偶極聲源在裸眼井及套管井外的橫波輻射特征

曹景記，唐曉明，魏周拓

中國(guó)石油大學(xué)（華東）地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，COSL-UPC聲學(xué)測(cè)井聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，青島 266580

1 引言

聲波遠(yuǎn)探測(cè)測(cè)井技術(shù)包括單極縱波和偶極橫波兩種方法，對(duì)于單極縱波方法，國(guó)內(nèi)已經(jīng)開(kāi)展了大量的研究工作，見(jiàn)薛梅（2002）、楚澤涵等（2005），喬文孝等 （2004），車小花等（2004）以及何峰江（2005）、陶果等（2008）等發(fā)表的研究結(jié)果，在這些研究基礎(chǔ)上，CNPC大港測(cè)井公司于2005年研制了新型遠(yuǎn)探測(cè)聲波反射波測(cè)井儀器，取得了一定的應(yīng)用效果.偶極橫波方法則是近幾年發(fā)展起來(lái)的，偶極橫波遠(yuǎn)探測(cè)技術(shù)能夠探測(cè)井周圍數(shù)米到數(shù)十米范圍內(nèi)的地層構(gòu)造及地質(zhì)體（Yamamoto et al.，1998；Coates et al.，2000；Li et al.，2002；Tang et al.，2007），把常規(guī)測(cè)井技術(shù)的測(cè)量范圍從井周一米左右提高到幾十米，在分辨率和探測(cè)深度方面，填補(bǔ)了常規(guī)聲波測(cè)井和井間地震之間的探測(cè)空白.

井中聲源在地層中的輻射特性對(duì)聲波遠(yuǎn)探測(cè)測(cè)井有重要的意義.明確不同地層類型及頻率條件下聲源的輻射特性對(duì)遠(yuǎn)探測(cè)儀器的研制有指導(dǎo)作用.Hornby（1989）提出了井中單極聲源遠(yuǎn)探測(cè)測(cè)井的原理和方法，此后，人們對(duì)井中單極聲源的輻射特性做了深入的研究，Meredith（1990）采用解析和數(shù)值相結(jié)合的方法研究了井中單極子聲源在不同地層中的輻射特性；國(guó)內(nèi)，車小花和喬文孝（2004）、陳雪蓮和吳金平（2010）等人研究了套管井中相控聲源的井外輻射特性.但對(duì)多極子聲源，尤其是偶極聲源在井外的輻射聲場(chǎng)，尚未做深入研究.雖然偶極測(cè)井技術(shù)已問(wèn)世多年，但人們對(duì)偶極聲場(chǎng)的研究，主要是井孔內(nèi)的聲場(chǎng)（劉繼生等，1998；周江來(lái)等，2011）.而在已有的偶極聲場(chǎng)輻射分析中（Tang and Patterson，2009；Wei and Tang，2012），往往采用的是聲場(chǎng)積分表達(dá)式的低頻遠(yuǎn)場(chǎng)近似（以下稱低頻近似方法），其結(jié)果僅在波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于井徑時(shí)成立.在現(xiàn)有的偶極聲波遠(yuǎn)探測(cè)測(cè)井中，聲源頻率往往是數(shù)千赫茲，上述低頻近似方法的適用范圍有待考察.因此，聲源在不同頻率，不同地層類型中的輻射特性需要進(jìn)一步深入研究，這是本文的主要研究目的之一.

偶極橫波遠(yuǎn)探測(cè)技術(shù)的一個(gè)重要的應(yīng)用前景是在套管井測(cè)井時(shí)找尋井外地層的油氣構(gòu)造.在國(guó)外，Bradley最近報(bào)道了偶極橫波遠(yuǎn)探測(cè)技術(shù)在北歐北海地區(qū)的套管井中探測(cè)井外天然氣構(gòu)造的應(yīng)用（Bradley et al.，2011）；在國(guó)內(nèi)，利用偶極橫波遠(yuǎn)探測(cè)技術(shù)也在套管井中看到了井外的地層構(gòu)造（詳見(jiàn)下文）.但是，套管對(duì)偶極聲源輻射的影響的理論分析，尚未有報(bào)道.基于以上原因，本文重點(diǎn)研究了套管井中不同耦合情況下的SH橫波遠(yuǎn)場(chǎng)輻射特性的變化規(guī)律，并與裸眼井的情況進(jìn)行了對(duì)比分析.本文的結(jié)果加深了在裸眼井和套管井條件下，對(duì)偶極聲源在不同類型地層中的輻射特性的認(rèn)識(shí)，為偶極橫波遠(yuǎn)探測(cè)技術(shù)的應(yīng)用提供了理論支持.

2 基本理論和方法

采用如圖1所示的直角坐標(biāo)系，將一偶極聲源置于沿z軸延伸，半徑為a的充液井孔中，指向x軸正方向.θ是聲源到輻射場(chǎng)點(diǎn)的輻射方向與z軸正方向之間的夾角，φ為輻射方向與z軸所在豎直平面的方位與偶極指向夾角的余角，uφ和uθ分別是SH及SV橫波產(chǎn)生的位移，R是聲源到場(chǎng)點(diǎn)之間的距離.本文只考慮聲源的輻射橫波，地層中橫波的位移矢量場(chǎng)可表示為：

圖1 充液井孔中的偶極聲源向井外地層輻射的聲場(chǎng)采用圖示的直角坐標(biāo)系描述Fig.1 A rectangular coordinate system is used to analyze the far-field radiation of a dipole source in a fluid-filled borehole

其中，r和z分別為徑向和軸向距離，ω是圓頻率，k是軸向波數(shù)，s是橫波的徑向波數(shù)；D和F分別是地層中SH和SV橫波的振幅系數(shù)，S（ω）為聲源函數(shù)譜.在裸眼井條件下，振幅系數(shù)由下面的矩陣方程確定：

其中，A是井中偶極聲波的振幅系數(shù)，B為地層中縱波的振幅系數(shù)，這兩者不在本文考慮之內(nèi)；udf和分別為井中偶極聲源在井壁上產(chǎn)生的徑向位移和徑向正應(yīng)力.為了方便敘述，這里將（3）式右側(cè)與聲源有關(guān)的向量稱為b向量，左側(cè)的矩陣稱為M矩陣.矩陣M和b的元素表達(dá)式詳見(jiàn)附錄A.

對(duì)于耦合良好的套管井，套管、水泥和地層組成了圓柱形層狀介質(zhì).層與層之間的聲場(chǎng)由湯姆森-哈斯克傳播矩陣T連接.假定井壁和地層之間有N-1圓柱層，第j層內(nèi)的傳播矩陣gj由該層在內(nèi)半徑Rin下的T（j，Rin）矩陣和外半徑Rout下的T（j，Rout）矩陣的逆矩陣相乘得到，即gj=T（j，Rin）·T-1（j，Rout）.所有層內(nèi)g矩陣與地層中的T（N，Rmf）矩陣的乘積記為根據(jù)G 矩陣和M矩陣的推導(dǎo)，可以得到地層中SH和SV橫波的振幅系數(shù)D和F，由下面矩陣方程確定：

這里的矩陣元素Mij以及方程右邊的各變量與方程（3）相同，G矩陣的元素Gij可以由不同層內(nèi)的T矩陣求出，T矩陣的元素表達(dá)式詳見(jiàn)附錄B.

套管井耦合不好的情況，可以在固體層之間加一液體層來(lái)模擬.因?yàn)楣?固和固-液界面的邊界條件不同，所以要對(duì)流體層的邊界條件進(jìn)行單獨(dú)處理，再利用湯姆森-哈斯克傳播矩陣T連接固體層之間的聲場(chǎng)（唐曉明和鄭傳漢，2004）.最后得到以下矩陣方程來(lái)確定井外地層中SH和SV橫波的振幅系數(shù)D和F：

式 中 O= ［A′，AL-1，BL-1，CL-1，DL-1，EL-1，F(xiàn)L-1，AL，BL，B，D，F(xiàn)］T，是一個(gè)含有十二個(gè)未知系數(shù)的向量，除井和流體層聲波以及與流體層（序號(hào)L）相鄰的固體層（序號(hào)L-1）的縱、橫波振幅系數(shù)外，其中包括了待求的地層輻射波的振幅系數(shù)D和F.矩陣H的元素表達(dá)式詳見(jiàn)附錄C.

將地層中彈性波的位移勢(shì)函數(shù)（式（2））代入到位移場(chǎng)表達(dá)式（式（1））中，得到井外無(wú)限大地層中SH和SV 橫波在柱坐標(biāo)系下位移分量的積分解

采用球坐標(biāo)，則θ方向的位移分量為

式中，uφ為平行于水平面的質(zhì)點(diǎn)位移，即SH型橫波的位移，而uθ為與垂直向夾角為θ的方向上的SV型橫波的位移.

在遠(yuǎn)探測(cè)測(cè)井中，考慮的是遠(yuǎn)離井軸地層中的地質(zhì)構(gòu)造，即輻射聲場(chǎng)的遠(yuǎn)場(chǎng)情況.將最速下降法（郭敦仁，1978）用于（2）式中的積分表達(dá)式，得到輻射距離遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)條件下彈性橫波位移勢(shì)的遠(yuǎn)場(chǎng)漸近解（唐曉明和魏周拓，2012）

其中，k0=ωcosθ／β為軸向波數(shù)的橫波最速下降解，β為地層橫波速度.將（8）式代入（1）式，在忽略O(shè)（1／R2）的條件下便可得到井外無(wú)限大地層中SH和SV橫波的位移遠(yuǎn)場(chǎng)漸近解，在頻域內(nèi)的表達(dá)式為

其中，ρ和μ分別是地層的密度和剪切模量.（9）式括號(hào)中的表達(dá)式分別定義了SH和SV橫波的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射指向性

將k=k0代入式（3）、（4）和（5）中可以分別對(duì)裸眼井和耦合良好與耦合不好的套管井的情況計(jì)算任意頻率下的遠(yuǎn)場(chǎng)振幅系數(shù)D和F，再利用（10）式便可計(jì)算這些情況下偶極聲場(chǎng)的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射指向性.

3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果及分析

3.1 算法對(duì)比驗(yàn)證

本文從偶極聲場(chǎng)的遠(yuǎn)場(chǎng)漸近解出發(fā)，對(duì)不同聲源頻率、地層類型下裸眼井及套管井中偶極聲源的遠(yuǎn)場(chǎng)橫波輻射特性進(jìn)行研究.為了考察該方法的可靠性和正確性，以SH橫波為例，本文將利用遠(yuǎn)場(chǎng)漸近解（（9）式）模擬的波形結(jié)果與對(duì)（6）式中的積分表達(dá)式嚴(yán)格求解計(jì)算的波形結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比.求積分解的方法和步驟與求解井孔聲場(chǎng)時(shí)相同（唐曉明和鄭傳漢，2004）.計(jì)算所用的地層、套管、水泥層以及井內(nèi)流體的彈性參數(shù)如表1所示.

表1 模型計(jì)算參數(shù)Table 1 Model calculation parameters

圖2是在快速地層中裸眼井的情況下，用SH橫波位移的精確解和遠(yuǎn)場(chǎng)漸近解計(jì)算的波形的對(duì)比，計(jì)算所用井孔半徑為0.104m，聲源是頻率為3000Hz的Kelly子波；接收器陣列放置于yoz面，且垂直于y軸，聲源距離接收器陣列為5m，接收器間隔為1m，共計(jì)15個(gè)接收器.其中，黑色實(shí)線為精確解計(jì)算的結(jié)果，紅色虛線為漸近解計(jì)算的結(jié)果.二者幾乎完全重合，表明了在場(chǎng)點(diǎn)和聲源之間的距離遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)的遠(yuǎn)場(chǎng)條件下，遠(yuǎn)場(chǎng)漸近解得到的結(jié)果是精確可靠的.

利用彈性橫波位移的遠(yuǎn)場(chǎng)漸近解及其輻射指向性（10）式，我們來(lái)詳細(xì)討論不同聲源頻率、地層類型以及不同耦合情況的套管對(duì)偶極聲源橫波輻射特性的影響.

圖2 快速地層條件下，SH橫波位移的精確解和遠(yuǎn)場(chǎng)漸近解計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of SH waves using exact and asymptotic solution methods for the fast formation

3.2 不同聲源頻率下裸眼井中偶極聲源遠(yuǎn)場(chǎng)輻射特性

迄今為止的井中偶極聲源的輻射指向性分析都是利用遠(yuǎn)場(chǎng)輻射結(jié)果（式（6），（7））在低頻條件（波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于井徑）下得到的（唐曉明和魏周拓，2012），以下稱低頻近似法；而本文所采用的橫波位移的遠(yuǎn)場(chǎng)漸近解對(duì)任意頻率都是適用的，以下稱遠(yuǎn)場(chǎng)漸近法.我們可以比較這兩種方法的計(jì)算結(jié)果，并以此來(lái)考察低頻近似方法的適用性.先討論聲源頻率為400Hz的低頻情況.圖3給出了快速地層中SH和SV橫波的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射指向性，其中，徑向刻度（0.5、1和1.5）表示了單位強(qiáng)度的聲源輻射到地層中的SH和SV橫波相對(duì)幅度值（以下各圖中該刻度的意義相同，不再贅述），豎直方向代表井軸.圖中外部和內(nèi)部的實(shí)線分別表示利用低頻近似法得到的SH及SV橫波的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射指向性，空心圓圈和叉號(hào)則分別表示利用遠(yuǎn)場(chǎng)漸近法（（10）式）計(jì)算得到的SH及SV橫波的波幅的指向性.計(jì)算SH指向性時(shí)，取φ=0°，場(chǎng)點(diǎn)位于yoz平面內(nèi)；計(jì)算SV指向性時(shí)，取φ=90°，場(chǎng)點(diǎn)位于xoz平面內(nèi).在這兩個(gè)參考平面之外的SH和SV的輻射指向性則分別以cosφ和sinφ的形式呈規(guī)律性的變化，如式（10）所示.因此，在以下的討論中，我們只考慮這兩個(gè)參考平面中的SH或SV的輻射指向性.

圖3 在快速地層條件下，聲源頻率為400Hz時(shí)，遠(yuǎn)場(chǎng)漸近法（標(biāo)識(shí)符號(hào)）和低頻近似法（曲線）得到的SH和SV橫波的輻射指向性的對(duì)比.徑向刻度為波幅Fig.3 SH-and SV-wave radiation patterns from asymptotic solution （markers）and low-frequency approximation solution（curves）for the fast formation at source frequency 400Hz.Radial labels denote radiation amplitude

對(duì)比這兩種方法的計(jì)算結(jié)果，可以看出兩者吻合很好，表明在滿足低頻條件時(shí)，低頻近似的方法是適用的.圖中SH橫波在豎直平面內(nèi)均勻輻射，呈圓形，而SV橫波的輻射呈現(xiàn)上下對(duì)稱的兩個(gè)圓，且在水平方向存在零點(diǎn)；此外，SH橫波的幅度恒大于SV橫波.綜上可知SH較SV對(duì)井外不同傾角的反射體具有更好的輻射覆蓋性.這種低頻條件下的偶極輻射指向性與單力源在無(wú)限大彈性介質(zhì)中的情形相似（Ben-Menahem and Kostek，1991），說(shuō)明低頻時(shí)，井孔對(duì)輻射聲場(chǎng)幾乎沒(méi)有影響，但是，隨著頻率增加，波長(zhǎng)變短，井孔對(duì)輻射場(chǎng)的調(diào)制作用變得重要起來(lái).

圖4給出了聲源頻率為3700Hz時(shí)，快速地層中SH和SV橫波的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射指向性，計(jì)算所用頻率在常規(guī)偶極測(cè)井的頻率范圍內(nèi).這時(shí)低頻近似解所需的條件不再滿足.圖中的實(shí)線和虛線表示利用（10）式計(jì)算得到的SH和SV橫波分別在yoz和xoz平面內(nèi)的輻射指向性.圖4與圖3低頻的情況相比，輻射波幅大大增加，輻射指向，特別是SH的指向，向水平面方向顯著增強(qiáng)，說(shuō)明此時(shí)探測(cè)與井平行或大致平行的反射體，比探測(cè)與井斜交的反射體更為有利.圖4與圖3對(duì)比表明在常規(guī)測(cè)井頻率下，井孔對(duì)輻射聲場(chǎng)有明顯的調(diào)制作用，低頻近似的結(jié)果不再可靠，這時(shí)應(yīng)該采用遠(yuǎn)場(chǎng)漸近解的結(jié)果.

圖4 在快速地層條件下，聲源頻率為3700Hz時(shí)，SH和SV橫波的輻射指向性.徑向刻度為波幅Fig.4 SH-and SV-wave radiation patterns for the fast formation at source frequency 3700Hz.Radial labels denote radiation amplitude

3.3 慢速地層對(duì)偶極聲源遠(yuǎn)場(chǎng)輻射特性的影響

在相同的工作頻率下，井中偶極聲源在慢速地層中輻射波的波長(zhǎng)較快速地層時(shí)大為減少，使得井孔對(duì)聲場(chǎng)輻射指向的調(diào)制作用增強(qiáng).圖5給出了聲源頻率為3700Hz時(shí)，慢速地層中SH和SV橫波的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射指向性，實(shí)線和虛線表示利用（10）式計(jì)算得到的SH和SV橫波分別在yoz和xoz平面內(nèi)的輻射指向性.與圖4快速地層情況相比，SH和SV橫波的輻射波幅大為降低，其指向性在井軸方向大為壓縮，體現(xiàn)了慢速地層中，由于波長(zhǎng)變短，井孔對(duì)輻射聲場(chǎng)的調(diào)制作用增強(qiáng).對(duì)比這兩種情況下SH及SV橫波的輻射指向性，可以得知，快速地層條件下SH和SV橫波的輻射性能及其在豎直平面內(nèi)的輻射覆蓋性較慢速地層要好.

圖5 在慢速地層條件下，聲源頻率為3700Hz時(shí)，SH和SV橫波的輻射指向性.徑向刻度為波幅Fig.5 SH-and SV-wave radiation patterns for the slow formation at source frequency 3700Hz.Radial labels denote radiation amplitude

偶極橫波遠(yuǎn)探測(cè)在套管井中的研究和應(yīng)用目前開(kāi)展的還很少.由于套管井的大量存在，研究套管井中偶極聲源在井外地層中的輻射特性是十分必要的.在偶極橫波遠(yuǎn)探測(cè)中，由于SH較SV具有更為重要的地位，所以在以下套管井的討論中，只對(duì)地層SH橫波的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射指向性做詳細(xì)研究.

3.4 套管井中SH橫波輻射特性

我們討論兩種情況：① 套管與地層耦合良好，② 套管與地層沒(méi)有耦合（稱為自由套管情況）.在①的情況下，聲源產(chǎn)生的聲場(chǎng)透過(guò)套管、水泥環(huán)，然后輻射到地層中去，這種情況的輻射聲場(chǎng)的振幅系數(shù)由式（4）給出.在②的情況下，穿過(guò)套管的波還需透過(guò)套管與地層之間的流體環(huán)，這種情況的輻射聲場(chǎng)的振幅系數(shù)由式（5）描述.圖6給出了聲源頻率為3700Hz時(shí)，裸眼井、套管耦合良好和自由套管下快速地層（表1）中的SH橫波的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射指向性.模擬計(jì)算中流體環(huán)的厚度為24mm.最外部實(shí)線（Open）表示裸眼井情況下的輻射指向性，中間的虛線（Free）代表自由套管下的指向性，最內(nèi)部的實(shí)線（Good）表示套管耦合良好下的指向性.從輻射到地層中的SH橫波的波幅大小來(lái)看，裸眼井情況下聲源輻射到地層中的SH波能量最大，其次是自由套管，反而當(dāng)套管耦合良好時(shí)，聲源輻射到地層中的SH橫波能量最小.這是因?yàn)榫o鄰聲源的鋼套管的聲阻抗遠(yuǎn)比地層的大，這一高阻抗層的存在明顯地降低了輻射到地層中的聲場(chǎng)能量.在自由套管情況下，套管與地層解耦，在聲源作用下振動(dòng)增強(qiáng)，故輻射的聲場(chǎng)能量也隨之增大.總的來(lái)講，雖然加套管之后，聲源輻射到地層中的SH橫波的能量有所減小，但是與裸眼井的情況相比，沒(méi)有量級(jí)上的差別，表明在快速地層的套管井中進(jìn)行偶極橫波遠(yuǎn)探測(cè)是可行的.

圖6 裸眼井、套管耦合良好和自由套管條件下，聲源頻率為3700Hz時(shí)，快速地層中SH橫波的輻射指向性Fig.6 Radiation patterns of SH waves for open hole，cased hole with good bonding，and cased hole with freepipe condition.Fast formation of Table 1is used and source frequency is 3700Hz

我們來(lái)考察慢速地層情況下，套管對(duì)偶極輻射的影響.圖7給出了聲源頻率為3700Hz時(shí)，裸眼井（Open）、套管耦合良好（Good）和自由套管（Free）下慢速地層 （表1）中的SH橫波的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射指向性.從輻射指向性的波幅大小來(lái)看，慢速地層中輻射波幅與快速地層（圖6）相比大為降低.雖然這時(shí)裸眼井情況下聲源輻射到地層中的能量仍然最大，但自由套管下輻射到地層中的能量比套管耦合良好時(shí)的能量小，這與快速地層的情況相反.造成這種情況的原因是：慢速地層中的自由套管會(huì)向地層輻射出馬赫波，從而減少了聲源向地層的直接輻射，這一情況的模擬和解釋將另文討論.總體來(lái)講，套管的存在，使得偶極聲場(chǎng)的輻射較裸眼井時(shí)降低.雖然聲源在井外地層中的輻射聲場(chǎng)具有一定的能量，但與快速地層的情況相比，輻射能量大幅度降低.由此可以推測(cè)慢速地層套管井中偶極橫波遠(yuǎn)探測(cè)的信噪比比快速地層時(shí)要低.

圖7 裸眼井、套管耦合良好和自由套管條件下，聲源頻率為3700Hz時(shí)，慢速地層中SH橫波的輻射指向性Fig.7 Radiation patterns of SH waves for open hole，cased hole with good bonding，and cased hole with freepipe condition.Slow formation of Table 1is used and source frequency is 3700Hz

4 實(shí)例分析

綜合本文的理論預(yù)測(cè)結(jié)果，我們對(duì)一個(gè)套管井中偶極橫波遠(yuǎn)探測(cè)成像的實(shí)例進(jìn)行分析和解釋.圖8中第一道是西北某一快速地層的套管井中偶極橫波測(cè)井的原始波形圖，顯示的主要為沿井傳播的彎曲波.第二道顯示了成像井段的深度.聲源輻射到井外，并由地層中反射體反射回來(lái)的波的振幅一般很小，被淹沒(méi)或隱藏于彎曲波之中.但是，通過(guò)成像處理，這些反射波可以被提取出來(lái)，并用于反射體的成像處理.處理結(jié)果由圖中的第三和第四道所示.由于偶極聲源的指向性，采用四分量的測(cè)量數(shù)據(jù)（xx，xy，yx，yy；圖中第一道顯示的是xx分量的數(shù)據(jù)），可以選擇不同的輻射方向進(jìn)行成像.第三和第四道的輻射方向分別是N—S和E—W方向.由圖中的成像結(jié)果可見(jiàn)，在X628m的深度左右，距井約10m處，存在一近乎于垂直的反射體（圖中紅色橢圓所圈部分）.該反射體在N—S方向上清晰可見(jiàn)，但在E—W方向上的成像結(jié)果相對(duì)模糊，幅值較低.在垂直反射體所處深度之上，存在一個(gè)過(guò)井的傾斜反射體構(gòu)造（黑色虛線所示），在這兩個(gè)輻射方向上都可以看到，且清晰度相當(dāng).圖8套管井遠(yuǎn)探測(cè)成像探到的井外反射體證實(shí)了前面關(guān)于套管井中進(jìn)行遠(yuǎn)探測(cè)測(cè)井的可行性預(yù)測(cè)，同時(shí)還看到了成像結(jié)果具有偶極輻射所示的方向性.下面我們對(duì)成像結(jié)果做進(jìn)一步的理論分析.

對(duì)于一個(gè)與井近乎平行的反射體，波的輻射和反射的路徑與井軸近乎垂直，即（10）式的θ取值差不多是90°，由（10）式可知這時(shí)輻射的SV波為零，反射波幾乎完全是SH波的貢獻(xiàn).（10）式表明SH波幅隨輻射方位角呈cosφ變化規(guī)律.圖8中垂直反射體在第三道中N—S方向上成像較強(qiáng)，在第四道中E—W方向上成像較弱，表明N—S輻射方向與垂直反射體的走向之間的夾角φ比E—W方向時(shí)小.偶極輻射理論表明當(dāng)反射體的走向與聲源指向平行時(shí)（φ=0°）其受到的SH波輻射為最強(qiáng).圖8中的成像結(jié)果表明反射體的走向差不多是在N—S方向.對(duì)這一套管井中遠(yuǎn)探測(cè)成像實(shí)例的分析結(jié)果與前述的偶極聲源在套管井中的輻射特征相符合.

5 結(jié)論

通過(guò)以上研究工作，得出以下結(jié)論：

（1）遠(yuǎn)探測(cè)測(cè)井時(shí)偶極聲源輻射的遠(yuǎn)場(chǎng)聲場(chǎng)是幾何擴(kuò)散因子為距離倒數(shù)的球面波，但地層類型，聲源頻率及套管的存在與否對(duì)輻射指向性有明顯的調(diào)制作用；

（2）聲源頻率越高，地層（橫波）速度越低，即波長(zhǎng)相對(duì)于井徑越小時(shí)，調(diào)制作用越明顯，當(dāng)輻射指向偏向于井軸時(shí)更是如此；

（3）在快速地層中的套管井中進(jìn)行偶極橫波遠(yuǎn)探測(cè)測(cè)井，無(wú)論套管與地層是否耦合，都是可行的，盡管套管的存在使得輻射到地層中的能量（相對(duì)于裸眼井的情況）有所降低.對(duì)套管井遠(yuǎn)探測(cè)成像實(shí)例的分析證明了偶極聲源輻射的理論結(jié)果.

圖8 在快速地層條件下，套管井中偶極橫波遠(yuǎn)探測(cè)成像處理結(jié)果Fig.8 A cased-hole single-well shear-wave imaging example

附錄

A 裸眼井條件下M矩陣和b向量各元素表

達(dá)式

其中，a 是井孔半徑，k是軸向波數(shù)，f= （k2-k2f）1／2是井中流體聲波的徑向波數(shù)，p= （k2-ω2／α2）1／2是地層縱波的徑向波數(shù)，s= （k2-ω2／β2）1／2是地層橫波的徑向波數(shù)，ρf是流體密度，ρ是地層密度，ω是圓頻率，α是地層縱波速度，β是地層橫波速度.

B 套管井（耦合良好）條件下T矩陣各元素

表達(dá)式

C 自由套管條件下H矩陣各元素表達(dá)式

其中，r2是套管與流體層界面到井軸的距離，r3是地層到井軸的距離.由T矩陣元素表示的H 元素的說(shuō)明如下：T右上角的數(shù)字代表圓柱層序號(hào)（套管、流體環(huán)、地層的序號(hào)分別為1、2、3），右上角的字母i代表在層的內(nèi)半徑處取值，t代表在層的外半徑處取值，未列出的矩陣H的元素取值為0.

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