議強(qiáng)化高中數(shù)學(xué)圓錐曲線教學(xué)的策略

周浩

【摘 要】圓錐曲線部分的知識是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在高考中所占的分?jǐn)?shù)較大，得分率不高。本文從自己的實(shí)際教學(xué)出發(fā)，提出了強(qiáng)化圓錐曲線部分教學(xué)有效性的相關(guān)策略，希望能夠?qū)V大高中數(shù)學(xué)的教師有所幫助。

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線 教學(xué) 計(jì)算能力 重點(diǎn)

中圖分類號：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2014.08.092

在高考數(shù)學(xué)中圓錐曲線知識所占的分?jǐn)?shù)比重很大，每年都會有一道相關(guān)的大題，在選擇和填空題中也出現(xiàn)對相關(guān)知識的考察。圓錐曲線題目通常靈活性較強(qiáng)，解答的難度較大，得分率不高。在日常的教學(xué)之中，也花費(fèi)了大量的時間在圓錐曲線知識上，但是取得的效果并不是十分明顯，這使教學(xué)面臨了很大的困難。

一、準(zhǔn)確把握教學(xué)的難點(diǎn)、重點(diǎn)

圓錐曲線知識的主要內(nèi)容有拋物線、雙曲線和橢圓。這三個內(nèi)容之間有著一定的聯(lián)系，其中對于雙曲線的知識，在教學(xué)中的要求相對較低，只是讓學(xué)生掌握雙曲線的一些有關(guān)定義和概念，對其圖像和基本性質(zhì)有所了解，在考試中涉及到雙曲線知識的問題難度通常不會太大。但是拋物線和橢圓是圓錐曲線知識教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，在教學(xué)中不但要讓學(xué)生準(zhǔn)確的掌握其基本性質(zhì)，還要做到對知識的靈活運(yùn)用。所以，在實(shí)際的教學(xué)中要以橢圓和拋物線的知識為教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，對其給予足夠的重視，努力做好相關(guān)的教學(xué)，提高學(xué)生對知識的運(yùn)用能力。

二、教學(xué)中加強(qiáng)對學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)

在高考數(shù)學(xué)中，學(xué)生普遍反映答題的時間不夠，就算多給一點(diǎn)時間，有的題目也無法解答完整。其實(shí)這并不是出題的原因，是學(xué)生的解題速度和計(jì)算能力達(dá)不到一定的標(biāo)準(zhǔn)，高考也是對學(xué)生計(jì)算能力的一種考察。在進(jìn)行圓錐曲線部分的教學(xué)中，要加強(qiáng)對學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)，我們要做好以下幾個方面的工作：

首先，在平時的就學(xué)習(xí)過程中，鼓勵學(xué)生親自動手計(jì)算，解決問題，禁止學(xué)生運(yùn)用一些計(jì)算輔助設(shè)備，為學(xué)生設(shè)置規(guī)定的時間，訓(xùn)練計(jì)算能力，在提高計(jì)算速度的同時還要保證計(jì)算的準(zhǔn)確率；其次，對學(xué)生的計(jì)算步驟進(jìn)行規(guī)范，許多高中生一味的追求計(jì)算速度，不重視計(jì)算步驟的規(guī)范，使得在計(jì)算中經(jīng)常出現(xiàn)錯誤，得不到準(zhǔn)確的結(jié)果，造成了時間的浪費(fèi)；再次，要強(qiáng)化對算法和算理的講解，向?qū)W生強(qiáng)調(diào)算法的重要意義，在學(xué)生能夠熟練地掌握有關(guān)計(jì)算之后，再簡化計(jì)算的步驟，使得運(yùn)算的速度得到提高；與此同時，掌握正確的算法和算理還能夠幫助學(xué)生總結(jié)在運(yùn)算中遇到的一些特殊問題，自主的找到解決問題的方法；最后，選擇有效的計(jì)算方法，對于同一個問題，有不同的計(jì)算方法，在解題時，要進(jìn)行全面的思考和判斷，找到最佳的解題方法和思路，在最短的時間內(nèi)解決問題。

三、結(jié)合圖形進(jìn)行問題的解答

學(xué)生在剛剛接觸到圓錐曲線部分的知識時，很難理解學(xué)習(xí)的內(nèi)容，也不知道該用什么方法和思路進(jìn)行問題的解答，必須要經(jīng)過一段時間進(jìn)行理解和消化。在這段時間內(nèi)教師要充分利用圓錐曲線的圖形，開展好教學(xué)工作，利用直觀的圖形，在學(xué)生腦海中建立起有關(guān)的概念，結(jié)合圖形進(jìn)行問題的講解，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想做好教學(xué)的工作。雖然在解析幾何部分學(xué)生已經(jīng)接觸到了數(shù)形結(jié)合的教學(xué)，但是那時的教學(xué)內(nèi)容比較簡單和單一，不能很好的理解和運(yùn)用這種思想。圓錐曲線的有關(guān)問題十分繁瑣和復(fù)雜，利用圖形可以將抽象的問題形象化，降低題目的難度，同時還能幫助學(xué)生更好的理解有關(guān)的性質(zhì)和概念。所以，在教學(xué)中做好數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的好習(xí)慣。

已知曲線C：y=x2和直線M：x-y+2=0相較于點(diǎn)P（xp，yp）和Q（xq，yq），xp小于xq，曲線在點(diǎn)P、Q之間的部分為l，二者所圍成的區(qū)域?yàn)镈，設(shè)l上的一點(diǎn)為A（a，b），同時，A、P、Q三點(diǎn)不重合。

1. 假如PQ的中點(diǎn)為B，求線段AB中點(diǎn)T的運(yùn)動軌跡。

2.假如曲線G：x2-2ax+y2-4y+a2+51/25=0和D存在公共點(diǎn)，求a的最小值。

解析：這是09年廣東高考中的一道題目，主要考查了直線和拋物線的位置關(guān)系、曲線軌跡方程的求法和曲線之間的位置關(guān)系。本題的重點(diǎn)是曲線 G的圓心在直線y=2上，G和D有公共點(diǎn)，在A的值最小的情況下，到底是G和D相交與點(diǎn)P還是與直線M的切點(diǎn)，這就需要我們畫圖進(jìn)行分析，在本題中沒有給出相應(yīng)的題目，需要學(xué)生理解題目的含義，畫出相關(guān)的圖形。如圖1所示：

四、借助向量知識進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化

學(xué)生在掌握了數(shù)形結(jié)合的方法之后，要想更好的學(xué)好圓錐曲線的知識，還需要在解題中運(yùn)用向量部分的知識，進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化。在目前高考數(shù)學(xué)題目的設(shè)置上，越來越多的將圓錐曲線知識和向量、數(shù)列、不等式和導(dǎo)數(shù)等知識相結(jié)合，加強(qiáng)了對學(xué)生綜合能力與知識運(yùn)用能力的考查，這也說明數(shù)學(xué)知識之間是相互聯(lián)系的。其中圓錐曲線的知識和向量知識之間的聯(lián)系頗為緊密，在向量知識中既有一些代數(shù)的特征又涉及到圖形的知識，把幾何與代數(shù)有效的結(jié)合在一起，在解答圓錐曲線的問題時，我們可以將其中的幾何關(guān)系通過向量的形式表現(xiàn)出來，進(jìn)行向量計(jì)算，再轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論，這種轉(zhuǎn)化能夠使問題的難度降低，節(jié)省解題的時間。凡是在圓錐曲線問題中涉及到角度、長度的計(jì)算和垂直、平行等位置關(guān)系時，我們都可以使用向量知識進(jìn)行解答。

如圖2所示，橢圓x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的一個焦點(diǎn)F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）已知橢圓短軸的兩個三等分點(diǎn)與其中一個焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；（2）設(shè)過 F 點(diǎn)的直線 l 交橢圓于A、B 兩點(diǎn)。若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動，恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2，求a的取值范圍。

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）當(dāng)直線AB與x軸重合時，|OA|2+ |OB|2=2a2，|AB|2=4a2（a2>1），因此恒有|OA|2+ |OB|2<|AB|2。當(dāng)直線AB不與x軸重合時，設(shè)直線AB的方程為：x=my+1，代入橢圓方程整理得：（a2+b2m2）y2+2b2my+b2-a2b2=0因此求得y1+y2和y1y2的表達(dá)式。又因?yàn)楹阌衸OA|2+ |OB|2<|AB|2，所以∠AOB是鈍角。也就是說向量OA與OB的向量積恒小于零。所以在m取全體實(shí)數(shù)時，m2a2b2+b2- a2b2+a2<0 也就是b2- a2b2+a2

以上就是對高中數(shù)學(xué)圓錐曲線教學(xué)的有效策略分析。結(jié)合自己的實(shí)際教學(xué)情況，提出了強(qiáng)化圓錐曲線教學(xué)效果的有關(guān)策略，目的在于幫助廣大教師做好該部分的教學(xué)工作，提高學(xué)生高考的得分率。