導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

李華杰

【摘要】導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶，它的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題提供了新的視野，是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、探求函數(shù)的極值最值、求曲線的斜率的有力工具。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)函數(shù)曲線的斜率極值和最值導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）是一個特殊函數(shù)，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想。新課程增加了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，隨著課改的不斷深入，導(dǎo)數(shù)知識考查的要求逐漸加強，而且導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時的不可缺少的工具。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)研究導(dǎo)數(shù)的一個重要載體，函數(shù)問題涉及高中數(shù)學(xué)較多的知識點和數(shù)學(xué)思想方法。近年好多省的高考題中都出現(xiàn)以函數(shù)為載體，通過研究其圖像性質(zhì)，來考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究能力的試題。本人結(jié)合教學(xué)實踐，就導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作個初步探究。

有關(guān)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用主要類型有：求函數(shù)的切線，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值，用導(dǎo)數(shù)證明不等式。這些類型成為近兩年最閃亮的熱點，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點之一，預(yù)計也是“新課標”下高考的重點。

一、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線

例1：已知曲線y=x3-3x2-1，過點（1，-3）作其切線，求切線方程。

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解。

解：y′=3x2-6x，當(dāng)x=1時y′=-3，即所求切線的斜率為-3.故所求切線的方程為y+3=-3(x-1)，即為：y=-3x.

方法提升：函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率。既就是說，曲線y=f(x)在點P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率是f′(x0)，相應(yīng)的切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0)。

二、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

例2：求函數(shù)y=x3-3x2-1的單調(diào)區(qū)間。

分析：求出導(dǎo)數(shù)y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范圍即可。

解：y′=3x2-6x，由y′>0得3x2-6x﹥0，解得x﹤0或x﹥2。

由y′<0得3x2-6x﹤0，解得0﹤x＜2。

故所求單調(diào)增區(qū)間為(-∞，0)∪(2，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，2)。

方法提升：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定f(x)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f′(x)；（3）在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′

(x)>0和f′(x)<0；（4）確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論。

三、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

例3．求函數(shù)f(x)=(1/3)x3-4x+4的極值

解：由f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.

當(dāng)x變化時，y′、y的變化情況如下：

當(dāng)x=－2時，y有極大值f(-2)=－（28/3），當(dāng)x=2時，y有極小值f(2)=－(4/3).

方法提升：求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟是：（1）確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)；（2）求f′(x)=0的所有實數(shù)根；（3）對每個實數(shù)根進行檢驗，判斷在每個根（如x0）的左右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號如何變化，如果f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是極大值；如果f′(x)的符號由負變正，則f(x0)是極小值.。注意：如果f′(x)=0的根x=x0的左右側(cè)符號不變，則f(x0)不是極值。

四、用導(dǎo)數(shù)證明不等式

證明不等式彰顯導(dǎo)數(shù)方法運用的靈活性把要證明的一元不等式通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)>0(<0)再通過求f(x)的最值,實現(xiàn)對不等式證明,導(dǎo)數(shù)應(yīng)用為解決此類問題開辟了新的路子,使過去不等式的證明方法從特殊技巧變?yōu)橥ǚ?彰顯導(dǎo)數(shù)方法運用的靈活性、普適性。

例(1)求證:當(dāng)a≥1時,不等式對于n∈R恒成立.

(2)對于在(0,1)中的任一個常a,問是否存在x0>0使得ex0-x0-1>a·x022ex0成立?如果存在,求出符合條件的一個x0;否則說明理由。

分析:(1)證明:(Ⅰ)在x≥0時,要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成立。

只需證:ex≤a2x2ex+x+1即需證:1≤a2x2+x+1ex①

令y(x)=a2x2+x+1ex,求導(dǎo)數(shù)y′(x)=ax+1·ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex

∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x)≥0

∴f(x)為增函數(shù),故f(x)≥y(0)=1,從而①式得證

(Ⅱ)在時x≤0時,要使ex-x-1≤ax2e|x|2成立。

只需證:ex≤a2x2ex+x+1,即需證:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x②

令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求導(dǎo)數(shù)得m′(x)=-xe-2x[ex+a(x-1)]

而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0時為增函數(shù)

故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,從而m(x)≤0

∴m(x)在x≤0時為減函數(shù),則m(x)≥m(0)=1,從而②式得證

由于①②討論可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1時,恒成立

(2)解:ex0-x0-1≤a·x02|x|2ex0將變形為ax022+x0+1ex0-1<0③

要找一個x0>0,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1的最小值,

滿足t(x)min<0即可,對t(x)求導(dǎo)數(shù)t′(x)=x(a-1ex)

令t′(x)=0得ex=1a,則x=-lna,取X0=-lna

在0-lna時,t′(x)>0

t(x)在x=-lna時,取得最小值t(x0)=a2(lna)2+a(-lna+1)-1

下面只需證明:a2(lna)2-alna+a-1<0,在0

又令p(a)=a2(lna)2-alna+a-1,對p(a)關(guān)于a求導(dǎo)數(shù)

則p′(a)=12(lna)2≥0,從而p(a)為增函數(shù)

則p(a)

于是t(x)的最小值t(-lna)<0

因此可找到一個常數(shù)x0=-lna(0

導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用,為我們解決函數(shù)問題提供了有力的工具,用導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)中的最值問題,不等式問題,還可以解析幾何相聯(lián)系,可以在知識的網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計問題。因此,在教學(xué)中,要突出導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

【摘要】導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶，它的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題提供了新的視野，是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、探求函數(shù)的極值最值、求曲線的斜率的有力工具。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)函數(shù)曲線的斜率極值和最值導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）是一個特殊函數(shù)，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想。新課程增加了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，隨著課改的不斷深入，導(dǎo)數(shù)知識考查的要求逐漸加強，而且導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時的不可缺少的工具。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)研究導(dǎo)數(shù)的一個重要載體，函數(shù)問題涉及高中數(shù)學(xué)較多的知識點和數(shù)學(xué)思想方法。近年好多省的高考題中都出現(xiàn)以函數(shù)為載體，通過研究其圖像性質(zhì)，來考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究能力的試題。本人結(jié)合教學(xué)實踐，就導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作個初步探究。

有關(guān)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用主要類型有：求函數(shù)的切線，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值，用導(dǎo)數(shù)證明不等式。這些類型成為近兩年最閃亮的熱點，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點之一，預(yù)計也是“新課標”下高考的重點。

一、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線

例1：已知曲線y=x3-3x2-1，過點（1，-3）作其切線，求切線方程。

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解。

解：y′=3x2-6x，當(dāng)x=1時y′=-3，即所求切線的斜率為-3.故所求切線的方程為y+3=-3(x-1)，即為：y=-3x.

方法提升：函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率。既就是說，曲線y=f(x)在點P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率是f′(x0)，相應(yīng)的切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0)。

二、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

例2：求函數(shù)y=x3-3x2-1的單調(diào)區(qū)間。

分析：求出導(dǎo)數(shù)y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范圍即可。

解：y′=3x2-6x，由y′>0得3x2-6x﹥0，解得x﹤0或x﹥2。

由y′<0得3x2-6x﹤0，解得0﹤x＜2。

故所求單調(diào)增區(qū)間為(-∞，0)∪(2，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，2)。

方法提升：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定f(x)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f′(x)；（3）在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′

(x)>0和f′(x)<0；（4）確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論。

三、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

例3．求函數(shù)f(x)=(1/3)x3-4x+4的極值

解：由f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.

當(dāng)x變化時，y′、y的變化情況如下：

當(dāng)x=－2時，y有極大值f(-2)=－（28/3），當(dāng)x=2時，y有極小值f(2)=－(4/3).

方法提升：求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟是：（1）確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)；（2）求f′(x)=0的所有實數(shù)根；（3）對每個實數(shù)根進行檢驗，判斷在每個根（如x0）的左右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號如何變化，如果f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是極大值；如果f′(x)的符號由負變正，則f(x0)是極小值.。注意：如果f′(x)=0的根x=x0的左右側(cè)符號不變，則f(x0)不是極值。

四、用導(dǎo)數(shù)證明不等式

證明不等式彰顯導(dǎo)數(shù)方法運用的靈活性把要證明的一元不等式通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)>0(<0)再通過求f(x)的最值,實現(xiàn)對不等式證明,導(dǎo)數(shù)應(yīng)用為解決此類問題開辟了新的路子,使過去不等式的證明方法從特殊技巧變?yōu)橥ǚ?彰顯導(dǎo)數(shù)方法運用的靈活性、普適性。

例(1)求證:當(dāng)a≥1時,不等式對于n∈R恒成立.

(2)對于在(0,1)中的任一個常a,問是否存在x0>0使得ex0-x0-1>a·x022ex0成立?如果存在,求出符合條件的一個x0;否則說明理由。

分析:(1)證明:(Ⅰ)在x≥0時,要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成立。

只需證:ex≤a2x2ex+x+1即需證:1≤a2x2+x+1ex①

令y(x)=a2x2+x+1ex,求導(dǎo)數(shù)y′(x)=ax+1·ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex

∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x)≥0

∴f(x)為增函數(shù),故f(x)≥y(0)=1,從而①式得證

(Ⅱ)在時x≤0時,要使ex-x-1≤ax2e|x|2成立。

只需證:ex≤a2x2ex+x+1,即需證:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x②

令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求導(dǎo)數(shù)得m′(x)=-xe-2x[ex+a(x-1)]

而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0時為增函數(shù)

故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,從而m(x)≤0

∴m(x)在x≤0時為減函數(shù),則m(x)≥m(0)=1,從而②式得證

由于①②討論可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1時,恒成立

(2)解:ex0-x0-1≤a·x02|x|2ex0將變形為ax022+x0+1ex0-1<0③

要找一個x0>0,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1的最小值,

滿足t(x)min<0即可,對t(x)求導(dǎo)數(shù)t′(x)=x(a-1ex)

令t′(x)=0得ex=1a,則x=-lna,取X0=-lna

在0-lna時,t′(x)>0

t(x)在x=-lna時,取得最小值t(x0)=a2(lna)2+a(-lna+1)-1

下面只需證明:a2(lna)2-alna+a-1<0,在0

又令p(a)=a2(lna)2-alna+a-1,對p(a)關(guān)于a求導(dǎo)數(shù)

則p′(a)=12(lna)2≥0,從而p(a)為增函數(shù)

則p(a)

于是t(x)的最小值t(-lna)<0

因此可找到一個常數(shù)x0=-lna(0

導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用,為我們解決函數(shù)問題提供了有力的工具,用導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)中的最值問題,不等式問題,還可以解析幾何相聯(lián)系,可以在知識的網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計問題。因此,在教學(xué)中,要突出導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

【摘要】導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶，它的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題提供了新的視野，是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、探求函數(shù)的極值最值、求曲線的斜率的有力工具。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)函數(shù)曲線的斜率極值和最值導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）是一個特殊函數(shù)，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想。新課程增加了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，隨著課改的不斷深入，導(dǎo)數(shù)知識考查的要求逐漸加強，而且導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時的不可缺少的工具。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)研究導(dǎo)數(shù)的一個重要載體，函數(shù)問題涉及高中數(shù)學(xué)較多的知識點和數(shù)學(xué)思想方法。近年好多省的高考題中都出現(xiàn)以函數(shù)為載體，通過研究其圖像性質(zhì)，來考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究能力的試題。本人結(jié)合教學(xué)實踐，就導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作個初步探究。

有關(guān)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用主要類型有：求函數(shù)的切線，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值，用導(dǎo)數(shù)證明不等式。這些類型成為近兩年最閃亮的熱點，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點之一，預(yù)計也是“新課標”下高考的重點。

一、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線

例1：已知曲線y=x3-3x2-1，過點（1，-3）作其切線，求切線方程。

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解。

解：y′=3x2-6x，當(dāng)x=1時y′=-3，即所求切線的斜率為-3.故所求切線的方程為y+3=-3(x-1)，即為：y=-3x.

方法提升：函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率。既就是說，曲線y=f(x)在點P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率是f′(x0)，相應(yīng)的切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0)。

二、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

例2：求函數(shù)y=x3-3x2-1的單調(diào)區(qū)間。

分析：求出導(dǎo)數(shù)y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范圍即可。

解：y′=3x2-6x，由y′>0得3x2-6x﹥0，解得x﹤0或x﹥2。

由y′<0得3x2-6x﹤0，解得0﹤x＜2。

故所求單調(diào)增區(qū)間為(-∞，0)∪(2，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，2)。

方法提升：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定f(x)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f′(x)；（3）在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′

(x)>0和f′(x)<0；（4）確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論。

三、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

例3．求函數(shù)f(x)=(1/3)x3-4x+4的極值

解：由f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.

當(dāng)x變化時，y′、y的變化情況如下：

當(dāng)x=－2時，y有極大值f(-2)=－（28/3），當(dāng)x=2時，y有極小值f(2)=－(4/3).

方法提升：求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟是：（1）確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)；（2）求f′(x)=0的所有實數(shù)根；（3）對每個實數(shù)根進行檢驗，判斷在每個根（如x0）的左右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號如何變化，如果f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是極大值；如果f′(x)的符號由負變正，則f(x0)是極小值.。注意：如果f′(x)=0的根x=x0的左右側(cè)符號不變，則f(x0)不是極值。

四、用導(dǎo)數(shù)證明不等式

證明不等式彰顯導(dǎo)數(shù)方法運用的靈活性把要證明的一元不等式通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)>0(<0)再通過求f(x)的最值,實現(xiàn)對不等式證明,導(dǎo)數(shù)應(yīng)用為解決此類問題開辟了新的路子,使過去不等式的證明方法從特殊技巧變?yōu)橥ǚ?彰顯導(dǎo)數(shù)方法運用的靈活性、普適性。

例(1)求證:當(dāng)a≥1時,不等式對于n∈R恒成立.

(2)對于在(0,1)中的任一個常a,問是否存在x0>0使得ex0-x0-1>a·x022ex0成立?如果存在,求出符合條件的一個x0;否則說明理由。

分析:(1)證明:(Ⅰ)在x≥0時,要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成立。

只需證:ex≤a2x2ex+x+1即需證:1≤a2x2+x+1ex①

令y(x)=a2x2+x+1ex,求導(dǎo)數(shù)y′(x)=ax+1·ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex

∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x)≥0

∴f(x)為增函數(shù),故f(x)≥y(0)=1,從而①式得證

(Ⅱ)在時x≤0時,要使ex-x-1≤ax2e|x|2成立。

只需證:ex≤a2x2ex+x+1,即需證:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x②

令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求導(dǎo)數(shù)得m′(x)=-xe-2x[ex+a(x-1)]

而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0時為增函數(shù)

故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,從而m(x)≤0

∴m(x)在x≤0時為減函數(shù),則m(x)≥m(0)=1,從而②式得證

由于①②討論可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1時,恒成立

(2)解:ex0-x0-1≤a·x02|x|2ex0將變形為ax022+x0+1ex0-1<0③

要找一個x0>0,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1的最小值,

滿足t(x)min<0即可,對t(x)求導(dǎo)數(shù)t′(x)=x(a-1ex)

令t′(x)=0得ex=1a,則x=-lna,取X0=-lna

在0-lna時,t′(x)>0

t(x)在x=-lna時,取得最小值t(x0)=a2(lna)2+a(-lna+1)-1

下面只需證明:a2(lna)2-alna+a-1<0,在0

又令p(a)=a2(lna)2-alna+a-1,對p(a)關(guān)于a求導(dǎo)數(shù)

則p′(a)=12(lna)2≥0,從而p(a)為增函數(shù)

則p(a)

于是t(x)的最小值t(-lna)<0

因此可找到一個常數(shù)x0=-lna(0

導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用,為我們解決函數(shù)問題提供了有力的工具,用導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)中的最值問題,不等式問題,還可以解析幾何相聯(lián)系,可以在知識的網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計問題。因此,在教學(xué)中,要突出導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。