多種載荷作用下梁內(nèi)力圖快速畫法的探討

田來社

［摘要］工程力學(xué)是一門專業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)課,是高等院校理工科專業(yè)必修課程之一。結(jié)合工程力學(xué)的教學(xué)實踐，就彎曲變形梁的剪力圖、彎矩圖如何快速繪制做了較好的探究和實踐。當(dāng)梁受多種載荷共同作用時，此方法畫彎矩圖更顯現(xiàn)其快捷和方便，既有利于老師的教學(xué)，也有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)和掌握，具有事半功倍的效果。

［關(guān)鍵詞］剪力圖彎矩圖快速繪制

［中圖分類號］G642［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］A［文章編號］2095-3437（2014）13-0085-02

工程力學(xué)是一門專業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)課，是高等院校理工科專業(yè)必修課程之一。學(xué)好本門課程對后續(xù)的專業(yè)課與課程設(shè)計起著非常重要的支撐作用。在本課程教學(xué)中，其中一個很重要的內(nèi)容就是要進(jìn)行構(gòu)件強度和剛度的計算與設(shè)計，要完成此任務(wù)就必須首先解決內(nèi)力計算和畫出內(nèi)力圖，以便確定構(gòu)件可能的危險截面。常見的內(nèi)力圖有軸力圖、扭矩圖、剪力圖、彎矩圖，其中的剪力圖、彎矩圖的畫法就是教學(xué)的難點之一，對于梁在多種載荷同時作用下，學(xué)生更是難以掌握。因此，探討梁在多種載荷作用下，如何快速畫出剪力圖、彎矩圖是十分必要的。

一、預(yù)備知識

1. 剪力的正負(fù)號：能使微段梁的左右截面發(fā)生左上右下的錯動趨勢，則剪力規(guī)定為正，反之剪力為負(fù)。如圖1（a）、（b）所示的分別是正剪力和負(fù)剪力。

2. 彎矩的正負(fù)號：能夠使梁彎曲成下凸上凹趨勢時，則彎矩為正；反之彎矩為負(fù)，如圖1（c）、（d）所示分別是正彎矩和負(fù)彎矩。

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圖1

3. 剪力圖、彎矩圖的特征：首先對簡支梁在集中力、集中力偶、均布載荷單獨作用下，通過建立剪力與彎矩方程，分別畫出剪力圖和彎矩圖，由于載荷簡單，教師講授、學(xué)生學(xué)習(xí)還是比較容易掌握的，同時也為快速畫出梁在多種載荷作用下的剪力圖和彎矩圖做好鋪墊。通過觀察上述三種載荷對應(yīng)的內(nèi)力圖，可以得到下面剪力圖和彎矩圖的基本特征：

（1）均布載荷段的梁，剪力圖為斜直線，q＞0，剪力圖（Q圖）自左向右上斜，q＜0，Q圖自左向右下斜；彎矩圖（M圖）為拋物線，拋物線的開口與均布載荷方向一致。

（2）有集中力作用的截面上的剪力凸變，變化的大小與方向與集中力一致，而彎矩值不變，但彎矩圖出現(xiàn)折角，折的尖角方向與力的指向相反。

（3）集中力偶作用的截面附近兩側(cè)的彎矩值發(fā)生突變，自左向右遇到順時針力偶彎矩值向上突變，逆時針力偶彎矩值向下突變，而集中力偶作用處剪力值不變。

（4）梁的兩端若為鉸鏈約束且無集中力偶作用，則彎矩值為零。

（5）梁段之間剪力為零的截面上彎矩值為零。

（6）梁上剪力值為零的截面彎矩有極值。

二、剪力圖的快速畫法

1. 正負(fù)號規(guī)則：“上正下負(fù)”。其內(nèi)涵是自左向右畫，向上的外力包括分布載荷產(chǎn)生正剪力，向下的外力產(chǎn)生負(fù)剪力。畫圖方法：遇到向上的外力向上畫，遇到向下的外力向下畫，向上向下畫多大，外力多大畫多大，遇到無外力的段水平畫，遇到均布載荷斜著畫，向下均布載荷向下斜，向上均布載荷向上斜。最后畫出的剪力圖與水平軸構(gòu)成封閉圖形。如果不能封閉，說明彎矩圖的畫法或計算有問題。

2. 如圖2（a）圖所示的簡支梁畫剪力圖為例，介紹畫剪力圖的操作方法：首先利用平衡方程計算出簡支梁的約束反力，RA=8KN，RB=12KN。然后自左向右畫，遇到RA向上畫8KN，AC段梁上有5KN/m向下的均布載荷，自A截面到C截面的剪力圖向下斜，QC=RA-5×2=-2KN。CE之間無載荷作用，剪力圖畫成水平直線。集中力偶作用處剪力不變化，QE左=-2KN。過E截面時遇到10KN向下的外力作用，因此在-2KN的基礎(chǔ)上向下再畫10KN，QE右=12KN。EB段無外力作用，水平畫直線，過B截面遇到RB=12KN，向上畫12KN，與水平坐標(biāo)軸形成封閉的圖形。全梁上最大的剪力的絕對值Qmax=12KN。如圖2（b）所示。

三、彎矩圖的迅捷畫法

彎矩圖的畫法采用關(guān)鍵截面彎矩值的控制方法，具體方法如下：

1.關(guān)鍵截面的含義：集中力（含約束力）作用的截面、分布力端點對應(yīng)的截面、集中力偶附近兩側(cè)的截面、均布載荷段剪力為零對應(yīng)的截面。

2. 基本法則：任意截面上的彎矩等于該截面一側(cè)所有外力含外力偶對該截面形心取矩的代數(shù)和。即：M=∑mc（Fi）

其正負(fù)號規(guī)定為：取左段的力或力偶對研究的截面形心形成的矩使梁產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動產(chǎn)生正彎矩，反之負(fù)；取右段使梁繞研究截面形心逆時針轉(zhuǎn)向的力或力偶產(chǎn)生正彎矩，反之負(fù)。以上規(guī)則簡稱為“左順右逆”產(chǎn)生正彎矩，反之形成負(fù)彎矩。

3. 控制截面上的彎矩值：可利用基本法則算出各控制截面上的彎矩值 。如圖2（a）所示：

MA=0

MC=RA×2-5×2×1=6KN.m

MD負(fù)=RA×3-5×2×2=4KN.m

MD正=RB×2-10×1=14KN.m

MB=RA×1=12KN.m

MG=RA×1.6-5×1.6×0.8=6.4KN.m

根據(jù)彎矩圖的特征知道，剪力為零截面處的彎矩有極值，利用幾何關(guān)系可求得AG=1.6m。

4. 畫彎矩圖舉例：如圖2（a）所示的梁上受有有集中力、集中力偶均布載荷多種載荷的作用，畫彎矩圖如下：

（1）畫出彎矩圖的坐標(biāo)系，縱坐標(biāo)表示彎矩截面的位置，橫坐標(biāo)表示梁截面的位置，分別在坐標(biāo)系上畫出上述控制截面彎矩值對應(yīng)的點。

（2）梁上AC段有均布載荷，彎矩圖的形狀是拋物線。

（3）CD段圖形為斜直線，過D截面有順時針力偶，彎矩值自左向右向上突變，突變的彎矩值是10KN.m

（4）DE、EB段的彎矩圖分別為自左向右向下傾斜的直線，由于兩段梁的剪力值不同，向下傾斜的程度不同，剪力越大，傾斜的程度就越大。

（5）用光滑的曲線或直線連接個控制點得到彎矩圖。如圖2（c）所示.。

該梁的最大彎矩值為Mmax=14KN.m

結(jié)論：通過利用關(guān)鍵點的彎矩值控制方法，結(jié)合彎矩圖、剪力圖的特征，畫彎矩圖省時省力，易學(xué)易做。特別對受多種載荷作用的梁，繪制剪力圖、彎矩圖更顯方便和快捷。

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［責(zé)任編輯：張雷］