例談初中數(shù)學(xué)定理教學(xué)

趙華云

數(shù)學(xué)定理是經(jīng)過數(shù)學(xué)證明確認(rèn)其真實(shí)性的命題。數(shù)學(xué)定理是數(shù)學(xué)的靈魂，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的航標(biāo)。初中階段是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定理的起始階段，數(shù)學(xué)定理是初中數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新意識(shí)的重要途徑，學(xué)生只有系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)定理，才能不斷提高數(shù)學(xué)基本能力，順利解答有關(guān)數(shù)學(xué)問題。

1.了解定理的由來，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理

現(xiàn)代教育理論認(rèn)為，教師在課堂教學(xué)中的任務(wù)是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，恰當(dāng)?shù)亟M織和引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，使學(xué)生能夠自主獲得知識(shí)，并促進(jìn)智能的發(fā)展。

了解定理的由來，不僅有助于學(xué)生理解和記憶定理的具體內(nèi)容，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力。數(shù)學(xué)定理是從現(xiàn)實(shí)世界的空間形式或數(shù)量關(guān)系中抽象出來的。要使學(xué)生了解定理的由來，通常可采用兩種方法：一是通過對(duì)具體事物的觀察、測(cè)量、計(jì)算、作圖等實(shí)踐活動(dòng)去猜想；二是通過一定的推理來發(fā)現(xiàn)。

例如，學(xué)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)定理時(shí)，讓學(xué)生觀察手中準(zhǔn)備好的平行四邊形的邊、角和對(duì)角線，通過測(cè)量、計(jì)算、旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)折等方法，記錄下有關(guān)數(shù)據(jù)驗(yàn)證猜想：平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分。又如學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和定理時(shí)，可以用硬紙做一個(gè)三角形，把它的三個(gè)內(nèi)角剪開后拼在一起，看看能否拼成一個(gè)平角；或者用量角器度量出三角形的內(nèi)角，算算三個(gè)內(nèi)角的和是否等于180°，從而發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理所做的判斷。

2.明確定理的題設(shè)（條件）和結(jié)論

認(rèn)識(shí)定理的結(jié)構(gòu)是證明定理的基本出發(fā)點(diǎn)，它的主要任務(wù)是幫助學(xué)生分析定理的條件和結(jié)論，發(fā)掘定理所涉及的概念的特征或圖形的性質(zhì)，利用有關(guān)數(shù)學(xué)符號(hào)，把已知和求證確切而簡(jiǎn)練地表達(dá)出來。

正確書寫證明過程的前提是學(xué)會(huì)用符號(hào)語言書寫幾何定理，因?yàn)閹缀味ɡ淼姆?hào)語言是證明過程中的基本單位，可采用“一劃、二畫、三寫”的步驟，讓學(xué)生盡快熟悉每一個(gè)定理的題設(shè)和結(jié)論。

例如，角平分線的性質(zhì)定理：“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等?！?/p>

一劃：就是劃出定理的題設(shè)和結(jié)論。用直線劃題設(shè)，用波浪線劃結(jié)論。

題設(shè)是“角平分線上的點(diǎn)”，結(jié)論是“點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”。定理中所說的角平分線上的點(diǎn)，是指角的平分線上的“一切點(diǎn)”或“任一點(diǎn)”。所以這一定理實(shí)質(zhì)上就是：“角的平分線上的任一點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊的距離相等?！庇眉傺悦}來表述，就是：“如果一點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上，那么這點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等?！?/p>

二畫：根據(jù)定理的題設(shè)（條件）和結(jié)論，畫出所對(duì)應(yīng)的基本圖形。

圖1

這里，題設(shè)和結(jié)論都包含需要進(jìn)一步明確的概念：“角的平分線”、“點(diǎn)到直線的距離”，只有把這兩個(gè)概念具體化，才能用數(shù)學(xué)符號(hào)表述命題的已知和求證。

三寫：根據(jù)定理內(nèi)容及所畫基本圖形，用符號(hào)語言表達(dá)定理的已知和求證。

已知：如圖1所示，∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P是OC上的一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，求證：PD=PE。

這樣，學(xué)生就不難理解定理的本質(zhì)，也容易發(fā)現(xiàn)證明定理的方法。

3.研究證明的方法、途徑

定理的證明是定理學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，通過證明可以幫助學(xué)生弄清事物間的本質(zhì)聯(lián)系，加深對(duì)數(shù)學(xué)定理的理解，不僅知其然，而且知其所以然，便于記憶和應(yīng)用。教材給出的定理的證明方法，一般都具有一定的代表性。掌握這些證明方法，有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維，使學(xué)生逐步養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厮伎紗栴}的習(xí)慣，提高分析和解決問題的能力。

學(xué)習(xí)定理的證明，應(yīng)使學(xué)生明確證明結(jié)構(gòu)，掌握常用的各種證明方法，在證明過程中遵守證明的規(guī)則。為此，必須加強(qiáng)分析，把分析法和結(jié)合法結(jié)合起來使用。對(duì)于結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的定理，可以先以分析法為主尋求證明思路，分析證明方法的來龍去脈；然后用綜合法表述證明過程，把整個(gè)證明連貫地、完整地?cái)⑹龀鰜恚⒁鈺鴮懙母袷胶兔恳徊酵评淼囊罁?jù)。

4.加強(qiáng)定理的應(yīng)用

學(xué)生掌握定理是有一個(gè)過程的，一般是先懂—再會(huì)—后熟。應(yīng)用所學(xué)定理解答有關(guān)的實(shí)際問題，實(shí)現(xiàn)這一過程的重要環(huán)節(jié)，可以結(jié)合例題和習(xí)題，通過動(dòng)筆、動(dòng)口、動(dòng)腦，自己總結(jié)定理的使用范圍，明確應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng)，把握所解決的問題的基本類型。

例如，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，常用以解答以下各類基本問題：（1）求解含有參數(shù)的一元二次方程；（2）不解方程，求一元二次方程的兩根的齊次式的值；（3）求作一元二次方程，使它的根分別是已知數(shù)x■和x■；（4）已知兩數(shù)的和與積，求此兩數(shù)；（5）不解方程，判斷一元二次方程的根的符號(hào)；（6）已知含參數(shù)的一元二次方程兩根所滿足的條件，求參數(shù)間的關(guān)系。通過這樣的總結(jié)，可以全面把握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，了解它所解答的數(shù)學(xué)題的特點(diǎn)，從尋求解題依據(jù)的角度提高解題能力。

5.系統(tǒng)地整理定理

弄清各個(gè)定理在數(shù)學(xué)體系中的地位、作用，以及定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以從總體上把握數(shù)學(xué)定理的全貌。了解每個(gè)定理在知識(shí)體系中的來龍去脈；在總結(jié)復(fù)習(xí)時(shí)，可運(yùn)用圖示、表解等方法，把學(xué)過的定理進(jìn)行系統(tǒng)整理。

例如，點(diǎn)和圓、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系，復(fù)習(xí)時(shí)可以整理成下表，溝通定理間的內(nèi)在聯(lián)系。

表中R、r表示圓的半徑；d在點(diǎn)和圓的位置關(guān)系中表示圓心到點(diǎn)的距離，在直線和圓的位置關(guān)系中表示圓心到直線的距離，在圓和圓的位置關(guān)系中表示兩圓心間的距離。

數(shù)學(xué)中的定理是揭露和反映數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性間的聯(lián)系的一種重要形式。學(xué)生要積極參與定理的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)的過程，不斷在數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下，弄清每一個(gè)題設(shè)、結(jié)論的因果關(guān)系，親身體驗(yàn)到創(chuàng)造性思維活動(dòng)中所經(jīng)歷和應(yīng)用到的數(shù)學(xué)思想和方法。在學(xué)習(xí)定理時(shí)，避免死記硬背、生搬硬套，要做到“活學(xué)活用”，靈活巧妙地應(yīng)用定理，提高實(shí)際應(yīng)用能力。