利用GRACE重力衛(wèi)星觀測(cè)數(shù)據(jù)反演全球時(shí)變地球重力場(chǎng)模型

冉將軍，許厚澤，鐘敏＊，馮偉，沈云中，張興福，易維勇

1中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430077

2中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049

3同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092

4同濟(jì)大學(xué)空間信息科學(xué)及可持續(xù)發(fā)展應(yīng)用中心，上海 200092

5廣東工業(yè)大學(xué)土木與交通工程學(xué)院，廣州 510006

6慕尼黑工業(yè)大學(xué)，德國(guó)慕尼黑 80333

1 引言

GRACE（Gravity Recovery And Climate Experiment）自2002年發(fā)射后，持續(xù)十多年來(lái)給地球科學(xué)相關(guān)領(lǐng)域提供了地球表層質(zhì)量時(shí)空分布的信息（Wouters etal.，2008；Chen etal.，2006；Tapley etal.，2003）.這些信息對(duì)冰川學(xué)、水文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)以及地球物理等學(xué)科的發(fā)展起到了很大的推動(dòng)作用.而GRACE衛(wèi)星直接觀測(cè)數(shù)據(jù)并不是直接反映地球表層質(zhì)量分部信息，而是所搭載的各種儀器在地球重力場(chǎng)影響下的觀測(cè)數(shù)據(jù)，比如星載加速計(jì)數(shù)據(jù)、衛(wèi)星姿態(tài)數(shù)據(jù)、微波測(cè)距系統(tǒng)數(shù)據(jù)和GPS接收機(jī)數(shù)據(jù)等.如何從這些原始數(shù)據(jù)中提取出需要的地球質(zhì)量分布信號(hào)一直是科學(xué)界的研究難題與熱點(diǎn)之一.

到目前為止，國(guó)際上僅有少數(shù)幾家機(jī)構(gòu)可以完成這項(xiàng)復(fù)雜工作，主要是美國(guó)德克薩斯大學(xué)奧斯汀分校空間研究中心CSR（Center for Space Research）、德國(guó)地學(xué)研究中心GFZ（GeoForschungsZentrum）、美國(guó)宇航局噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室JPL（Jet Propulsion Laboratory）、法國(guó)國(guó)家空間局、荷蘭代爾夫特理工大學(xué)和德國(guó)波恩大學(xué)等.國(guó)內(nèi)的相關(guān)同行也為GRACE模式下利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行重力場(chǎng)模型的反演做出了大量的工作和貢獻(xiàn)，如章傳銀等（2003）、周旭華（2005）、羅佳（2003）、王正濤（2005）、張興福（2007）、鄒賢才（2007）、鄭偉（2007）、鄭偉等（2009）、徐天河（2004）、肖云（2006）、肖云等（2006）和游為等（2012）分別利用動(dòng)力學(xué)兩步法和一步法、基線法、能量法和短弧長(zhǎng)法等進(jìn)行了靜態(tài)地球重力場(chǎng)的反演工作，取得了很大的研究進(jìn)步.此外，Zhao等（2011）介紹了經(jīng)驗(yàn)參數(shù)對(duì)動(dòng)力學(xué)法反演時(shí)變地球重力場(chǎng)的影響.本文通過(guò)處理JPL發(fā)布的GRACE Level 1B數(shù)據(jù)，基于短弧長(zhǎng)法開(kāi)發(fā)了一套由低軌衛(wèi)星數(shù)據(jù)解算重力場(chǎng)的系統(tǒng)ANGELS（ANalyst of Gravity Estimation with Low-orbit Satellites），反演出的時(shí)變重力場(chǎng)模型精度接近國(guó)際同行最新發(fā)布的時(shí)變重力場(chǎng)模型精度.

短弧長(zhǎng)法最早由Schneider（1968）在1968年提出，并將此方法用于定軌，且把短弧長(zhǎng)法引進(jìn)到重力場(chǎng)確定領(lǐng)域；在CHAMP和GRACE等重力衛(wèi)星成功發(fā)射后，Mayer-Gürr（2006）把此法成功地用于處理這兩類(lèi)重力衛(wèi)星的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù).游為等（2011）分析了聯(lián)合軌道與星間距離的積分方程反演地球重力場(chǎng)的方法，但未對(duì)星間距離變率做出討論，也沒(méi)有對(duì)短弧長(zhǎng)法本身的誤差特性進(jìn)行分析.本文深入分析了短弧長(zhǎng)法的誤差特性，及其相較于動(dòng)力學(xué)法的優(yōu)勢(shì)所在，并利用短弧長(zhǎng)法，根據(jù)實(shí)測(cè)GRACE衛(wèi)星軌道與星間距離變率數(shù)據(jù)，有效提取出了地球質(zhì)量分布的時(shí)變重力場(chǎng)信號(hào)，接近國(guó)際水平.

2 基于短弧長(zhǎng)法的重力反演模型及其誤差分析

2.1 反演模型

人造衛(wèi)星繞地球質(zhì)心飛行，遵循牛頓運(yùn)動(dòng)定律.將衛(wèi)星飛行軌跡劃分成多個(gè)弧段，各弧段邊界點(diǎn)位置向量rA、rB和與弧段中其他位置向量r（τ）的關(guān)系，以及地球重力位系數(shù)的聯(lián)系之間，可以建立如下函數(shù)模型（Mayer，2007）：

式（3）可重新整理為

其中，

表示衛(wèi)星在時(shí)刻所受到的加速度合力，包括中心引力、地球非球形引力、固體潮、海潮、大氣阻力、太陽(yáng)光壓、地球反照輻射壓等.而地球非球形引力所導(dǎo)致的加速度與地球重力場(chǎng)球諧系數(shù)間存在直觀的線性關(guān)系：

式里，β表示展開(kāi)到某一階次的地球重力場(chǎng)球諧系數(shù).G表示衛(wèi)星所受加速度與地球重力位系數(shù)的關(guān)系.

綜合上述函數(shù)關(guān)系，可得如下位置與重力位系數(shù)之間的函數(shù)模型：

對(duì)于GRACE衛(wèi)星的低低衛(wèi)衛(wèi)跟蹤模式，把兩顆衛(wèi)星的基線在視線方向做投影，可得到星間距離與星間距離變率的函數(shù)關(guān)系：

動(dòng)力學(xué)法與短弧長(zhǎng)法在弧段選擇上存在一定差別.目前國(guó)際上用動(dòng)力學(xué)法反演地球重力場(chǎng)的主要機(jī)構(gòu)通常把弧長(zhǎng)選擇為24h.而短弧長(zhǎng)法的弧長(zhǎng)選擇則不應(yīng)大于衛(wèi)星的飛行周期的二分之一，常以30 min弧長(zhǎng)為佳.由軌道積分的性質(zhì)可知，積分弧段越長(zhǎng)，積分所得的參考軌道與衛(wèi)星實(shí)測(cè)軌道的差值就越大.對(duì)于此類(lèi)型誤差的改正，國(guó)際上有不少相應(yīng)的處理方法，如荷蘭代爾夫特理工大學(xué)采用軌道擬合的方式降低誤差（Liu，2008）.雖然短弧長(zhǎng)法的弧段僅選擇30min，但仍然存在積分誤差.本文采用梯度改正方法來(lái)降低該類(lèi)誤差的影響，其基本思想是把衛(wèi)星在位置r（τ）處的力模型在運(yùn)動(dòng)學(xué)軌道處一階Tayor展開(kāi)，略去二階以上的高階項(xiàng)，再對(duì)此展開(kāi)項(xiàng)進(jìn)行多次積分，得到相應(yīng)的軌道改正項(xiàng).再把此軌道改正項(xiàng)加到由弧段邊界值算出的參考軌道里，得到更精確的參考軌道.

式中，f（τ，τ′）表示力模型的梯度項(xiàng)，r為真實(shí)軌道，由于真實(shí)軌道無(wú)法獲得，因此用運(yùn)動(dòng)學(xué)軌道rk代替，r＾為由弧段邊界值計(jì)算的參考軌道，Δr（τ′）即為梯度改正項(xiàng).聯(lián)合式（6），對(duì)上式進(jìn)行整理并寫(xiě)成矩陣形式，可得

式中，T為梯度改正項(xiàng)的矩陣表達(dá)形式，I表示單位矩陣，K矩陣同式（7），B和b的形式如下.

則通過(guò)梯度改正后的軌道得

通過(guò)聯(lián)合（10）、（11）和（16）可建立融合軌道與星間距離或距離變率反演地球重力場(chǎng)的函數(shù)模型（冉將軍等，2012）.

2.2 誤差分析

利用實(shí)測(cè)重力衛(wèi)星數(shù)據(jù)反演地球重力場(chǎng)模型時(shí)，參考軌道的正確程度直接影響到重力場(chǎng)模型的反演精度.而參考軌道深受軌道誤差和設(shè)計(jì)矩陣誤差等誤差源的影響.因此，下面通過(guò)設(shè)計(jì)3個(gè)算例，對(duì)短弧長(zhǎng)法的這兩種誤差源進(jìn)行分析.

為了進(jìn)行誤差分析，根據(jù)式（9）設(shè)計(jì)如下3個(gè)算例.算例一，首先計(jì)算出一個(gè)弧段的開(kāi)普勒軌道rtrue作為真實(shí)軌道；然后用邊界位置rA，rB以及加速度f(wàn)＝Gβ（由于真實(shí)軌道為開(kāi)普勒軌道，所以此處加速度僅考慮中心引力）積分出參考軌道r（τ）；最后可以得到開(kāi)普勒軌道rtrue與參考軌道r（τ）的差值，結(jié)果如圖1所示，其中error-free＿x、error-free＿y和error-free＿z分別表示該差值的X，Y和Z分量.從圖1可知，該項(xiàng)差值只有10-9量級(jí).

為了了解設(shè)計(jì)矩陣G的誤差對(duì)參考軌道的影響，設(shè)計(jì)了算例二.用加入了均值為0，方差為1.73×10-2m誤差（如random＿error＿x，random＿error＿y和random＿error＿z所示）的開(kāi)普勒軌道計(jì)算設(shè)計(jì)矩陣G，再利用G根據(jù)式（9）算出一組新的參考軌道.此參考軌道與無(wú)誤差的開(kāi)普勒軌道差值的X，Y和Z分量如圖1里only＿G＿disturbed＿x，only＿G＿disturbed＿y和only＿G＿disturbed＿z.此項(xiàng)差值為10-6量級(jí).

在實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理中，衛(wèi)星的位置通常采用GPS定軌，而目前GPS的定軌精度通常在2～3cm左右，遠(yuǎn)低于GRACE星間距離變率數(shù)據(jù)在微米量級(jí)的設(shè)計(jì)精度.本文所述梯度改正的目的在于對(duì)軌道進(jìn)行改正，以減少軌道誤差對(duì)重力場(chǎng)反演的影響.算例三利用式（13）算出的梯度改正對(duì)算例二加入了誤差的軌道進(jìn)行改正，從而得到新的參考軌道.該參考軌道與無(wú)誤差開(kāi)普勒軌道的差值如圖1里gradient＿not＿test3＿x，gradient＿not＿test3＿y和gradient＿not＿test3＿z所示.其量級(jí)在10-9到10-7量級(jí).相比于沒(méi)經(jīng)過(guò)梯度改正的算例二在10-6量級(jí)的殘差，經(jīng)過(guò)梯度改正后，取得了至少一個(gè)量級(jí)的改善.

3 利用GRACE實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)反演時(shí)變地球重力場(chǎng)模型

本文以ITG-GRACE2010為靜態(tài)參考重力場(chǎng)模型，采用JPL提供的高精度的軌道數(shù)據(jù)、加速度計(jì)數(shù)據(jù)、星間距離變率數(shù)據(jù)、衛(wèi)星姿態(tài)數(shù)據(jù)以及GFZ發(fā)布的大氣與海洋混疊模型進(jìn)行月重力場(chǎng)信號(hào)的提取.由于衛(wèi)星在軌飛行時(shí)不僅監(jiān)測(cè)到了地球表層的質(zhì)量變化，同時(shí)也會(huì)因?yàn)楣腆w潮，海潮，極潮和相對(duì)論效應(yīng)等產(chǎn)生攝動(dòng).因此需要采用較為準(zhǔn)確的模型進(jìn)行扣除，以得到“干凈”的時(shí)變重力場(chǎng)信號(hào).

本文采用的背景模型詳見(jiàn)表1.

利用本文所述函數(shù)模型，結(jié)合GRACE觀測(cè)數(shù)據(jù)，解算了第一版的IGG-CAS系列時(shí)變重力場(chǎng)模型.為了比較第一版IGG-CAS時(shí)變重力場(chǎng)模型的精度，隨機(jī)選擇了2009年9月份發(fā)布GRACE時(shí)變重力場(chǎng)模型的官方機(jī)構(gòu)CSR，JPL和GFZ的RL05版本與IGG-CAS做比較，結(jié)果如圖2所示.從圖中畫(huà)出的每階大地水準(zhǔn)面差距可知，從2到59階，IGG-CAS與其他模型的每階大地水準(zhǔn)面差距相當(dāng).到60階時(shí)，各模型的每階大地水準(zhǔn)面差距從大到小的排列順序?yàn)椋篏FZ-RL05，JPL-RL05，IGG-CAS和CSR-RL05.

表1 重力場(chǎng)模型確定時(shí)的背景模型Table 1 Background models for gravity field determination

4 IGG-CAS時(shí)變重力場(chǎng)模型驗(yàn)證與地球物理解釋

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文的IGG-CAS時(shí)變重力場(chǎng)模型，我們選擇2004年至2010年共84個(gè)月時(shí)變重力場(chǎng)模型為例，將其與CSR、GFZ和JPL公布的最新RL05版本的GRACE數(shù)據(jù)產(chǎn)品進(jìn)行了比較分析.首先用衛(wèi)星激光測(cè)距（SLR）結(jié)果替換了二階項(xiàng)（Cheng and Tapley，2004），并加入了Swenson等（2008）計(jì)算的地心改正項(xiàng)；采用Swenson和Wahr（2006）提出的滑動(dòng)窗口方法分別去除同一次的奇數(shù)階和偶數(shù)階位系數(shù)的相關(guān)性，減少南北方向“條帶”誤差的影響；并使用了500km高斯平滑來(lái)降低高階位系數(shù)的噪聲（Jekeli，1981）；最終轉(zhuǎn)化為全球分布的等效水柱高變化（Wahr，1981）.鑒于篇幅所限，本文僅隨機(jī)畫(huà)出四家時(shí)變重力場(chǎng)模型在2006年1月和2007年12月的時(shí)變信息，如圖3和圖4所示.由圖可知，IGG-CAS反演得到的2006年1月和2007年12月的全球時(shí)變重力場(chǎng)信號(hào)（等效水柱高）與CSR、GFZ和JPL公布的時(shí)變重力場(chǎng)結(jié)果在空間分布上符合得很好.例如，在亞馬遜流域和剛果河流域等季節(jié)性陸地水變化較大的地區(qū)，四家GRACE反演結(jié)果的空間分布十分接近.我們進(jìn)一步利用2004—2010年的四家GRACE反演結(jié)果計(jì)算得到了時(shí)變重力場(chǎng)變化的周年振幅和長(zhǎng)期趨勢(shì).如圖5所示，不同機(jī)構(gòu)反演的全球質(zhì)量變化周年振幅的空間分布較為一致，振幅較大的地區(qū)主要在南美的亞馬遜河流域、非洲的尼日爾河流域和東南亞的季風(fēng)區(qū).如圖6所示，不同機(jī)構(gòu)得到的全球質(zhì)量長(zhǎng)期變化趨勢(shì)的空間分布也十分一致，并成功觀測(cè)到印度北部、阿拉斯加、格林蘭和西南極等地區(qū)的質(zhì)量虧損信號(hào)，以及北美等地的冰川均衡調(diào)整導(dǎo)致的質(zhì)量增加信號(hào)等.

圖1 短弧長(zhǎng)法各種誤差源分析（縱坐標(biāo)取以10為底對(duì)數(shù)）Fig.1 Error source analysis of short arc approach（lg10scaled）

圖2 GFZ-RL05，JPL-RL05，CSR-RL05和IGG-CAS每階大地水準(zhǔn)面信號(hào)比較Fig.2 Goid height of GFZ-RL05，JPL-RL05，CSR-RL05and IGG-CAS

圖3 2006年1月GRACE反演的時(shí)變重力場(chǎng)計(jì)算得到的全球質(zhì)量分布異常（等效水柱高，單位：cm）.（a）IGG-CAS，（b）CSR，（c）GFZ和（d）JPLFig.3 Mass anomaly from GRACE in Jan 2006（equivalent water height in cent-meter）：（a）IGG-CAS，（b）CSR，（c）GFZ and（d）JPL

圖4 2007年12月GRACE反演的時(shí)變重力場(chǎng)計(jì)算得到的全球質(zhì)量分布異常（等效水柱高，單位：cm）.（a）IGG-CAS，（b）CSR，（c）GFZ和（d）JPLFig.4 Mass anomaly from GRACE in Dec 2007（equivalent water height in cent-meter）（a）IGG-CAS，（b）CSR，（c）GFZ and（d）JPL

此外，我們利用四家GRACE時(shí)變模型對(duì)亞馬遜流域、長(zhǎng)江流域以及非洲撒哈拉沙漠地區(qū)的陸地水變化信號(hào)進(jìn)行了估計(jì).采用Oki和Sud（1998）提供的流域數(shù)據(jù)得到亞馬遜流域和長(zhǎng)江流域的范圍；撒哈拉地區(qū)選擇了經(jīng)緯度范圍為（10°E—20°E，20°N—30°N）的沙漠地區(qū).如圖7a所示，在亞馬遜流域，四家結(jié)果都表現(xiàn)出一致的周年變化和年際變化.2004至2010年，IGG-CAS得到的亞馬遜流域陸地水周年振幅為14±1cm等效水柱高，略小于其他三家的結(jié)果（CSR為16±1cm等效水柱高、GFZ為15±1cm等效水柱高和JPL為16±1cm等效水柱高）.在長(zhǎng)江流域，四家結(jié)果的周年信號(hào)也基本一致.2004—2010年，CSR、GFZ和JPL三家結(jié)果符合得較好，相關(guān)性大于0.97；IGG-CAS與CSR、GFZ和JPL結(jié)果的相關(guān)性分別為0.87、0.84和0.86.沙漠地區(qū)的時(shí)變重力場(chǎng)信號(hào)相對(duì)較小，因此不同機(jī)構(gòu)反演的沙漠地區(qū)的時(shí)變結(jié)果可以用來(lái)評(píng)估其反演的精度水平.圖6c給出四家機(jī)構(gòu)反演的撒哈拉沙漠地區(qū)的時(shí)變信號(hào).2004—2010年，IGG-CAS、CSR、GFZ和JPL反演結(jié)果的均方差分別為1.5cm、1.1cm、1.1cm和1.2cm等效水柱高.IGG-CAS時(shí)變重力場(chǎng)模型結(jié)果的精度與其他三家的結(jié)果在同一水平.

圖5 基于（a）IGG-CAS、（b）CSR、（c）GFZ和（d）JPL反演的時(shí)變重力場(chǎng)計(jì)算得到的2004—2010年的全球質(zhì)量變化周年振幅（等效水柱高，單位：cm）Fig.5 Annual amplitude of mass anomaly from 2004to 2010calculated by GRACE monthly models from（a）IGG-CAS，（b）CSR，（c）GFZ and（d）JPL（equivalent water height in cent-meter）

圖6 基于（a）IGG-CAS、（b）CSR、（c）GFZ和（d）JPL反演的時(shí)變重力場(chǎng)計(jì)算得到的2004—2010年的全球質(zhì)量變化趨勢(shì)（等效水柱高，單位：cm／yr）Fig.6 Mass anomaly trend from 2004to 2010calculated by GRACE monthly models from（a）IGG-CAS，（b）CSR，（c）GFZ and（d）JPL（equivalent water height in cent-meter）

5 結(jié)論

本文分析了短弧長(zhǎng)法的重力反演理論及其誤差源，并利用此方法解算了第一版的IGG-CAS系列時(shí)變重力場(chǎng)模型，且與GFZ，CSR和JPL發(fā)布GRACE時(shí)變重力場(chǎng)模型做了詳細(xì)的比較，得到如下結(jié)論.

（1）通過(guò)誤差分析表明，利用梯度改正能提高參考軌道的精度.

（2）從每階大地水準(zhǔn)面差距的角度比較，IGGCAS模型精度接近GFZ，JPL和CSR發(fā)布的RL05模型.

圖7 在（a）亞馬遜流域，（b）長(zhǎng)江流域和（c）撒哈拉沙漠地區(qū)，基于CSR、IGG-CAS、GFZ和JPL反演的時(shí)變重力場(chǎng)計(jì)算得到的陸地水變化（等效水柱高，單位：cm）Fig.7 Water storage changes of（a）Amazon river，（b）Changjiang river and（c）Sahara desert calculated by GRACE monthly solutions from IGG-CAS，CSR，GFZ and JPL（equivalent water height in cent-meter）

（3）通過(guò)把四家模型做相同的去條帶與高斯濾波處理，發(fā)現(xiàn)IGG-CAS時(shí)變重力場(chǎng)結(jié)果與CSR、GFZ和JPL等公布的結(jié)果在時(shí)空分布上具有很好的一致性.例如，在長(zhǎng)江流域時(shí)變信號(hào)的時(shí)間序列相關(guān)系數(shù)均大于0.8.

（4）通過(guò)進(jìn)一步比較四家模型的時(shí)變信號(hào)在2004至2010年間的周年振幅可知：IGG-CAS，CSR-RL05，GFZ-RL05和JPL-RL05，亞馬遜流域陸地水周年振幅分別為14±1cm，16±1cm、15±1cm和16±1cm等效水柱高.

（5）通過(guò)反演撒哈拉沙漠干旱地區(qū)的時(shí)變信號(hào)來(lái)評(píng)估重力場(chǎng)模型的精度水平，可以發(fā)現(xiàn)，IGGCAS、CSR、GFZ和JPL在撒哈拉沙漠反演結(jié)果的均方差分別為1.5cm、1.1cm、1.1cm和1.2cm等效水柱高.

綜合表明IGG-CAS時(shí)變重力場(chǎng)反演模型的精度接近目前國(guó)外主要機(jī)構(gòu)最新公布的時(shí)變重力場(chǎng)模型的精度.

致謝 感謝NASA JPL以及德國(guó)GFZ提供的GRACE Level 1B數(shù)據(jù)以及荷蘭Fugro公司柳響林博士給予的幫助.

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