基于頻率約束的拓撲優(yōu)化中局部模態(tài)現(xiàn)象的數(shù)值模擬分析*

趙志軍

（長沙大學(xué)土木建筑工程系，湖南長沙 410022）

基于頻率約束的拓撲優(yōu)化中局部模態(tài)現(xiàn)象的數(shù)值模擬分析*

趙志軍

（長沙大學(xué)土木建筑工程系，湖南長沙 410022）

針對頻率約束下重量最輕的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題，通過數(shù)值模擬分析，找到能有效避免局部模態(tài)的有理分式材料模型，建立了一種合理的結(jié)構(gòu)剛度與質(zhì)量的關(guān)系，所給出算例表明，該模型能有效避免局部模態(tài)的發(fā)生.

拓撲優(yōu)化；頻率約束；局部模態(tài)

隨著工程結(jié)構(gòu)日益輕量化和復(fù)雜化，對結(jié)構(gòu)設(shè)計理論提出了新的挑戰(zhàn).結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法為結(jié)構(gòu)概念設(shè)計提供了更為有效的設(shè)計手段.自結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計概念被提出以來［1］，相繼出現(xiàn)了變厚度法、均勻化方法、變密度方法［2］和結(jié)構(gòu)漸進優(yōu)化法（簡稱ESO法）［3］等方法.

為滿足工程中結(jié)構(gòu)對動力特性的要求，結(jié)構(gòu)動力優(yōu)化設(shè)計是一項更具有意義的課題.使用拓撲優(yōu)化技術(shù)進行結(jié)構(gòu)自然頻率最大化設(shè)計時，低拓撲變量區(qū)域結(jié)構(gòu)密度與剛度的差異較大可能導(dǎo)致局部模態(tài)現(xiàn)象出現(xiàn)［4，5］.由于局部模態(tài)頻率比結(jié)構(gòu)的整體模態(tài)頻率小得多，對于頻率約束下重量最輕的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題，拓撲變量比較低的區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)局部模態(tài)會導(dǎo)致所追蹤的頻率為局部模態(tài)頻率，而非真實的結(jié)構(gòu)頻率，從而導(dǎo)致拓撲優(yōu)化求解失?。?］.本文針對于僅頻率約束下重量最小的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題，基于分式有理式材料插值模型［7］，通過分析及數(shù)值試驗，找到能有效避免局部模態(tài)出現(xiàn)的有理分式材料模型，建立了一種合理的結(jié)構(gòu)剛度與質(zhì)量的關(guān)系.所給出算例表明，該模型能有效避免局部模態(tài)的發(fā)生.

1 單元性質(zhì)參數(shù)的識別

用過濾函數(shù)fw（ti）、fk（ti）、fm（ti）識別重量和剛度等性質(zhì)參數(shù)［6］，采用如下公式

其中wi，［ki］，［mi］分別表示拓撲變量為ti的狀態(tài)對應(yīng)的單元重量，單元剛度矩陣和單元質(zhì)量矩陣；w0i，［ki0］，［mi0］分別表示單元固有重量，單元固有剛度矩陣和單元固有質(zhì)量矩陣.類似于文獻［7］，這里取

2 變頻率區(qū)間約束限的結(jié)構(gòu)優(yōu)化等效模型和求解方法

2.1 變頻率區(qū)間約束限的結(jié)構(gòu)優(yōu)化等效模型

為了保證一階近似式的成立，類似與文獻［7］，對頻率約束采用變區(qū)間漸進約束的方式將模型（3）轉(zhuǎn)化為模型（4）進行求解.

2.2 頻率顯式表示式

2.3 變頻率區(qū)間約束優(yōu)化模型處理和求解方法

采用類似于文獻［7］的方法處理棋盤格問題，再利用對偶理論將模型（8）的規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為如下的對偶規(guī)劃問題求解

解此二次規(guī)劃，求出λ，再由K－T條件求出x*，進而求出t*.這里，為了更好的分析局部模態(tài)現(xiàn)象，類似于文獻［7］，將優(yōu)化過程分成兩個階段，第一階段不對結(jié)構(gòu)進行更新，第二階段采用設(shè)計空間調(diào)整的策略對結(jié)構(gòu)進行更新.

3 單元剛度與質(zhì)量比與局部模態(tài)的關(guān)系

3.1 單元剛度與質(zhì)量比與各參數(shù)的關(guān)系

圖1 密度函數(shù)與剛度函數(shù)之比與t的關(guān)系

圖2 密度函數(shù)與剛度函數(shù)之比與α的關(guān)系

3.2 數(shù)值試驗與機理分析

如圖3所示，梁的尺寸為5m×1m，兩端固定約束.材料彈性模量為200GPa，泊松比取為0.3，厚度為0.1m，密度為7800kg／m3.設(shè)計區(qū)域劃分為100×25的有限元網(wǎng)格.設(shè)置結(jié)構(gòu)第一階頻率約束為255Hz.這里β1取值為0.02.

圖3 梁結(jié)構(gòu)初始設(shè)計區(qū)域

采用變頻率區(qū)間約束限的方法求解，首先取v＝12.8，α＝1．2試算，第一階段第11個循環(huán)迭代步出現(xiàn)局部模態(tài)，導(dǎo)致求解失敗.該局部模態(tài)下的拓撲變量分布和振型如圖4所示，其中顏色較深部分拓撲變量接近1，顏色較淺部分拓撲變量值均小于0.1.采用該局部模態(tài)下的拓撲變量分布，改變α值進行模態(tài)求解計算.在區(qū)間α∈（1．0，2．0）中取80個數(shù)值進行計算，圖5顯示不同的α取值下局部模態(tài)情況統(tǒng)計，從圖中可以看出，α∈（1．0，1．10）時為結(jié)構(gòu)振動沒有出現(xiàn)局部模態(tài)，在α∈（1．10，1．11）處于過渡階段，α∈（1．11，2．0）時為結(jié)構(gòu)振動為局部模態(tài).圖6顯示幾種不同的α取值下的振型.上述結(jié)果說明α取值在1附近是比較合理的.

圖4 α＝1．2發(fā)生局部模態(tài)時拓撲變量分布和振型圖

再通過數(shù)值試驗分析，取α＝1，v∈（3．0，19．0）中取80個數(shù)值進行模態(tài)分析，局部模態(tài)情況統(tǒng)計如圖7所示.統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，當(dāng)v∈（6．0，14．0）區(qū)間時，模態(tài)分析均為整體振動.

圖5 不同的α取值下局部模態(tài)情況統(tǒng)計

圖6 不同的α取值下的振型圖

圖7 不同的v取值下局部模態(tài)情況統(tǒng)計

圖8 不同的v取值下的振型圖

從上述理論分析和數(shù)值試驗可以看出，剛度與質(zhì)量的關(guān)系的選取與局部模態(tài)的產(chǎn)生是有直接關(guān)系的.若能找到一種合理的剛度質(zhì)量關(guān)系，是可以有效避免局部模態(tài)的，從而實現(xiàn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化求解.

4 算例

如圖3所示梁結(jié)構(gòu)，采用本文方法進行求解.

優(yōu)化求解第一階段取v＝12．8，α＝1．0，計算求解過程中未出現(xiàn)局部模態(tài)現(xiàn)象.圖9（a～f）顯示采用本章方法獲得的梁結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化歷程（圖9（f）為最佳結(jié)構(gòu)），共用了29個大循環(huán)迭代步.一階頻率從175.2Hz增加到253.7Hz.相應(yīng)的結(jié)構(gòu)質(zhì)量的進化歷程、頻率值變化歷程分別見圖10和圖11.

圖9 本文方法得到的梁結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化歷程

（a）第2輪迭代步，結(jié)構(gòu)重量為3499.82kg，一階頻率為195.5Hz

（b）第7輪迭代步，結(jié)構(gòu)重量為3118.21kg，一階頻率為214.0Hz

（c）第17輪迭代步，結(jié)構(gòu)重量為2725.92kg，一階頻率為236.6Hz

（d）第20輪迭代步，結(jié)構(gòu)重量為2749.28kg，一階頻率為232.7Hz

（e）第24輪迭代步，結(jié)構(gòu)重量為2474.16kg，一階頻率為251.4Hz

（f）第29輪迭代步，結(jié)構(gòu)重量為2424.24kg，一階頻率為253.7Hz

圖10 結(jié)構(gòu)質(zhì)量演化歷程

圖11 前四階固有頻率演化歷程

5 結(jié)論

本文針對于頻率約束的拓撲優(yōu)化中局部模態(tài)現(xiàn)象，通過數(shù)值試驗分析，找到能有效避免局部模態(tài)的有理分式材料模型.給出的算例結(jié)果利用所得到關(guān)系能獲得有較好0－1分布特征的優(yōu)化拓撲，具有一定的理論和工程應(yīng)用價值.

［1］Bends?e M P，KikuchiN.Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method［J］.Comput Method，1988，（71）：197－224.

［2］石連栓.離散變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計算法研究綜述［J］.天津職業(yè)技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報，2001，（1）：5－9.

［3］Me YM，Steven G P.A simple evolutionary procedure for structural optimization［J］.Computers and Structures，1993，（49）：885－896.

［4］朱繼宏，張衛(wèi)紅，邱克鵬.結(jié)構(gòu)動力學(xué)拓撲優(yōu)化局部模態(tài)現(xiàn)象分析［J］.航空學(xué)報，2005，（4）：619－623.

［5］Pedersen N L.Maximization of eigenvalues using topology optimization［J］.StructMultidisc Optim，2000，（1）：2－11.

［6］隋允康，彭細榮.結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化ICM方法的改善［J］.力學(xué)學(xué)報，2005，（2）：190－198.

［7］榮見華，張強，葛森，等.基于設(shè)計空間調(diào)整的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法［J］.力學(xué)學(xué)報，2010，（2）：256－267.

（作者本人校對）

Numerical Simulation Analysis of Localized M odes
in Structures Topology Optim ization w ith Frequency Constraints

ZHAO Zhijun
（Department of Civil Engineering，Changsha University，Changsha Hunan 410022，China）

One of themain problems in the structural topology optimization with frequency constraints is the appearance of localized modes.In order to avoid localizedmodes，this paper presents a reasonable relationship between the stiffnessmatrix andmassmatrix by introducing the rational approximation material model and using numerical simulation analysis method.One example is provided to demonstrate that the proposed method is feasible and effective for avoiding localized modes.

topology optimization；frequency constraints；localized mode

TU311.3；TB123

A

1008－4681（2014）05－0023－04

2014－09－10

長沙大學(xué)科研基金項目（批準號：CDJJ－10010110）.

趙志軍（1982－），男，遼寧葫蘆島人，長沙大學(xué)土木建筑工程系講師，碩士.研究方向：結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計.