的猜想可能是錯(cuò)誤的。如著名的費(fèi)爾馬猜想：對(duì)一切非負(fù)整數(shù)n，形如的數(shù)都是素?cái)?shù)就是錯(cuò)的。即便是錯(cuò)誤的猜想，也會(huì)產(chǎn)生積極的意義，這在數(shù)學(xué)發(fā)展史上并不鮮見(jiàn)。歸納、猜想活躍了學(xué)生思維，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與創(chuàng)造性。

2.在類(lèi)比中激發(fā)學(xué)生潛能

類(lèi)比是根據(jù)兩個(gè)（或兩類(lèi)）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?，?lèi)比推理是由特殊到特殊的推理，是從一種事物的特殊屬性推測(cè)另一種事物的特殊屬性。類(lèi)比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性，推測(cè)正在研究中的事物的屬性，它以舊認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)，類(lèi)比出新的結(jié)果。類(lèi)比的結(jié)果是猜測(cè)性的，不一定可靠，但它卻具有發(fā)現(xiàn)的功能。例如，在教學(xué)中，將集合的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算類(lèi)比，將對(duì)數(shù)函數(shù)的研究方法與指數(shù)函數(shù)的研究方法：數(shù)形結(jié)合，由圖形到性質(zhì)類(lèi)比，將函數(shù)的極限運(yùn)算性質(zhì)與數(shù)列的極限運(yùn)算性質(zhì)類(lèi)比。這樣一方面，促進(jìn)了學(xué)生聯(lián)想與知識(shí)遷移，加強(qiáng)了新舊知識(shí)間的聯(lián)系，有利于學(xué)生建立起知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，另一方面，學(xué)生類(lèi)比的過(guò)程也是學(xué)習(xí)科學(xué)研究方法的過(guò)程，有利于學(xué)生的發(fā)展。

因此，合情推理既是科學(xué)的探究方法，也是一種發(fā)現(xiàn)式教學(xué)方式。在教學(xué)中，我們要努力創(chuàng)造一種寬松的教學(xué)環(huán)境，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想、既動(dòng)手又動(dòng)腦，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的習(xí)慣與興趣，提高解學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

三、激發(fā)學(xué)生好奇心與創(chuàng)造激情

好奇心是人類(lèi)的天性，教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)設(shè)滿(mǎn)足學(xué)生好奇心的環(huán)境，設(shè)計(jì)合理的問(wèn)題來(lái)激起學(xué)生的求知欲好奇心。

例如，學(xué)習(xí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，可向?qū)W生講一個(gè)故事：古印度國(guó)王為了獎(jiǎng)賞象棋的發(fā)明者，決定答應(yīng)他的任何要求，而發(fā)明者提出的要求是：“請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的第一格上放1粒小麥，在第二格上放2粒小麥，在第三格上放4粒，第四格上放8粒，就這樣每次增加1倍，一直到第64格為止” 。國(guó)王剛開(kāi)始覺(jué)得很好笑，但很快就發(fā)現(xiàn)他國(guó)庫(kù)里的小麥已經(jīng)搬光了，還到不了棋盤(pán)上的第50格。請(qǐng)問(wèn)，棋盤(pán)上64個(gè)格子小麥的總數(shù)是多少？折算為重量，大約是多少？在好奇心的驅(qū)使下，學(xué)生開(kāi)始列式、計(jì)算，發(fā)現(xiàn)需要計(jì)算等比數(shù)列的前64項(xiàng)和，怎么計(jì)算呢？這就將學(xué)生的注意力吸引在了課題上。此時(shí)教師要?jiǎng)?chuàng)造民主、和諧、平等的教學(xué)氛圍保護(hù)學(xué)生求知欲，允許學(xué)生課堂插話(huà)，低聲議論等，鼓勵(lì)學(xué)生敢于質(zhì)疑，大膽想象，要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點(diǎn)，并及時(shí)予以肯定和鼓勵(lì)，增強(qiáng)學(xué)生的自信心。開(kāi)展多種教學(xué)活動(dòng)來(lái)滿(mǎn)足學(xué)生的好奇心。對(duì)于一些重點(diǎn)難點(diǎn)問(wèn)題，除了課堂教學(xué)外，我們開(kāi)展各種豐富多彩的教學(xué)活動(dòng)，如組織辯論賽，搞數(shù)學(xué)競(jìng)賽，相互測(cè)驗(yàn)，數(shù)學(xué)家故事會(huì)，分析古今中外數(shù)學(xué)趣題 、一題多解、一題巧解等。通過(guò)活動(dòng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)生熱情與創(chuàng)新激情，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新的綜合素質(zhì)。

發(fā)現(xiàn)式數(shù)學(xué)教學(xué)不僅重視數(shù)學(xué)知識(shí)，更重視培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新的興趣和能力。

參考文獻(xiàn)：

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（作者單位：唐山師范學(xué)院玉田分校）endprint