分形上的拓?fù)浼捌湫再|(zhì)

龍倫海，何 勇，梁 莉

(海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南?？?70228)

首先給出了一些基本拓?fù)渲R(shí)［1］和一些基本分形概念［2］，然后對(duì)實(shí)數(shù)集中一個(gè)給定的s-緊集E，利用其本身的離散結(jié)構(gòu)和s-維Hausdorff測度分別給出了E上的2種拓?fù)涞臉?gòu)造，分別稱為L-拓?fù)浜虷s-拓?fù)?，并研究了在E上賦于2種拓?fù)湫纬傻耐負(fù)淇臻g的關(guān)系及其性質(zhì)，最后給出了E上的實(shí)值函數(shù)在2種拓?fù)湎聻檫B續(xù)函數(shù)所需滿足的充分必要條件.本文的主要目的是在第二種拓?fù)湎?，為進(jìn)一步研究E上的實(shí)函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階積分建立理論基礎(chǔ)［3－6］.

1 相關(guān)基本知識(shí)

設(shè)X是一個(gè)非空集合，T是X的子集作為元素構(gòu)成的集合系，二元空間(X，T)稱為是一個(gè)拓?fù)淇臻g當(dāng)且僅當(dāng)T包含空集φ和X，且對(duì)任意并和有限交保持封閉性，T稱為X上的一個(gè)拓?fù)?，T中的元稱為開集.如實(shí)數(shù)集R上的歐氏距離產(chǎn)生的所有開集構(gòu)成的T就是R的一個(gè)拓?fù)洌Q為歐氏拓?fù)?如果X上的2個(gè)拓?fù)銼和T滿足S?T，則稱S粗于T或者T比S更細(xì)，顯然最粗的拓?fù)涫莧φ，X}，而最細(xì)的拓?fù)涫荴的所有子集構(gòu)成的集合系.

設(shè)(X，T)是一拓?fù)淇臻g.若Y是X的非空子集，令S={Y∩V/VT}，則稱(Y，S)是(X，T)的拓?fù)渥涌臻g.若R是X中元素之間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，且其等價(jià)類構(gòu)成的集合X/R上的集合系TR={V/π－1(V)T}形成一個(gè)拓?fù)洌渲笑惺菑腦到X/R的自然映射，即π(x)為x所屬的等價(jià)類，則稱(X/R，TR)是(X，T)的關(guān)于等價(jià)關(guān)系R的商拓?fù)淇臻g.

設(shè)(X，T)是一拓?fù)淇臻g，若X不能分解為2個(gè)非空開集的并，則稱X是連通的;若X的任意開覆蓋都存在有限的子覆蓋，則稱X是緊的.對(duì)x X和V T滿足x V，則稱V是x的一個(gè)開鄰域，若X中的任意2個(gè)不同點(diǎn)存在不交的開鄰域，則稱X是Hausdorff分離空間.

設(shè)f是從拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻gY的一個(gè)映射，點(diǎn)x X滿足f(x)的任意開鄰域V，都存在x的一個(gè)開鄰域U，有f(U)?V，則稱f在點(diǎn)x處連續(xù);若f在X的每個(gè)點(diǎn)處都連續(xù)，則稱f是連續(xù)映射.連續(xù)映射一定將連通集映射成連通集，將緊集映射成緊集.

對(duì)于任意給定的集合E?Rn，存在唯一的s使得當(dāng)t＜s時(shí)有Ht(E)=+∞，當(dāng)t＞s時(shí)有Ht(E)=0，稱s為E的Hausdorff維數(shù)，記為dimHE.

若s為E的Hausdorff維數(shù)，且0＜Hs(E)＜+∞，則稱E為s-集，Hs(E)為E的Hausdorff測度.

2 s-緊集上的L-拓?fù)浜虷s-拓?fù)?/h2>

設(shè)E是實(shí)數(shù)集R中的一個(gè)Hausdorff維數(shù)為s的s-緊集，為了避免平凡性，不妨假設(shè)0＜s＜1.取T是實(shí)數(shù)集R上的歐氏拓?fù)洌琒為T在E上誘導(dǎo)的子拓?fù)?，即S={E∩V/V T}，使(E，S)成為(R，T)的拓?fù)渥涌臻g，顯然(E，S)是完全不連通的Hausdorff分離空間，即T中沒有任何一個(gè)非空開集屬于S.由此給出E上的另外2種逐步加粗的拓?fù)涞亩x，分別稱為L-拓?fù)浜虷s－拓?fù)洌沟肊變成連通的緊空間.首先利用空間(E，S)本身的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)E中的點(diǎn)作如下分類

定義1 (1)稱E中的最小點(diǎn)為E的左端點(diǎn)，最大點(diǎn)為E的右端點(diǎn);

(2)如果E中的一個(gè)點(diǎn)x0滿足{x0}S，則稱該點(diǎn)為E的一個(gè)孤立點(diǎn);

(3)對(duì)E中的一個(gè)點(diǎn)x0，若存在x0的一個(gè)開鄰域V0S使得x0是V0中的最小點(diǎn)和x0不是其任意開鄰域V的最大點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為E的一個(gè)右內(nèi)端點(diǎn);同樣可定義E的左內(nèi)端點(diǎn);

(4)如果E中的一個(gè)點(diǎn)x0滿足既不是E的左內(nèi)端點(diǎn)，又不是E的右內(nèi)端點(diǎn)，也不是E的孤立點(diǎn)，則稱該點(diǎn)是E的一個(gè)內(nèi)點(diǎn).

由定義E的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)x0的任意開鄰域V在x0的左右兩邊都包含有異于x0的點(diǎn)，E的所有內(nèi)點(diǎn)組成的集合用N1(E)表示.

根據(jù)此分類法，E的左端點(diǎn)可能是孤立點(diǎn)，也可能是右內(nèi)端點(diǎn)，同樣右端點(diǎn)可能是孤立點(diǎn)，也可能是左內(nèi)端點(diǎn)，除此之外的點(diǎn)只能是孤立點(diǎn)、左內(nèi)端點(diǎn)、右內(nèi)端點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn)之一.設(shè)x0是E的一個(gè)左內(nèi)端點(diǎn)，根據(jù)定義E中的任何一個(gè)點(diǎn)x只能從x0的左邊無限逼近于x0，若x0是右內(nèi)端點(diǎn)，則x只能從x0的右邊無限逼近于x0，而當(dāng)x0是內(nèi)點(diǎn)時(shí)，x就可以在E內(nèi)從x0的兩邊無限趨近于x0.注意到若嚴(yán)格按照拓?fù)鋵W(xué)的定義，把E看成是R的拓?fù)渥蛹珽內(nèi)無任何內(nèi)點(diǎn)存在，因此這里定義的內(nèi)點(diǎn)相對(duì)來說條件要弱一些，而只是聚點(diǎn)的一種.

在E中定義如下等價(jià)關(guān)系R1∶E中的任意2點(diǎn)x1，x2(不妨假設(shè)x1≤x2)在關(guān)系R1下等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)交集(x1，x2)∩N1(E)=φ，記為 x1R1x2.任取x E，記x*={y E/yR1x}為x在關(guān)系R1下的等價(jià)類.顯然當(dāng)x是E的內(nèi)點(diǎn)時(shí)，x*只包含唯一的x;當(dāng)x是E的左內(nèi)端點(diǎn)時(shí)，x是x*中的最小點(diǎn);當(dāng)x是E的右內(nèi)端點(diǎn)時(shí)，x是x*中的最大點(diǎn);當(dāng)x是E的孤立點(diǎn)時(shí)，x*中的點(diǎn)不只一個(gè)，其最大點(diǎn)或者是E的右端點(diǎn)或者是E的右內(nèi)端點(diǎn)，相應(yīng)的最小點(diǎn)可能是E的左內(nèi)端點(diǎn)，也可能是左端點(diǎn).

記(E/R1，SR1)是(E，S)關(guān)于等價(jià)關(guān)系R1的商拓?fù)淇臻g，π1是從E到E/R1的自然映射.令E上的集合系L={(V)/V SR1}，根據(jù)商拓?fù)淇臻g的定義，π1是連續(xù)映射，因此集合系L是E上的一個(gè)由R1確定的比S更粗的拓?fù)?

定義2 稱L是E上的L-拓?fù)洌Q(E，L)是E的L-拓?fù)淇臻g.

現(xiàn)利用E上的s-維Hausdorff測度來定義第二種拓?fù)?首先對(duì)E中的點(diǎn)作如下分類

定義3 (1)如果E中的一個(gè)點(diǎn)x0滿足存在該點(diǎn)的一個(gè)開鄰域V0S，使得V0與E的交集的s-維Hausdorff測度等于零，則稱該點(diǎn)為E的一個(gè)Hs-孤立點(diǎn);

(2)如果E中的一個(gè)點(diǎn)x0滿足:對(duì)x0的任意開鄰域V S有s-維Hausdorff測度Hs(V∩［x0+∞］)＞0，且存在使得該點(diǎn)的一個(gè)開鄰域V0S使得Hs(V∩［－∞，x0］)=0，則稱該點(diǎn)x0為E的一個(gè)Hs-右內(nèi)端點(diǎn);同樣可定義E的Hs-左內(nèi)端點(diǎn);

(3)如果E中的一個(gè)點(diǎn)既不是E的Hs-左內(nèi)端點(diǎn)，又不是E的Hs-右內(nèi)端點(diǎn)，也不是E的Hs-孤立點(diǎn)，則稱該點(diǎn)是E的一個(gè)Hs-內(nèi)點(diǎn).E的所有Hs-內(nèi)點(diǎn)組成的集合用N2(E)表示.

從定義可以看出，E的Hs-內(nèi)點(diǎn)的任何一個(gè)在(E，S)中的鄰域都分布有正的s-維Hausdorff測度，Hs-左內(nèi)端點(diǎn)只在其左邊有正的s-維Hausdorff測度，而Hs-孤立點(diǎn)兩邊的局部范圍內(nèi)無正的s-維Hausdorff測度分布.

在E中定義如下等價(jià)關(guān)系R2:E中的任意2點(diǎn)x1，x2(不妨假設(shè)x1≤x2)在關(guān)系R2下等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)s-維Hausdorff測度Hs(［x1，x2］∩N2(E))=0.任取x E，記x＊＊為x在關(guān)系R2下的等價(jià)類，顯然當(dāng)x是E的Hs-內(nèi)點(diǎn)時(shí)，x＊＊只包含唯一的x;當(dāng)x是E的Hs-左內(nèi)端點(diǎn)時(shí)，x是x＊＊中的最小點(diǎn);當(dāng)x是E的Hs-右內(nèi)端點(diǎn)時(shí)，x是x＊＊中的最大點(diǎn);當(dāng)x是E的Hs-孤立點(diǎn)時(shí)，x＊＊中的點(diǎn)不只一個(gè)，其最大點(diǎn)或者是右端點(diǎn)或者是Hs-右內(nèi)端點(diǎn)，相應(yīng)的最小點(diǎn)可能是Hs-左內(nèi)端點(diǎn)，也可能是左端點(diǎn).

記(E/R2，SR2)是(E，S)的一個(gè)商拓?fù)淇臻g，π2是從(E，S)到(E/R2，SR2)的自然映射.取E上的集合系H={(V)/VSR2}，根據(jù)商拓?fù)淇臻g的定義，π2是連續(xù)映射，因此集合系H是E上的一個(gè)由R2確定的比S更粗的拓?fù)?

定義4 稱H是E上的Hs-拓?fù)?，稱(E，H)是Hs-拓?fù)淇臻g.

例1 設(shè)E是閉區(qū)間［0，1］上的Cantor三分集，其Hausdorff維數(shù)s0=log23，Hausdorff測度Hs0(E)=1.

令S是E上的歐氏拓?fù)?，即由R中的所有開區(qū)間與E的交集生成的拓?fù)?即包含這些交集的保持有限交和可列并封閉的最小集合系).當(dāng)s＞s0，因Hs(E)=0，由定義3知E中的每個(gè)點(diǎn)都是Hs-孤立點(diǎn)，從而E上的Hs-拓?fù)銱={φ，E}是平凡的;當(dāng)0＜s≤s0時(shí)，如果按E是由［0，1］3等分，去掉中間的開區(qū)間，以此類推來生成的話，E中的點(diǎn)可以分成2類，其中一類是由各級(jí)區(qū)間的端點(diǎn)形成.由定義1和定義3知，E中的點(diǎn)如果是某級(jí)區(qū)間的左端點(diǎn)，則是定義1中的右內(nèi)端點(diǎn)和定義3中的Hs-右內(nèi)端點(diǎn)，同樣如果是某級(jí)區(qū)間的右端點(diǎn)，則是定義1中的左內(nèi)端點(diǎn)和定義3中的Hs-左內(nèi)端點(diǎn)，E中的其他點(diǎn)都是定義1中的內(nèi)點(diǎn)和定義3中的Hs-內(nèi)點(diǎn)，因此有E上的L-拓?fù)銵和Hs-拓?fù)銱是相等的，且是由所有R中的所有這樣的開區(qū)間V與E的交集生成的拓?fù)?，其中V一旦包含E的某個(gè)Hs-左內(nèi)端點(diǎn)，就一定包含其右邊相鄰的Hs-右內(nèi)端點(diǎn)，同樣V一旦包含E的某個(gè)Hs-右內(nèi)端點(diǎn)，就一定包含其左邊相鄰的Hs-左內(nèi)端點(diǎn).

3 L-拓?fù)浜虷s-拓?fù)涞男再|(zhì)

s-緊集E上的3種拓?fù)?，即歐氏拓?fù)銼、L-拓?fù)銵和Hs-拓?fù)銱的定義，3種拓?fù)渚哂腥缦玛P(guān)系

定理1 s-緊集E上的Hs-拓?fù)浯钟贚-拓?fù)?，L-拓?fù)溆执钟跉W氏拓?fù)銼，即有包含關(guān)系式H?L?S成立.

證明 E上的L-拓?fù)浯钟跉W氏拓?fù)銼是自然成立的，下面只需證明H?L即可.

一方面由定義1和定義3知，對(duì)任意x E，有x在R1下的等價(jià)類x*一定包含在R2下的等價(jià)類x＊＊中;另一方面由引理1得，對(duì)任意U H，有U S且對(duì)?x U，x＊＊?U成立.因此對(duì)任意的?x U，有x*?x＊＊?U成立，然后再利用一次引理1即得U L.證畢.

根據(jù)定義得出下述引理.

引理1 設(shè)U S，有U L當(dāng)且僅當(dāng)?x U有x*?U.同樣有U H且僅當(dāng)?x U，x＊＊?U.

由于E在歐氏拓?fù)銼下是非連通的緊集，在經(jīng)過對(duì)S相繼進(jìn)行加粗后形成的L-拓?fù)浜虷s-拓?fù)湎拢珽的連通性是否改變，有下述結(jié)論.

定理2 s-緊集E在L-拓?fù)浜虷s-拓?fù)湎滦纬蛇B通的緊集.

證明 由于對(duì)拓?fù)淇臻g的拓?fù)浣?jīng)過加粗之后保持緊性和連通性不變，因此緊拓?fù)淇臻g(E，S)在對(duì)拓?fù)湎嗬^加粗之后使得(E，L)和(E，H)仍為緊拓?fù)淇臻g.所以只需證明E在L-拓?fù)湎率沁B通的.

設(shè)a是E的左端點(diǎn)，U(a)是(E，L)中的包含a的連通分支(即包含a的最大連通開集)，下面用反證法證明U(a)=E，從而得到(E，L)是連通的.

若存在x0屬于E而不屬于U(a).首先由U(a)的連通性有?xU(a)，x＜x0，否則U(a)可表示成L中2個(gè)非空開集{x U(a)/x＜x0，x}和{x U(a)/x＞x0，x}的不交并，即與U(a)是連通的相矛盾;其次由于E緊集，U(a)中的最大點(diǎn)x1存在，由定義1知x1一定不是E的一內(nèi)點(diǎn)，也不是E的一右內(nèi)端點(diǎn)，否則x1在(E，S)中的任意開鄰域都包含大于x1的點(diǎn)，即x1的右邊一定存在異于x1的點(diǎn)屬于U(a)，當(dāng)x1是E一個(gè)孤立點(diǎn)或左內(nèi)端點(diǎn)時(shí)，則在x1的右邊一定存在最小的點(diǎn)x2使得(x1，x2)∩E=φ，即有x1R1x2.由引理1得x2U(a)，與x1為U(a)中的最大點(diǎn)矛盾.證畢.

s-緊集E在歐氏拓?fù)湎率遣贿B通的Hausdorff分離空間，上述定理表明在E上對(duì)歐氏拓?fù)銼進(jìn)行加粗之后連通性變好了，但分離性又變差了，有下述性質(zhì).

定理3 s-緊集E在L-拓?fù)浜虷s-拓?fù)湎虏皇?Hausdorff分離空間.

證明 由于非Hausdorff分離空間的拓?fù)浣?jīng)過加粗之后，其分離性更弱，所以只需證明(E，L)不是Hausdorff空間即可.事實(shí)上當(dāng)0＜s＜時(shí)，s-緊集E中一定存在無窮多個(gè)內(nèi)端點(diǎn)(包括左內(nèi)端點(diǎn)和右內(nèi)端點(diǎn))，E就是所有內(nèi)端點(diǎn)和孤立點(diǎn)形成的子集在R中的閉包，并且除了端點(diǎn)之外的內(nèi)端點(diǎn)在關(guān)系R1下的等價(jià)類中至少包含E的相鄰2個(gè)點(diǎn)，這2個(gè)點(diǎn)只能同時(shí)屬于或者同時(shí)不屬于L的任何一個(gè)開集中，因此這2個(gè)點(diǎn)不能通過L中的開集分離開來，因此(E，L)不是Hausdorff分離空間.證畢.

4 s-緊集上函數(shù)在L-拓?fù)浜虷s-拓?fù)湎碌倪B續(xù)性

設(shè)fE(x)是一個(gè)從s-緊集E到歐氏空間(R，T)的實(shí)函數(shù)，有下述結(jié)論.

定理4 (1)如果在E上賦于L-拓?fù)?，那么fE(x)是連續(xù)函數(shù)的充分必要條件是:對(duì)任意的x E，fE(x)在x*上為常值函數(shù)，并且fE(x)在定義1中所定義的左內(nèi)端點(diǎn)、右內(nèi)端點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn)(即拓?fù)淇臻g(E，S)中的所有極限點(diǎn))處的極限值與該點(diǎn)的函數(shù)值相等;

(2)如果在E上賦于Hs-拓?fù)?，那么fE(x)是連續(xù)函數(shù)的充分必要條件是:對(duì)任意的x E，fE(x)在x＊＊上為常值函數(shù)，并且fE(x)在定義3中所定義的所有Hs-左內(nèi)端點(diǎn)、Hs-右內(nèi)端點(diǎn)和Hs-內(nèi)點(diǎn)處的極限值與該點(diǎn)的函數(shù)值相等.

證明 只證明定理4中的條件(1)成立，條件(2)的證明完全類似.

必要性 一方面若fE(x)是從空間(E，L)到(R，T)的連續(xù)實(shí)函數(shù)，則fE(x)也是從空間(E，S)到(R，T)的連續(xù)實(shí)函數(shù)，因此函數(shù)fE(x)在空間(E，S)中的每一個(gè)極限點(diǎn)處的極限值等于在該點(diǎn)處的函數(shù)值;另一方面對(duì)任意的x E，若x*包含不止一個(gè)點(diǎn)，且x*中存在2個(gè)不同點(diǎn)x1和x2使得fE(x1)≠fE(x2)，則在R中存在函數(shù)值fE(x1)的開鄰域V1和fE(x2)的開鄰域V2滿足V1∩V2=φ，因此(V1)∩(V2)=φ，由此得(V1)和(V2)不可能同時(shí)包含x，即(V1)和(V2)中一定有一個(gè)不包含等價(jià)類 x*，從而由引理1(V1)和(V2)中至少有一個(gè)不屬于L，所以fE(x)在空間(E，L)上不連續(xù).相當(dāng)于用反證法證明了函數(shù)fE(x)在空間(E，L)的每一點(diǎn)的等價(jià)類x*上取常值是fE(x)連續(xù)的必要條件.

充分性 設(shè)函數(shù)fE(x)在空間(E，L)的每一點(diǎn)的等價(jià)類x*上取常值，且在空間(E，S)中的所有極限點(diǎn)處的極限值等于在該點(diǎn)處的函數(shù)值.任取空間(R，T)的一個(gè)開集V，將證明(V)L來得到fE(x)在(E，L)上的連續(xù)性. 對(duì)此不妨假設(shè)(V)≠φ，任取 x(V)，由條件(1)一定有 x*?(V)成立;條件(2)保證了fE(x)是可度量拓?fù)淇臻g(E，S)上的連續(xù)函數(shù)，因此(V)S.再由引理1得到(V)L.

證畢.

例2 設(shè)E是閉區(qū)間［0，1］上的Cantor三分集，著名的Cantor函數(shù)fE(x)=Hs(［0，x］∩E)就是拓?fù)淇臻g(E，L)和(E，H)上的連續(xù)函數(shù)，其中s=

由定理2知，定理4中的條件(1)事實(shí)上是E上賦于拓?fù)浜蟪蔀檫B通空間上的函數(shù)為連續(xù)函數(shù)所需滿足的最弱條件.又因?yàn)檫B通緊集上的連續(xù)映射保持連通性和緊性不變，所以滿足該定理?xiàng)l件的函數(shù)fE(x)的值域一定是歐氏空間(R，T)中的連通緊集，因而是有界閉區(qū)間，所以這樣的函數(shù)一定具有有界性、最值性、介值性和一致連續(xù)性等一些很好的函數(shù)性質(zhì).

本文只討論了R中不平凡的s-緊集E上的拓?fù)浼靶再|(zhì)，類似的同樣可以對(duì)Rn中不平凡的s-緊集上的拓?fù)溥M(jìn)行相應(yīng)的研究.

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