中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)小議

母其丙

【摘 要】歸納法是數(shù)學(xué)推理中經(jīng)常用到的一種方法，本文對數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)教學(xué)中的難點和關(guān)鍵進行了探討。

【關(guān)鍵詞】推理數(shù)學(xué)教學(xué)歸納法

在數(shù)學(xué)推理中，常用的方法是演繹法和歸納法，歸納推理又可以分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法所得出的結(jié)論是可靠的，因為它考察了問題所涉及的所有對象；不完全歸納法得出的結(jié)論不一定可靠，因為它只考察了某件事情的部分對象。數(shù)學(xué)問題中，有一類問題是與自然數(shù)有關(guān)的命題，因為自然數(shù)的個數(shù)是無限的，不可能對所有自然數(shù)進行驗證，所以用完全歸納法是不可能的。由于只對部分自然數(shù)驗證得到結(jié)論不一定是可靠的，因此就需要學(xué)習(xí)一種新的推理方法——數(shù)學(xué)歸納法。

數(shù)學(xué)歸納法是關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種特殊的直接證明方法，特別是在證明一些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題時；在數(shù)學(xué)中有著重要的用途，要求能用數(shù)學(xué)歸納法證明現(xiàn)代的結(jié)論，而且加強了對于不完全歸納法的應(yīng)用，既要求歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性；因此在中學(xué)數(shù)學(xué)中是從問題情境中引發(fā)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)欲望，然后對多米諾骨牌蘊含的原理進行分析，再用多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問題，最后從具體事例中概括歸納出數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟：

1. 證明當(dāng)n取第一個值n=n0（例如n0=1或2等）時結(jié)論成立；

2. 假設(shè)n=k （k≥n0，kN*）時結(jié)論成立，證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立。

完成這兩個步驟，就可以斷定結(jié)論對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。

用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題的難點和關(guān)鍵在第二步，而這一步主要在于合理運用歸納假設(shè)，即以“n=k時結(jié)論成立”為條件，根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推導(dǎo)出“當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立”，而不是直接代入，否則 n=k+1時也成假設(shè)了，命題并沒有得到證明。但是在實際教學(xué)中學(xué)生往往不會使用歸納假設(shè)，即在證明中不使用“n=k時結(jié)論成立”這個條件，而直接將n=k+1代入，便斷言此時結(jié)論成立，從而得出原命題成立的結(jié)論。需要引導(dǎo)學(xué)生分析這樣的“證明”中存在的問題：由此不能得出遞推關(guān)系“n=k時結(jié)論成立n=k+1時結(jié)論成立”，因此證明并沒有完成。這一步實際上是證明一個命題：“若n=k（k≥n0，kN*）時結(jié)論成立，證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立”，其本質(zhì)是證明一個遞推關(guān)系，歸納遞推的作用是從前往后傳遞，有了這種向后傳遞的關(guān)系，就能從一個起點不斷發(fā)展，以至無窮。如果沒有它，即使已經(jīng)驗證了命題對許多正整數(shù)n都成立，也不能保證命題對后面的所有正整數(shù)都成立。

當(dāng)然，也不是說第一步就可有可無，沒有它證明就如同空中樓閣，是不可靠的。在教學(xué)中可以結(jié)合反例進行說明。例如，“奇數(shù)是2的倍數(shù)”顯然是個假命題，但是如果沒有第一步，直接假設(shè)“如果奇數(shù)m是2的倍數(shù)”，卻能推出“那么后一個奇數(shù)k+2也是2的倍數(shù)”。同時在教學(xué)中還需要強調(diào)：用數(shù)學(xué)歸納法進行證明時，第一步從n取幾開始，要根據(jù)具體問題而定。一般地，如果要證明的結(jié)論是對全體正整數(shù)都成立的，則需要從n=1開始；如果需要證明的結(jié)論是對于不小于n0的全體正整數(shù)都成立的，則需要從n=n0開始證明；如果要證明的結(jié)論是對全體自然數(shù)都成立的，則需要從n=0開始證明。

用數(shù)學(xué)歸納法可以證明某些與正整數(shù)n（n取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，例如：用數(shù)學(xué)歸納法證明

1+3+5+……+（2n-1）=n2

證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立。

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，就是

1+3+5+……+（2k-1）=k2

那么，1+3+5+……+（2k-1）+[2（k+1）-1]

=k2+[2（k+1）-1]

=k2+2k+1

這就是說，當(dāng)n=k+1時等式也成立。

根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何nN都成立。

但并不是所有的正整數(shù)問題都是用數(shù)學(xué)歸納法證明的，學(xué)習(xí)時要具體問題具體分析，一般來說從n=k時的情形過渡到n=k+1時的情形，如果問題中存在可利用的遞推關(guān)系，就可以應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，否則使用數(shù)學(xué)歸納法就有困難。

在中學(xué)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)歸納法主要用于證明題，給學(xué)生提供一個新的思路解題，給學(xué)生開闊視野的角度；從未來應(yīng)用的角度，將來會涉及計算機編程，數(shù)學(xué)歸納法是遞歸循環(huán)的簡單形式，有利于學(xué)生今后理工科知識的理解和學(xué)習(xí)；從應(yīng)試角度，數(shù)學(xué)歸納法是中學(xué)數(shù)學(xué)的必修課，也是考試必考的知識點，也是比較好拿分的知識點。

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