自主探究,促進層次理解

許懷珍

教學(xué)片斷一：鋪墊理解

師（出示■、■、■）：怎么理解這些分數(shù)的意義？怎么用除法算式來表示它們的意義？

生１：把單位“１”平均分為３份，表示這樣的１份就是■，用除法來表示就是１÷３，除法的結(jié)果可以用小數(shù)來表示。

……

師：幾個幾分之一就表示成幾分之幾。

師（出示■米、■噸）：怎么理解這兩個分數(shù)的意義？和之前的分數(shù)比有什么區(qū)別？

生２：這兩個分數(shù)表示的是數(shù)量，而不是比率?！雒妆硎荆泵椎摹?，■噸表示１噸的■，用算式表示就是１÷６＝■（米）、１÷９×７＝■×７＝■（噸），也就是７個■噸是■噸。

師生（小結(jié)）：１米、１小時、１噸的幾分之幾，可以直接表示成幾分之幾米、幾分之幾小時或幾分之幾噸等。

教學(xué)片斷二：層次探究

師：將１個餅子平均分給４個人，你認為每個人能分到幾分之幾？分到幾個？如果是同樣的３個餅子呢？

生１：把１個餅子平均分成四份，就是１÷４＝■，每人可以分到■個餅子。

生２：當有３個餅子時，將每個餅子平均分成四份，這樣每人可分到１÷４×３＝■（個）餅子。

生３：３個餅子的■，就是一個餅子的■。

師：如果將３個餅子平均分給５個人，你認為每人能分到幾分之幾？分到幾個？

生4：每人可以分到１個餅子的■，那么分３個餅子，每人能分到■個餅子。

師：如果是４個餅子平均分給５個人呢？

生5：４÷５＝１÷５×４，就是１個餅子的■。

師：如果將５個餅子等分給５個人呢？如果是將ａ個餅子平均分給５個人呢？如果是將ａ個餅子平均分給ｂ個人，那么每人分到多少個餅子呢？你怎么想的？（生答略）

師：ａ÷ｂ＝■，說明ａ個餅子等分ｂ份，就是１個餅子等分■份，也就是■個。那么，分數(shù)和除法算式之間有什么關(guān)系？

學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)：除法的被除數(shù)相當于分子，除數(shù)相當于分母，而分數(shù)線則相當于除號，即被除數(shù)÷除數(shù)＝■，用字母表示為ａ÷ｂ＝■。

此時學(xué)生理解不能將整體１等分為０份，由此確定了數(shù)域范圍“分數(shù)的分子、分母不能為零，除數(shù)不能為零”，那么得到的結(jié)果就是ａ÷ｂ＝■（ｂ≠０）。

思考：

我根據(jù)學(xué)生反饋情況進行統(tǒng)計和調(diào)查，結(jié)果顯示學(xué)生對分數(shù)與除法這種程序性知識理解的四個水平層次有如下分布情況：其中全部學(xué)生都能夠達到水平一的理解（即程序性的技能理解）；有96%的學(xué)生達到了水平二的理解（即能夠由動手操作來進行理解）；針對水平三和水平四的理解（即高水平理解），分別有７７％和５９％的學(xué)生達到。

１．活動操作，促進直觀理解

在分數(shù)與除法學(xué)習中，學(xué)生容易出現(xiàn)量和率的混淆，于是我讓學(xué)生從活動操作中理解一個餅子的幾分之幾就是幾分之幾個，并進行了鋪墊教學(xué)。如教學(xué)片斷一中從舊知入手進行鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生理解分數(shù)的意義，其目的是為了拓展學(xué)生的思維空間，引導(dǎo)他們克服真分數(shù)的思維定式。教學(xué)片斷二中，我讓學(xué)生抓住幾個餅子的幾分之一與一個餅子的幾分之幾之間的關(guān)系進行分析討論，強化學(xué)生對分數(shù)概念中份數(shù)定義與商定義之間的聯(lián)系。

２．表象操作，深化抽象理解

表象積累能夠有效促進對抽象知識的理解。學(xué)生對一個餅子的幾分之一容易理解，但對幾個餅子的幾分之一無法建立抽象認知，此時就要從豐富的表象操作來予以引導(dǎo)。為此，我引導(dǎo)學(xué)生一步步鞏固強化，從直觀操作到確認分幾個餅子就有幾個幾分之一，促進他們抽象思維的提升。

３．數(shù)字推演，發(fā)展形式理解

數(shù)字推演到形式理解是理解中的較高層次，教師要盡可能地引導(dǎo)學(xué)生提升到這個層次。從后測的數(shù)據(jù)分析可以看出，這個高層次的理解水平并非學(xué)生無可企及，也并非所有學(xué)生都可能達到。為此，我緊緊圍繞直觀的活動操作和表象操作引導(dǎo)學(xué)生進行活動經(jīng)驗積累，使學(xué)生能夠順利地過渡到數(shù)字推演這個環(huán)節(jié)，直到理解并得到諸如ａ÷ｂ＝■的形式理解。

（責編杜華）

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教學(xué)片斷一：鋪墊理解

師（出示■、■、■）：怎么理解這些分數(shù)的意義？怎么用除法算式來表示它們的意義？

生１：把單位“１”平均分為３份，表示這樣的１份就是■，用除法來表示就是１÷３，除法的結(jié)果可以用小數(shù)來表示。

……

師：幾個幾分之一就表示成幾分之幾。

師（出示■米、■噸）：怎么理解這兩個分數(shù)的意義？和之前的分數(shù)比有什么區(qū)別？

生２：這兩個分數(shù)表示的是數(shù)量，而不是比率?！雒妆硎荆泵椎摹?，■噸表示１噸的■，用算式表示就是１÷６＝■（米）、１÷９×７＝■×７＝■（噸），也就是７個■噸是■噸。

師生（小結(jié)）：１米、１小時、１噸的幾分之幾，可以直接表示成幾分之幾米、幾分之幾小時或幾分之幾噸等。

教學(xué)片斷二：層次探究

師：將１個餅子平均分給４個人，你認為每個人能分到幾分之幾？分到幾個？如果是同樣的３個餅子呢？

生１：把１個餅子平均分成四份，就是１÷４＝■，每人可以分到■個餅子。

生２：當有３個餅子時，將每個餅子平均分成四份，這樣每人可分到１÷４×３＝■（個）餅子。

生３：３個餅子的■，就是一個餅子的■。

師：如果將３個餅子平均分給５個人，你認為每人能分到幾分之幾？分到幾個？

生4：每人可以分到１個餅子的■，那么分３個餅子，每人能分到■個餅子。

師：如果是４個餅子平均分給５個人呢？

生5：４÷５＝１÷５×４，就是１個餅子的■。

師：如果將５個餅子等分給５個人呢？如果是將ａ個餅子平均分給５個人呢？如果是將ａ個餅子平均分給ｂ個人，那么每人分到多少個餅子呢？你怎么想的？（生答略）

師：ａ÷ｂ＝■，說明ａ個餅子等分ｂ份，就是１個餅子等分■份，也就是■個。那么，分數(shù)和除法算式之間有什么關(guān)系？

學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)：除法的被除數(shù)相當于分子，除數(shù)相當于分母，而分數(shù)線則相當于除號，即被除數(shù)÷除數(shù)＝■，用字母表示為ａ÷ｂ＝■。

此時學(xué)生理解不能將整體１等分為０份，由此確定了數(shù)域范圍“分數(shù)的分子、分母不能為零，除數(shù)不能為零”，那么得到的結(jié)果就是ａ÷ｂ＝■（ｂ≠０）。

思考：

我根據(jù)學(xué)生反饋情況進行統(tǒng)計和調(diào)查，結(jié)果顯示學(xué)生對分數(shù)與除法這種程序性知識理解的四個水平層次有如下分布情況：其中全部學(xué)生都能夠達到水平一的理解（即程序性的技能理解）；有96%的學(xué)生達到了水平二的理解（即能夠由動手操作來進行理解）；針對水平三和水平四的理解（即高水平理解），分別有７７％和５９％的學(xué)生達到。

１．活動操作，促進直觀理解

在分數(shù)與除法學(xué)習中，學(xué)生容易出現(xiàn)量和率的混淆，于是我讓學(xué)生從活動操作中理解一個餅子的幾分之幾就是幾分之幾個，并進行了鋪墊教學(xué)。如教學(xué)片斷一中從舊知入手進行鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生理解分數(shù)的意義，其目的是為了拓展學(xué)生的思維空間，引導(dǎo)他們克服真分數(shù)的思維定式。教學(xué)片斷二中，我讓學(xué)生抓住幾個餅子的幾分之一與一個餅子的幾分之幾之間的關(guān)系進行分析討論，強化學(xué)生對分數(shù)概念中份數(shù)定義與商定義之間的聯(lián)系。

２．表象操作，深化抽象理解

表象積累能夠有效促進對抽象知識的理解。學(xué)生對一個餅子的幾分之一容易理解，但對幾個餅子的幾分之一無法建立抽象認知，此時就要從豐富的表象操作來予以引導(dǎo)。為此，我引導(dǎo)學(xué)生一步步鞏固強化，從直觀操作到確認分幾個餅子就有幾個幾分之一，促進他們抽象思維的提升。

３．數(shù)字推演，發(fā)展形式理解

數(shù)字推演到形式理解是理解中的較高層次，教師要盡可能地引導(dǎo)學(xué)生提升到這個層次。從后測的數(shù)據(jù)分析可以看出，這個高層次的理解水平并非學(xué)生無可企及，也并非所有學(xué)生都可能達到。為此，我緊緊圍繞直觀的活動操作和表象操作引導(dǎo)學(xué)生進行活動經(jīng)驗積累，使學(xué)生能夠順利地過渡到數(shù)字推演這個環(huán)節(jié)，直到理解并得到諸如ａ÷ｂ＝■的形式理解。

（責編杜華）

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教學(xué)片斷一：鋪墊理解

師（出示■、■、■）：怎么理解這些分數(shù)的意義？怎么用除法算式來表示它們的意義？

生１：把單位“１”平均分為３份，表示這樣的１份就是■，用除法來表示就是１÷３，除法的結(jié)果可以用小數(shù)來表示。

……

師：幾個幾分之一就表示成幾分之幾。

師（出示■米、■噸）：怎么理解這兩個分數(shù)的意義？和之前的分數(shù)比有什么區(qū)別？

生２：這兩個分數(shù)表示的是數(shù)量，而不是比率?！雒妆硎荆泵椎摹?，■噸表示１噸的■，用算式表示就是１÷６＝■（米）、１÷９×７＝■×７＝■（噸），也就是７個■噸是■噸。

師生（小結(jié)）：１米、１小時、１噸的幾分之幾，可以直接表示成幾分之幾米、幾分之幾小時或幾分之幾噸等。

教學(xué)片斷二：層次探究

師：將１個餅子平均分給４個人，你認為每個人能分到幾分之幾？分到幾個？如果是同樣的３個餅子呢？

生１：把１個餅子平均分成四份，就是１÷４＝■，每人可以分到■個餅子。

生２：當有３個餅子時，將每個餅子平均分成四份，這樣每人可分到１÷４×３＝■（個）餅子。

生３：３個餅子的■，就是一個餅子的■。

師：如果將３個餅子平均分給５個人，你認為每人能分到幾分之幾？分到幾個？

生4：每人可以分到１個餅子的■，那么分３個餅子，每人能分到■個餅子。

師：如果是４個餅子平均分給５個人呢？

生5：４÷５＝１÷５×４，就是１個餅子的■。

師：如果將５個餅子等分給５個人呢？如果是將ａ個餅子平均分給５個人呢？如果是將ａ個餅子平均分給ｂ個人，那么每人分到多少個餅子呢？你怎么想的？（生答略）

師：ａ÷ｂ＝■，說明ａ個餅子等分ｂ份，就是１個餅子等分■份，也就是■個。那么，分數(shù)和除法算式之間有什么關(guān)系？

學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)：除法的被除數(shù)相當于分子，除數(shù)相當于分母，而分數(shù)線則相當于除號，即被除數(shù)÷除數(shù)＝■，用字母表示為ａ÷ｂ＝■。

此時學(xué)生理解不能將整體１等分為０份，由此確定了數(shù)域范圍“分數(shù)的分子、分母不能為零，除數(shù)不能為零”，那么得到的結(jié)果就是ａ÷ｂ＝■（ｂ≠０）。

思考：

我根據(jù)學(xué)生反饋情況進行統(tǒng)計和調(diào)查，結(jié)果顯示學(xué)生對分數(shù)與除法這種程序性知識理解的四個水平層次有如下分布情況：其中全部學(xué)生都能夠達到水平一的理解（即程序性的技能理解）；有96%的學(xué)生達到了水平二的理解（即能夠由動手操作來進行理解）；針對水平三和水平四的理解（即高水平理解），分別有７７％和５９％的學(xué)生達到。

１．活動操作，促進直觀理解

在分數(shù)與除法學(xué)習中，學(xué)生容易出現(xiàn)量和率的混淆，于是我讓學(xué)生從活動操作中理解一個餅子的幾分之幾就是幾分之幾個，并進行了鋪墊教學(xué)。如教學(xué)片斷一中從舊知入手進行鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生理解分數(shù)的意義，其目的是為了拓展學(xué)生的思維空間，引導(dǎo)他們克服真分數(shù)的思維定式。教學(xué)片斷二中，我讓學(xué)生抓住幾個餅子的幾分之一與一個餅子的幾分之幾之間的關(guān)系進行分析討論，強化學(xué)生對分數(shù)概念中份數(shù)定義與商定義之間的聯(lián)系。

２．表象操作，深化抽象理解

表象積累能夠有效促進對抽象知識的理解。學(xué)生對一個餅子的幾分之一容易理解，但對幾個餅子的幾分之一無法建立抽象認知，此時就要從豐富的表象操作來予以引導(dǎo)。為此，我引導(dǎo)學(xué)生一步步鞏固強化，從直觀操作到確認分幾個餅子就有幾個幾分之一，促進他們抽象思維的提升。

３．數(shù)字推演，發(fā)展形式理解

數(shù)字推演到形式理解是理解中的較高層次，教師要盡可能地引導(dǎo)學(xué)生提升到這個層次。從后測的數(shù)據(jù)分析可以看出，這個高層次的理解水平并非學(xué)生無可企及，也并非所有學(xué)生都可能達到。為此，我緊緊圍繞直觀的活動操作和表象操作引導(dǎo)學(xué)生進行活動經(jīng)驗積累，使學(xué)生能夠順利地過渡到數(shù)字推演這個環(huán)節(jié)，直到理解并得到諸如ａ÷ｂ＝■的形式理解。

（責編杜華）

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