轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考復(fù)習(xí)中的應(yīng)用

楊仕良

摘 要： 高中數(shù)學(xué)的許多問題都可以利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決.高考十分注重對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決問題占了較大的比重，成了歷年高考數(shù)學(xué)考試的重點(diǎn)之一.通過對(duì)高考復(fù)習(xí)轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體應(yīng)用進(jìn)行分析，可以進(jìn)一步提高學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想重要性的認(rèn)識(shí)，提高應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決各種數(shù)學(xué)問題的能力.本文以立體幾何為例，探討轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考復(fù)習(xí)中的應(yīng)用.

關(guān)鍵字： 轉(zhuǎn)化與化歸 高考復(fù)習(xí) 立體幾何

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常遇到一些問題直接求解較為困難，需將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問題通過對(duì)新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的.這種解決問題的方法用到的便是轉(zhuǎn)化與化歸思想.在轉(zhuǎn)化與化歸思想模式下，利用某種手段或方法將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解決問題的目的.在高考復(fù)習(xí)過程中，轉(zhuǎn)化與化歸是一個(gè)重要的考點(diǎn)，因此，對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用的復(fù)習(xí)是一個(gè)十分重要的內(nèi)容.本文以立體幾何為例，分析高考復(fù)習(xí)中轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的應(yīng)用問題.

一、高考復(fù)習(xí)中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的指導(dǎo)原則

高考對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查范圍較廣，涉及各方面數(shù)學(xué)問題和知識(shí).首先，數(shù)形轉(zhuǎn)化問題，例如函數(shù)單調(diào)性和解析幾何中斜率問題等.其次，常量和變量之間的轉(zhuǎn)化問題，例如求范圍和分離變量等.最后，關(guān)于數(shù)學(xué)各分支的轉(zhuǎn)化問題，例如向量和解析幾何等的轉(zhuǎn)化，以及函數(shù)與立體幾何的轉(zhuǎn)化等.另外，還包括將各種實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的情況.其中在立體幾何中轉(zhuǎn)化與思想貫穿于解題的全過程，是立體幾何問題的基本思想和方法，在高考復(fù)習(xí)立體幾何中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想時(shí)，應(yīng)遵循以下指導(dǎo)原則，提高復(fù)習(xí)的實(shí)效性.

1.以學(xué)生為主體

在以往的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中，教師往往處于整個(gè)復(fù)習(xí)的主導(dǎo)地位，統(tǒng)領(lǐng)一切.學(xué)生只能機(jī)械地跟隨教師的安排展開復(fù)習(xí)，處于被動(dòng)狀態(tài).但是，高考對(duì)數(shù)學(xué)教育的要求使得高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中要注意以人為本，保證學(xué)生處于主體地位，具有較高的自主性.因此，在具體的復(fù)習(xí)過程中，教師要注意轉(zhuǎn)變自身角色，扮演好引導(dǎo)者的角色，幫助學(xué)生自主復(fù)習(xí).并積極采取有效措施，調(diào)動(dòng)學(xué)生的復(fù)習(xí)積極性，增強(qiáng)復(fù)習(xí)效果.

2.以大綱為指導(dǎo)

在復(fù)習(xí)過程中，一定要注意緊密圍繞考試大綱的具體要求，以考試大綱為指導(dǎo).教師要注意帶領(lǐng)學(xué)生一起深入分析研究最新的考試大綱的具體內(nèi)容和要求，并回顧往年的考試大綱，找出區(qū)別，做到對(duì)考試內(nèi)容和考點(diǎn)心中有數(shù).同時(shí)，教師還要注意做好歸納總結(jié)工作，將考試大綱對(duì)不同數(shù)學(xué)知識(shí)的要求進(jìn)行總結(jié)，并帶領(lǐng)學(xué)生一起圍繞考綱展開復(fù)習(xí).

3.注重能力培養(yǎng)

高考十分注重對(duì)學(xué)生能力的考查，培養(yǎng)學(xué)生能力是高考教學(xué)復(fù)習(xí)的主要目的之一.因此，在復(fù)習(xí)過程中，要注意使學(xué)生獲得各種利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決數(shù)學(xué)問題的能力，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好應(yīng)用基礎(chǔ).

二、高考復(fù)習(xí)立體幾何中轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用

在解決各種高中立體幾何問題時(shí)，可以利用轉(zhuǎn)化和化歸思想，將抽象的空間問題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，變?yōu)榫唧w的實(shí)數(shù)運(yùn)算.從而降低運(yùn)算難度，簡化運(yùn)算過程，提高解題效率.在具體應(yīng)用向量知識(shí)解決立體幾何問題時(shí)，首先要考慮需要用什么向量知識(shí)進(jìn)行解題，具體需要用的向量有哪些.然后根據(jù)題意分析所需要的向量是否已知，則可利用已知條件轉(zhuǎn)化成具體的向量.如果需要的向量不能直接轉(zhuǎn)化，則要考慮選擇用哪個(gè)未知向量進(jìn)行表示，難度如何.在所需向量表示出來之后，便要分析怎樣對(duì)其進(jìn)行具體運(yùn)算，以得到需要的結(jié)果和結(jié)論.

1.利用向量知識(shí)論證立體幾何中的線面關(guān)系問題

例1：已知m、n是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（ ）

A.若m//α，n//α，則m//n B.若α⊥γ，β⊥γ，則α//β

C.若m//α，m//β，則α//β D.若m⊥α，n⊥α，則m//n

解析：根據(jù)向量中空間線與線，線與面的平行、垂直的相關(guān)知識(shí)，可以得出如果m⊥α，n⊥α，則m//n，即選項(xiàng)D為正確答案.

2.運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立空間直角坐標(biāo)系

例2：如圖2，直三棱柱ABC—ABC，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA=2，M、N分別是AB、AA的中點(diǎn).

圖2

（1）求的長；

（2）求cos<，>的值；

（3）證明：AB⊥CM.

分析：在解題時(shí)，我們可以利用向量知識(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，找到點(diǎn)的具體坐標(biāo)，并得出向量的坐標(biāo).在建立坐標(biāo)系之后，要能夠準(zhǔn)確找到點(diǎn)的具體坐標(biāo).我們可以先在底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)找到點(diǎn)A、B、C的具體坐標(biāo)，并利用向量的模和具體的方向，將其他點(diǎn)的具體坐標(biāo)找出來.

（1）解：如上圖2所示，我們以點(diǎn)C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

由題意可得：點(diǎn)B、N的坐標(biāo)分別為：B（0，1，0），N（1，0，1）.

∴可得||==.

（2）解：由題意可得點(diǎn)A，C，B的坐標(biāo)：A（1，0，2），C（0，0，0），B（0，1，2）.

∴=（1，-1，2），=（0，1，2）

·=1×0+（-1）×1+2×2=3

||==

∴||=

cos<>=

（3）證明：由題意可得C（0，0，2），M（，，2）

∴=（，，0），=（-1，1，-2）

∴·=（-1）×+1×+（-2）×0=0，

∴⊥

∴AB⊥CM.

3.利用向量知識(shí)解決立體幾何中的角度問題

例3：如下圖1所示，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

圖1

（1）求證：CC⊥BD.

（2）試求的值為多少的時(shí)候，A1C垂直于面CBD？

解析：這道題目考查的主要是立體集合中的垂直和夾角等問題，培養(yǎng)學(xué)生解讀幾何圖形的能力.通過分析題意，我們選擇利用向量知識(shí)，實(shí)現(xiàn)線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化.我們可以利用a⊥ba·b=0，即互相垂直的兩條直線的向量的數(shù)量積為零，證明兩條直線的垂直關(guān)系.

解答：

（1）證明：設(shè)=a，=b，=c.則由題意可得|a|=|b|.

設(shè)、、兩兩所成夾角均為θ，可得=-=a-b，

即·=c（a-b）=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|cosθ=0，

∴CC⊥BD.

（2）解：想要證明AC⊥面CBD，則需要證明AC⊥BD，AC⊥DC，

由·=（+）·（-）=（a+b+c）·（a-c）

=|a|+a·b-b·c-|c|=|a|-|c|+|b|·|a|cosθ-|b|·|c|·cosθ=0，

可得，當(dāng)|a|=|c|時(shí)，AC⊥DC.

同理可得，當(dāng)|a|=|c|時(shí)，AC⊥BD，

∴當(dāng)=1時(shí)，AC⊥面CBD.

三、結(jié)語

作為一種重要的高中數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想是高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容.深入領(lǐng)會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸思想，并掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用方法等，對(duì)提高高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率和質(zhì)量是大有裨益的.在高考復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生深刻領(lǐng)悟并掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，最大限度地提高高考復(fù)習(xí)效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]王陳勇，陳智猛.化歸與轉(zhuǎn)化思想視角下幾何問題的變式與探究[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2012，（3）：4-6.

[2]王曉萍.淺談化歸思想在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用[J].新課程學(xué)習(xí)·中旬，2013，（7）：102-102.

[3]武紹芳.例談轉(zhuǎn)化與化歸在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用[J].理科考試研究（高中版），2013，（4）：11-12.endprint

摘 要： 高中數(shù)學(xué)的許多問題都可以利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決.高考十分注重對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決問題占了較大的比重，成了歷年高考數(shù)學(xué)考試的重點(diǎn)之一.通過對(duì)高考復(fù)習(xí)轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體應(yīng)用進(jìn)行分析，可以進(jìn)一步提高學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想重要性的認(rèn)識(shí)，提高應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決各種數(shù)學(xué)問題的能力.本文以立體幾何為例，探討轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考復(fù)習(xí)中的應(yīng)用.

關(guān)鍵字： 轉(zhuǎn)化與化歸 高考復(fù)習(xí) 立體幾何

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常遇到一些問題直接求解較為困難，需將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問題通過對(duì)新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的.這種解決問題的方法用到的便是轉(zhuǎn)化與化歸思想.在轉(zhuǎn)化與化歸思想模式下，利用某種手段或方法將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解決問題的目的.在高考復(fù)習(xí)過程中，轉(zhuǎn)化與化歸是一個(gè)重要的考點(diǎn)，因此，對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用的復(fù)習(xí)是一個(gè)十分重要的內(nèi)容.本文以立體幾何為例，分析高考復(fù)習(xí)中轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的應(yīng)用問題.

一、高考復(fù)習(xí)中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的指導(dǎo)原則

高考對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查范圍較廣，涉及各方面數(shù)學(xué)問題和知識(shí).首先，數(shù)形轉(zhuǎn)化問題，例如函數(shù)單調(diào)性和解析幾何中斜率問題等.其次，常量和變量之間的轉(zhuǎn)化問題，例如求范圍和分離變量等.最后，關(guān)于數(shù)學(xué)各分支的轉(zhuǎn)化問題，例如向量和解析幾何等的轉(zhuǎn)化，以及函數(shù)與立體幾何的轉(zhuǎn)化等.另外，還包括將各種實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的情況.其中在立體幾何中轉(zhuǎn)化與思想貫穿于解題的全過程，是立體幾何問題的基本思想和方法，在高考復(fù)習(xí)立體幾何中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想時(shí)，應(yīng)遵循以下指導(dǎo)原則，提高復(fù)習(xí)的實(shí)效性.

1.以學(xué)生為主體

在以往的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中，教師往往處于整個(gè)復(fù)習(xí)的主導(dǎo)地位，統(tǒng)領(lǐng)一切.學(xué)生只能機(jī)械地跟隨教師的安排展開復(fù)習(xí)，處于被動(dòng)狀態(tài).但是，高考對(duì)數(shù)學(xué)教育的要求使得高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中要注意以人為本，保證學(xué)生處于主體地位，具有較高的自主性.因此，在具體的復(fù)習(xí)過程中，教師要注意轉(zhuǎn)變自身角色，扮演好引導(dǎo)者的角色，幫助學(xué)生自主復(fù)習(xí).并積極采取有效措施，調(diào)動(dòng)學(xué)生的復(fù)習(xí)積極性，增強(qiáng)復(fù)習(xí)效果.

2.以大綱為指導(dǎo)

在復(fù)習(xí)過程中，一定要注意緊密圍繞考試大綱的具體要求，以考試大綱為指導(dǎo).教師要注意帶領(lǐng)學(xué)生一起深入分析研究最新的考試大綱的具體內(nèi)容和要求，并回顧往年的考試大綱，找出區(qū)別，做到對(duì)考試內(nèi)容和考點(diǎn)心中有數(shù).同時(shí)，教師還要注意做好歸納總結(jié)工作，將考試大綱對(duì)不同數(shù)學(xué)知識(shí)的要求進(jìn)行總結(jié)，并帶領(lǐng)學(xué)生一起圍繞考綱展開復(fù)習(xí).

3.注重能力培養(yǎng)

高考十分注重對(duì)學(xué)生能力的考查，培養(yǎng)學(xué)生能力是高考教學(xué)復(fù)習(xí)的主要目的之一.因此，在復(fù)習(xí)過程中，要注意使學(xué)生獲得各種利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決數(shù)學(xué)問題的能力，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好應(yīng)用基礎(chǔ).

二、高考復(fù)習(xí)立體幾何中轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用

在解決各種高中立體幾何問題時(shí)，可以利用轉(zhuǎn)化和化歸思想，將抽象的空間問題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，變?yōu)榫唧w的實(shí)數(shù)運(yùn)算.從而降低運(yùn)算難度，簡化運(yùn)算過程，提高解題效率.在具體應(yīng)用向量知識(shí)解決立體幾何問題時(shí)，首先要考慮需要用什么向量知識(shí)進(jìn)行解題，具體需要用的向量有哪些.然后根據(jù)題意分析所需要的向量是否已知，則可利用已知條件轉(zhuǎn)化成具體的向量.如果需要的向量不能直接轉(zhuǎn)化，則要考慮選擇用哪個(gè)未知向量進(jìn)行表示，難度如何.在所需向量表示出來之后，便要分析怎樣對(duì)其進(jìn)行具體運(yùn)算，以得到需要的結(jié)果和結(jié)論.

1.利用向量知識(shí)論證立體幾何中的線面關(guān)系問題

例1：已知m、n是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（ ）

A.若m//α，n//α，則m//n B.若α⊥γ，β⊥γ，則α//β

C.若m//α，m//β，則α//β D.若m⊥α，n⊥α，則m//n

解析：根據(jù)向量中空間線與線，線與面的平行、垂直的相關(guān)知識(shí)，可以得出如果m⊥α，n⊥α，則m//n，即選項(xiàng)D為正確答案.

2.運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立空間直角坐標(biāo)系

例2：如圖2，直三棱柱ABC—ABC，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA=2，M、N分別是AB、AA的中點(diǎn).

圖2

（1）求的長；

（2）求cos<，>的值；

（3）證明：AB⊥CM.

分析：在解題時(shí)，我們可以利用向量知識(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，找到點(diǎn)的具體坐標(biāo)，并得出向量的坐標(biāo).在建立坐標(biāo)系之后，要能夠準(zhǔn)確找到點(diǎn)的具體坐標(biāo).我們可以先在底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)找到點(diǎn)A、B、C的具體坐標(biāo)，并利用向量的模和具體的方向，將其他點(diǎn)的具體坐標(biāo)找出來.

（1）解：如上圖2所示，我們以點(diǎn)C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

由題意可得：點(diǎn)B、N的坐標(biāo)分別為：B（0，1，0），N（1，0，1）.

∴可得||==.

（2）解：由題意可得點(diǎn)A，C，B的坐標(biāo)：A（1，0，2），C（0，0，0），B（0，1，2）.

∴=（1，-1，2），=（0，1，2）

·=1×0+（-1）×1+2×2=3

||==

∴||=

cos<>=

（3）證明：由題意可得C（0，0，2），M（，，2）

∴=（，，0），=（-1，1，-2）

∴·=（-1）×+1×+（-2）×0=0，

∴⊥

∴AB⊥CM.

3.利用向量知識(shí)解決立體幾何中的角度問題

例3：如下圖1所示，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

圖1

（1）求證：CC⊥BD.

（2）試求的值為多少的時(shí)候，A1C垂直于面CBD？

解析：這道題目考查的主要是立體集合中的垂直和夾角等問題，培養(yǎng)學(xué)生解讀幾何圖形的能力.通過分析題意，我們選擇利用向量知識(shí)，實(shí)現(xiàn)線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化.我們可以利用a⊥ba·b=0，即互相垂直的兩條直線的向量的數(shù)量積為零，證明兩條直線的垂直關(guān)系.

解答：

（1）證明：設(shè)=a，=b，=c.則由題意可得|a|=|b|.

設(shè)、、兩兩所成夾角均為θ，可得=-=a-b，

即·=c（a-b）=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|cosθ=0，

∴CC⊥BD.

（2）解：想要證明AC⊥面CBD，則需要證明AC⊥BD，AC⊥DC，

由·=（+）·（-）=（a+b+c）·（a-c）

=|a|+a·b-b·c-|c|=|a|-|c|+|b|·|a|cosθ-|b|·|c|·cosθ=0，

可得，當(dāng)|a|=|c|時(shí)，AC⊥DC.

同理可得，當(dāng)|a|=|c|時(shí)，AC⊥BD，

∴當(dāng)=1時(shí)，AC⊥面CBD.

三、結(jié)語

作為一種重要的高中數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想是高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容.深入領(lǐng)會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸思想，并掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用方法等，對(duì)提高高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率和質(zhì)量是大有裨益的.在高考復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生深刻領(lǐng)悟并掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，最大限度地提高高考復(fù)習(xí)效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]王陳勇，陳智猛.化歸與轉(zhuǎn)化思想視角下幾何問題的變式與探究[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2012，（3）：4-6.

[2]王曉萍.淺談化歸思想在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用[J].新課程學(xué)習(xí)·中旬，2013，（7）：102-102.

[3]武紹芳.例談轉(zhuǎn)化與化歸在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用[J].理科考試研究（高中版），2013，（4）：11-12.endprint

摘 要： 高中數(shù)學(xué)的許多問題都可以利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決.高考十分注重對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決問題占了較大的比重，成了歷年高考數(shù)學(xué)考試的重點(diǎn)之一.通過對(duì)高考復(fù)習(xí)轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體應(yīng)用進(jìn)行分析，可以進(jìn)一步提高學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想重要性的認(rèn)識(shí)，提高應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決各種數(shù)學(xué)問題的能力.本文以立體幾何為例，探討轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考復(fù)習(xí)中的應(yīng)用.

關(guān)鍵字： 轉(zhuǎn)化與化歸 高考復(fù)習(xí) 立體幾何

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常遇到一些問題直接求解較為困難，需將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問題通過對(duì)新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的.這種解決問題的方法用到的便是轉(zhuǎn)化與化歸思想.在轉(zhuǎn)化與化歸思想模式下，利用某種手段或方法將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解決問題的目的.在高考復(fù)習(xí)過程中，轉(zhuǎn)化與化歸是一個(gè)重要的考點(diǎn)，因此，對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用的復(fù)習(xí)是一個(gè)十分重要的內(nèi)容.本文以立體幾何為例，分析高考復(fù)習(xí)中轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的應(yīng)用問題.

一、高考復(fù)習(xí)中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的指導(dǎo)原則

高考對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查范圍較廣，涉及各方面數(shù)學(xué)問題和知識(shí).首先，數(shù)形轉(zhuǎn)化問題，例如函數(shù)單調(diào)性和解析幾何中斜率問題等.其次，常量和變量之間的轉(zhuǎn)化問題，例如求范圍和分離變量等.最后，關(guān)于數(shù)學(xué)各分支的轉(zhuǎn)化問題，例如向量和解析幾何等的轉(zhuǎn)化，以及函數(shù)與立體幾何的轉(zhuǎn)化等.另外，還包括將各種實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的情況.其中在立體幾何中轉(zhuǎn)化與思想貫穿于解題的全過程，是立體幾何問題的基本思想和方法，在高考復(fù)習(xí)立體幾何中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想時(shí)，應(yīng)遵循以下指導(dǎo)原則，提高復(fù)習(xí)的實(shí)效性.

1.以學(xué)生為主體

在以往的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中，教師往往處于整個(gè)復(fù)習(xí)的主導(dǎo)地位，統(tǒng)領(lǐng)一切.學(xué)生只能機(jī)械地跟隨教師的安排展開復(fù)習(xí)，處于被動(dòng)狀態(tài).但是，高考對(duì)數(shù)學(xué)教育的要求使得高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中要注意以人為本，保證學(xué)生處于主體地位，具有較高的自主性.因此，在具體的復(fù)習(xí)過程中，教師要注意轉(zhuǎn)變自身角色，扮演好引導(dǎo)者的角色，幫助學(xué)生自主復(fù)習(xí).并積極采取有效措施，調(diào)動(dòng)學(xué)生的復(fù)習(xí)積極性，增強(qiáng)復(fù)習(xí)效果.

2.以大綱為指導(dǎo)

在復(fù)習(xí)過程中，一定要注意緊密圍繞考試大綱的具體要求，以考試大綱為指導(dǎo).教師要注意帶領(lǐng)學(xué)生一起深入分析研究最新的考試大綱的具體內(nèi)容和要求，并回顧往年的考試大綱，找出區(qū)別，做到對(duì)考試內(nèi)容和考點(diǎn)心中有數(shù).同時(shí)，教師還要注意做好歸納總結(jié)工作，將考試大綱對(duì)不同數(shù)學(xué)知識(shí)的要求進(jìn)行總結(jié)，并帶領(lǐng)學(xué)生一起圍繞考綱展開復(fù)習(xí).

3.注重能力培養(yǎng)

高考十分注重對(duì)學(xué)生能力的考查，培養(yǎng)學(xué)生能力是高考教學(xué)復(fù)習(xí)的主要目的之一.因此，在復(fù)習(xí)過程中，要注意使學(xué)生獲得各種利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決數(shù)學(xué)問題的能力，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好應(yīng)用基礎(chǔ).

二、高考復(fù)習(xí)立體幾何中轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用

在解決各種高中立體幾何問題時(shí)，可以利用轉(zhuǎn)化和化歸思想，將抽象的空間問題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，變?yōu)榫唧w的實(shí)數(shù)運(yùn)算.從而降低運(yùn)算難度，簡化運(yùn)算過程，提高解題效率.在具體應(yīng)用向量知識(shí)解決立體幾何問題時(shí)，首先要考慮需要用什么向量知識(shí)進(jìn)行解題，具體需要用的向量有哪些.然后根據(jù)題意分析所需要的向量是否已知，則可利用已知條件轉(zhuǎn)化成具體的向量.如果需要的向量不能直接轉(zhuǎn)化，則要考慮選擇用哪個(gè)未知向量進(jìn)行表示，難度如何.在所需向量表示出來之后，便要分析怎樣對(duì)其進(jìn)行具體運(yùn)算，以得到需要的結(jié)果和結(jié)論.

1.利用向量知識(shí)論證立體幾何中的線面關(guān)系問題

例1：已知m、n是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（ ）

A.若m//α，n//α，則m//n B.若α⊥γ，β⊥γ，則α//β

C.若m//α，m//β，則α//β D.若m⊥α，n⊥α，則m//n

解析：根據(jù)向量中空間線與線，線與面的平行、垂直的相關(guān)知識(shí)，可以得出如果m⊥α，n⊥α，則m//n，即選項(xiàng)D為正確答案.

2.運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立空間直角坐標(biāo)系

例2：如圖2，直三棱柱ABC—ABC，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA=2，M、N分別是AB、AA的中點(diǎn).

圖2

（1）求的長；

（2）求cos<，>的值；

（3）證明：AB⊥CM.

分析：在解題時(shí)，我們可以利用向量知識(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，找到點(diǎn)的具體坐標(biāo)，并得出向量的坐標(biāo).在建立坐標(biāo)系之后，要能夠準(zhǔn)確找到點(diǎn)的具體坐標(biāo).我們可以先在底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)找到點(diǎn)A、B、C的具體坐標(biāo)，并利用向量的模和具體的方向，將其他點(diǎn)的具體坐標(biāo)找出來.

（1）解：如上圖2所示，我們以點(diǎn)C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

由題意可得：點(diǎn)B、N的坐標(biāo)分別為：B（0，1，0），N（1，0，1）.

∴可得||==.

（2）解：由題意可得點(diǎn)A，C，B的坐標(biāo)：A（1，0，2），C（0，0，0），B（0，1，2）.

∴=（1，-1，2），=（0，1，2）

·=1×0+（-1）×1+2×2=3

||==

∴||=

cos<>=

（3）證明：由題意可得C（0，0，2），M（，，2）

∴=（，，0），=（-1，1，-2）

∴·=（-1）×+1×+（-2）×0=0，

∴⊥

∴AB⊥CM.

3.利用向量知識(shí)解決立體幾何中的角度問題

例3：如下圖1所示，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

圖1

（1）求證：CC⊥BD.

（2）試求的值為多少的時(shí)候，A1C垂直于面CBD？

解析：這道題目考查的主要是立體集合中的垂直和夾角等問題，培養(yǎng)學(xué)生解讀幾何圖形的能力.通過分析題意，我們選擇利用向量知識(shí)，實(shí)現(xiàn)線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化.我們可以利用a⊥ba·b=0，即互相垂直的兩條直線的向量的數(shù)量積為零，證明兩條直線的垂直關(guān)系.

解答：

（1）證明：設(shè)=a，=b，=c.則由題意可得|a|=|b|.

設(shè)、、兩兩所成夾角均為θ，可得=-=a-b，

即·=c（a-b）=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|cosθ=0，

∴CC⊥BD.

（2）解：想要證明AC⊥面CBD，則需要證明AC⊥BD，AC⊥DC，

由·=（+）·（-）=（a+b+c）·（a-c）

=|a|+a·b-b·c-|c|=|a|-|c|+|b|·|a|cosθ-|b|·|c|·cosθ=0，

可得，當(dāng)|a|=|c|時(shí)，AC⊥DC.

同理可得，當(dāng)|a|=|c|時(shí)，AC⊥BD，

∴當(dāng)=1時(shí)，AC⊥面CBD.

三、結(jié)語

作為一種重要的高中數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想是高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容.深入領(lǐng)會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸思想，并掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用方法等，對(duì)提高高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率和質(zhì)量是大有裨益的.在高考復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生深刻領(lǐng)悟并掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，最大限度地提高高考復(fù)習(xí)效率.

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