淺談初中數(shù)學(xué)的整體思想

康承偉

【摘 要】整體思想是重要的數(shù)學(xué)思想，本文從多角度闡述整體思想在初中數(shù)學(xué)中的作用和地位，目的在于建議學(xué)生牢固地樹立起整體意識(shí)。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思想 整體思想

中圖分類號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2014.05.072

整體思想就是考慮數(shù)學(xué)問題時(shí)著眼于問題的整體結(jié)構(gòu)，善于把一些彼此獨(dú)立而又相互緊密聯(lián)系的量進(jìn)行整體處理的思想方法，整體代入、整體換元等都是整體思想的表現(xiàn)形式，這種思想在初中數(shù)學(xué)中有廣泛應(yīng)用。

在有理數(shù)的相關(guān)概念中，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)稱互為相反數(shù)，比如-3與3互為相反數(shù)，一般地a與-a互為相反數(shù)。a-b的相反數(shù)如何表示，這是初學(xué)者的一個(gè)難點(diǎn)，究其原因，剛剛步入初中生活的孩子們還沒有完善的整體處理的意識(shí)。a-b的相反數(shù)應(yīng)當(dāng)把a(bǔ)-b當(dāng)成整體并把它用括號(hào)括起來，然后根據(jù)定義在括號(hào)前添“-”即-（a-b）再去括號(hào)化簡(jiǎn)。換言之，a與-a互為相反數(shù)，其中a可以是單項(xiàng)式，可以是多項(xiàng)式，當(dāng)a為多項(xiàng)式時(shí)，要用整體思想求它的相反數(shù)。倒數(shù)、絕對(duì)值亦如此，學(xué)習(xí)過程中除了基本知識(shí)的學(xué)習(xí)外，還要學(xué)習(xí)基本的思想方法。

在整式的運(yùn)算中，同類項(xiàng)的合并法則：系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變。計(jì)算-3x2y+5x2y就應(yīng)把x2y當(dāng)成整體并保持不變，運(yùn)算結(jié)果的系數(shù)為-3與5之和。整式的乘法教學(xué)中，先讓學(xué)生掌握單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法，在此認(rèn)知結(jié)構(gòu)上再來推導(dǎo)多項(xiàng)式的乘法法則，這時(shí)需把其中一個(gè)多項(xiàng)式當(dāng)成整體，具體地說，（m+n）（a+b）=（m+n）a+（m+n）b，然后運(yùn)用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則完成展開。教材還給出了矩形面積予以說明，最后給出結(jié)論：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得積相加。運(yùn)用a0=1（a≠0）時(shí)，把底數(shù)當(dāng)成整體，我們并不在乎底數(shù)的具體數(shù)值，而只關(guān)心它是否為0，如（2014-π）0中2014-π≠0，所以（2014-π）0=1。我們?cè)倏匆粋€(gè)冪的運(yùn)算問題：已知10m=2，10n=3，則103m+2n=_______。解這題時(shí)，初中學(xué)生無法分別求出m、n的值，需將要求值的代數(shù)式先用公式am·an=am+n和（am）n=amn變形為（10m）3·（10n）2然后整體代入。

學(xué)習(xí)提公因式法因式分解時(shí)，公因式指多項(xiàng)式里每一項(xiàng)都含有的因式，它可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。如因式分解（x-y）（3x+y）+（x-y）時(shí)，不宜用多項(xiàng)式的乘法法則去各個(gè)括號(hào)，而應(yīng)把x-y作為整體提出來，特別強(qiáng)調(diào)兩個(gè)相同的非零數(shù)相除商為1。公式法因式分解仍然要求學(xué)生靈活運(yùn)用整體思想，如因式分解（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1，解題中要考慮括號(hào)間的組合，組合展開后要求含x的二次項(xiàng)和一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)相等，以便整體換元，最后運(yùn)用a2+2ab+b2=（a+b）2達(dá)到分解目的。

學(xué)習(xí)同分母分式加減法后，能力要求遠(yuǎn)遠(yuǎn)不會(huì)停留在分子分母只為單獨(dú)的字母的簡(jiǎn)單問題上，如計(jì)算 ，兩個(gè)分母互為相反數(shù)，可將分母都變?yōu)閤-2，此時(shí)加法變?yōu)闇p法，需要注意的是分子整體相減時(shí)符號(hào)的正確處理，同時(shí)需化簡(jiǎn)運(yùn)算結(jié)果。分式除法法則：將除式的分子分母顛倒位置，與被除式相乘，學(xué)生在計(jì)算（m+n）÷（ ）時(shí)容易錯(cuò)解為（m+n）·（m+n），這是學(xué)生把除式的倒數(shù)理解為除式里各部分的倒數(shù)了，實(shí)際上，這里的除式是一個(gè)整體，應(yīng)先將除式計(jì)算成 后再顛倒分子分母。

解方程組的基本思想是消元，其中加減消元法就是把每一個(gè)方程當(dāng)成整體進(jìn)行整體的相加或相減。在問題“已知3a+2b=-2，2a+3b=2，則a-b=_______”中，我們只需將兩方程相減便能求得a-b的值，這堪稱整體思想的典型問題。解高次方程的基本思想是降次，比如解方程（x+1）2=4時(shí)，先運(yùn)用平方根的定義求出整體x+1的值，這樣二次方程化為了兩個(gè)一次方程。另外，關(guān)于的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足x1+x2= ，x1x2= ，在計(jì)算有關(guān)兩根的對(duì)稱式時(shí)通常整體代入，問題：方程2x2-x-7=0的兩根為x1，x2，則（x1-1）（x2-1）=_______。解題時(shí)應(yīng)先整理為x1x2-（x1+x2）+1，然后把x1x2= ，x1+x2= 整體代入，這樣能避免解方程后分情況代值計(jì)算，節(jié)約時(shí)間又避免繁瑣計(jì)算出錯(cuò)。

下面看看整體思想在函數(shù)中的運(yùn)用，如圖1，A和B都與x軸和y軸相切，圓心A和B都在雙曲線y= 的圖象上，則圖中陰影部分的面積等于____。在初中階段學(xué)生根本無法分別計(jì)算每塊陰影的面積，但這不影響解題，根據(jù)雙曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征知道，兩塊陰影可以拼成一個(gè)半徑為1的圓。再看一個(gè)函數(shù)問題，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖2所示，對(duì)稱軸是直線x=1，下列結(jié)論：①abc>0，②2a+b=0，③b2-4ac<0，④4a+2b+c>0，其中正確的是____。②的判斷需結(jié)合對(duì)稱軸得到關(guān)于a與b的關(guān)系，③的判斷需要結(jié)合拋物線與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，它考查二次函數(shù)與二次方程之間的關(guān)系，④的判斷就需看x=2時(shí)的函數(shù)值。

研究圖形也離不開整體思想。我們研究圖形時(shí)，要求學(xué)生熟練掌握基本圖形的性質(zhì)，并能在解題時(shí)從復(fù)雜圖形中順利分解出常見圖形。如在解決直角三角形為背景的問題時(shí)要迅速想起直角三角形的邊角關(guān)系，如果直角三角形給出斜邊上的高，則其中有多組等角、多組相似三角形以及由相似三角形推導(dǎo)得到的多個(gè)重要等積式。同學(xué)們胸中有“圖”，就能迅速找到解題的突破口，這種整體著眼的研究方法能有效地將復(fù)雜陌生的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單熟悉的問題。整體思想在圖形研究的一種重要體現(xiàn)形式是整體代入，例如“已知△ABC中，AB=5，BC=6，AC的中垂線交邊BC于D，則△ABD的周長(zhǎng)是____?！敝荛L(zhǎng)是三邊之和，但本題中AD和BD的長(zhǎng)不可求，不過根據(jù)中垂線的性質(zhì)知AD=CD，于是AD+BD=BC，從而可以運(yùn)用整體代入求周長(zhǎng)。

初中統(tǒng)計(jì)知識(shí)里，方差衡量一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，它是整組數(shù)據(jù)共同作用的結(jié)果。平均數(shù)衡量一組數(shù)據(jù)的平均水平，我們看看整體思想在計(jì)算平均數(shù)的應(yīng)用：一個(gè)學(xué)習(xí)小組有甲乙丙丁四名同學(xué)，在一次數(shù)學(xué)檢測(cè)里，甲乙兩名同學(xué)的平均成績(jī)是92分，乙丙兩名同學(xué)的平均成績(jī)是95分，丙丁兩名同學(xué)的平均成績(jī)是91分，甲丁兩名同學(xué)的平均成績(jī)是83分，求這個(gè)小組的平均成績(jī)。要求四數(shù)的平均數(shù)，按習(xí)慣先求出甲乙丙丁各位的成績(jī)?cè)偾笃骄鶖?shù)，但這不是最理想的方法，實(shí)際上，整體求出甲乙丙丁的成績(jī)之和再除以4，問題即得解決。

大量事實(shí)充分說明，整體思想滲透到了初中數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，只有學(xué)生牢固樹立整體意識(shí)才能在學(xué)習(xí)基本概念后舉一反三，觸類旁通，形成能力，才能將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提高到一個(gè)新的水平！