圖象法解運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題

李俊

學(xué)生進(jìn)入高中階段一開(kāi)始學(xué)習(xí)物理，首先進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)的學(xué)習(xí).與之前在初中學(xué)的簡(jiǎn)單物理運(yùn)動(dòng)相比有了很大的難度，而這部分又是在高中階段學(xué)習(xí)物理的基礎(chǔ)和難點(diǎn).運(yùn)動(dòng)學(xué)解題的方法多種多樣，如果學(xué)生在高一時(shí)就能掌握?qǐng)D象法解題，在今后的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)都有不可估量的幫助.

速度——時(shí)間（v-t）描述物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間的變化規(guī)律.其橫坐標(biāo)表示時(shí)間、縱坐標(biāo)表示速度，其斜率表示速度變化的快慢即加速度，而圖象與坐標(biāo)圍城的面積是物體運(yùn)動(dòng)的位移.

速度——時(shí)間圖象的特點(diǎn)：

①因速度是矢量，故速度——時(shí)間圖象上只能表示物體運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)方向，t軸上方代表的“正方向”，t軸下方代表的是“負(fù)方向”，所以“速度——時(shí)間”圖象只能描述物體做“直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)”的情況，如果做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則畫(huà)不出物體的“位移——時(shí)間”圖象；

②“速度——時(shí)間”圖象沒(méi)有時(shí)間t的“負(fù)軸”，因時(shí)間沒(méi)有負(fù)值，畫(huà)圖要注意這一點(diǎn)；

③“速度——時(shí)間”圖象上圖線(xiàn)上每一點(diǎn)的斜率代表的該點(diǎn)的加速度，斜率的大小表示加速度的大小，斜率的正負(fù)表示加速度的方向；

④“速度——時(shí)間”圖象上表示速度的圖線(xiàn)與時(shí)間軸所包圍的面積表示物體經(jīng)過(guò)的路程.

一、巧用v-t圖的“面積”探究?jī)晌矬w追及問(wèn)題

利用圖象的“面積”所代表的物理意義解題，往往帶有一定的綜合性，其中v-t圖象中圖線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成均“面積”代表質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移是最基本也是運(yùn)用得最多的.

例1甲、乙兩物體由同一位置、同一時(shí)刻出發(fā)，甲做=2 m/s的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，乙在頭2 s內(nèi)做初速度為零，加速度a=2 m/s，的勻加速度運(yùn)動(dòng)，然后做的勻減速運(yùn)動(dòng)，直到靜止.問(wèn)：（1）何時(shí)兩物體相距最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離是多少？（2）何時(shí)兩物體相遇？

解析根據(jù)題意，畫(huà)出甲、乙的運(yùn)動(dòng)圖象，如圖4所示.

（1）從圖象中看出，當(dāng)t=4；時(shí)，甲、乙圖線(xiàn)下的“面積”之差（即ΔBDE的面積）最大，即兩者相距最遠(yuǎn).利用“面積”計(jì)算，有 Δs=12×2×2m=2m.

（2）甲、乙兩圖線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的面積相等時(shí)相遇.從圖象中還可以看出，在t1=2 s時(shí)，乙追上甲相遇；在t2=6 s時(shí)，甲又追上乙相遇.

答案（1）當(dāng)t=4s時(shí)，甲、乙相距最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離是2m

（2）在t1=2s時(shí)，乙追上甲相遇；在t2=6 s時(shí)，甲又追上乙相遇

點(diǎn)評(píng)對(duì)于兩個(gè)物體的追及與相遇問(wèn)題，很多同學(xué)對(duì)實(shí)際過(guò)程難以抽象處理，不知如何下手，若能利用v-t圖象幫助分析，可使運(yùn)動(dòng)過(guò)程具體化.本題用圖象法求極值，可避免復(fù)雜的計(jì)算，在v-t圖象中，圖象與坐標(biāo)軸包圍的“面積”代表位移，本題巧妙利用“面積”關(guān)系，探究了兩物體相距最遠(yuǎn)及相遇問(wèn)題.

例2如圖所示，兩質(zhì)量相等的物塊A、B通過(guò)一輕質(zhì)彈簧連接，B足夠長(zhǎng)、放置在水平面上，所有接觸面均光滑.開(kāi)始時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終處在彈性限度內(nèi).在物塊A上施加一個(gè)水平恒力，A、B從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次速度相等的過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的有（）.

A.當(dāng)A、B加速度相等時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能最大

B.當(dāng)A、B加速度相等時(shí)，A、B的速度差最大

C.當(dāng)A、B的速度相等時(shí)，A的速度達(dá)到最大

D.當(dāng)A、B的速度相等時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大

解析處理本題的關(guān)鍵是對(duì)物體進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析，使用圖象處理可以使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化.對(duì)A、B在水平方向受力分析如圖3，F(xiàn)1為彈簧的拉力；兩物體運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖4，t1時(shí)刻，兩物體加速度相等，斜率相同，速度差最大，t2時(shí)刻兩物體的速度相等，A速度達(dá)到最大值，兩實(shí)線(xiàn)之間圍成的面積有最大值即兩物體的相對(duì)位移最大，彈簧被拉到最長(zhǎng)；除重力和彈簧彈力外其它力對(duì)系統(tǒng)正功，系統(tǒng)機(jī)械能增加，t1時(shí)刻之后拉力依然做正功，即加速度相等時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能并非最大值.

總結(jié) （1）熟悉各種物理圖象，掌握一個(gè)物理量隨另一個(gè)物理量的變化關(guān)系，掌握物理圖象所反映的物理過(guò)程，能區(qū)別相近或相似的圖象.

（2）要能識(shí)別橫、縱坐標(biāo)所代表的物理意義，明確物理圖像中的點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)、截距、斜率、峰值、面積所代表的物理意義.

（3）注意各段圖線(xiàn)所表示的物理過(guò)程，會(huì)分析物理過(guò)程中的臨界狀態(tài).

（4）要能夠根據(jù)題目要求繪出物理圖象endprint

學(xué)生進(jìn)入高中階段一開(kāi)始學(xué)習(xí)物理，首先進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)的學(xué)習(xí).與之前在初中學(xué)的簡(jiǎn)單物理運(yùn)動(dòng)相比有了很大的難度，而這部分又是在高中階段學(xué)習(xí)物理的基礎(chǔ)和難點(diǎn).運(yùn)動(dòng)學(xué)解題的方法多種多樣，如果學(xué)生在高一時(shí)就能掌握?qǐng)D象法解題，在今后的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)都有不可估量的幫助.

速度——時(shí)間（v-t）描述物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間的變化規(guī)律.其橫坐標(biāo)表示時(shí)間、縱坐標(biāo)表示速度，其斜率表示速度變化的快慢即加速度，而圖象與坐標(biāo)圍城的面積是物體運(yùn)動(dòng)的位移.

速度——時(shí)間圖象的特點(diǎn)：

①因速度是矢量，故速度——時(shí)間圖象上只能表示物體運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)方向，t軸上方代表的“正方向”，t軸下方代表的是“負(fù)方向”，所以“速度——時(shí)間”圖象只能描述物體做“直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)”的情況，如果做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則畫(huà)不出物體的“位移——時(shí)間”圖象；

②“速度——時(shí)間”圖象沒(méi)有時(shí)間t的“負(fù)軸”，因時(shí)間沒(méi)有負(fù)值，畫(huà)圖要注意這一點(diǎn)；

③“速度——時(shí)間”圖象上圖線(xiàn)上每一點(diǎn)的斜率代表的該點(diǎn)的加速度，斜率的大小表示加速度的大小，斜率的正負(fù)表示加速度的方向；

④“速度——時(shí)間”圖象上表示速度的圖線(xiàn)與時(shí)間軸所包圍的面積表示物體經(jīng)過(guò)的路程.

一、巧用v-t圖的“面積”探究?jī)晌矬w追及問(wèn)題

利用圖象的“面積”所代表的物理意義解題，往往帶有一定的綜合性，其中v-t圖象中圖線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成均“面積”代表質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移是最基本也是運(yùn)用得最多的.

例1甲、乙兩物體由同一位置、同一時(shí)刻出發(fā)，甲做=2 m/s的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，乙在頭2 s內(nèi)做初速度為零，加速度a=2 m/s，的勻加速度運(yùn)動(dòng)，然后做的勻減速運(yùn)動(dòng)，直到靜止.問(wèn)：（1）何時(shí)兩物體相距最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離是多少？（2）何時(shí)兩物體相遇？

解析根據(jù)題意，畫(huà)出甲、乙的運(yùn)動(dòng)圖象，如圖4所示.

（1）從圖象中看出，當(dāng)t=4；時(shí)，甲、乙圖線(xiàn)下的“面積”之差（即ΔBDE的面積）最大，即兩者相距最遠(yuǎn).利用“面積”計(jì)算，有 Δs=12×2×2m=2m.

（2）甲、乙兩圖線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的面積相等時(shí)相遇.從圖象中還可以看出，在t1=2 s時(shí)，乙追上甲相遇；在t2=6 s時(shí)，甲又追上乙相遇.

答案（1）當(dāng)t=4s時(shí)，甲、乙相距最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離是2m

（2）在t1=2s時(shí)，乙追上甲相遇；在t2=6 s時(shí)，甲又追上乙相遇

點(diǎn)評(píng)對(duì)于兩個(gè)物體的追及與相遇問(wèn)題，很多同學(xué)對(duì)實(shí)際過(guò)程難以抽象處理，不知如何下手，若能利用v-t圖象幫助分析，可使運(yùn)動(dòng)過(guò)程具體化.本題用圖象法求極值，可避免復(fù)雜的計(jì)算，在v-t圖象中，圖象與坐標(biāo)軸包圍的“面積”代表位移，本題巧妙利用“面積”關(guān)系，探究了兩物體相距最遠(yuǎn)及相遇問(wèn)題.

例2如圖所示，兩質(zhì)量相等的物塊A、B通過(guò)一輕質(zhì)彈簧連接，B足夠長(zhǎng)、放置在水平面上，所有接觸面均光滑.開(kāi)始時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終處在彈性限度內(nèi).在物塊A上施加一個(gè)水平恒力，A、B從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次速度相等的過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的有（）.

A.當(dāng)A、B加速度相等時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能最大

B.當(dāng)A、B加速度相等時(shí)，A、B的速度差最大

C.當(dāng)A、B的速度相等時(shí)，A的速度達(dá)到最大

D.當(dāng)A、B的速度相等時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大

解析處理本題的關(guān)鍵是對(duì)物體進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析，使用圖象處理可以使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化.對(duì)A、B在水平方向受力分析如圖3，F(xiàn)1為彈簧的拉力；兩物體運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖4，t1時(shí)刻，兩物體加速度相等，斜率相同，速度差最大，t2時(shí)刻兩物體的速度相等，A速度達(dá)到最大值，兩實(shí)線(xiàn)之間圍成的面積有最大值即兩物體的相對(duì)位移最大，彈簧被拉到最長(zhǎng)；除重力和彈簧彈力外其它力對(duì)系統(tǒng)正功，系統(tǒng)機(jī)械能增加，t1時(shí)刻之后拉力依然做正功，即加速度相等時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能并非最大值.

總結(jié) （1）熟悉各種物理圖象，掌握一個(gè)物理量隨另一個(gè)物理量的變化關(guān)系，掌握物理圖象所反映的物理過(guò)程，能區(qū)別相近或相似的圖象.

（2）要能識(shí)別橫、縱坐標(biāo)所代表的物理意義，明確物理圖像中的點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)、截距、斜率、峰值、面積所代表的物理意義.

（3）注意各段圖線(xiàn)所表示的物理過(guò)程，會(huì)分析物理過(guò)程中的臨界狀態(tài).

（4）要能夠根據(jù)題目要求繪出物理圖象endprint

學(xué)生進(jìn)入高中階段一開(kāi)始學(xué)習(xí)物理，首先進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)的學(xué)習(xí).與之前在初中學(xué)的簡(jiǎn)單物理運(yùn)動(dòng)相比有了很大的難度，而這部分又是在高中階段學(xué)習(xí)物理的基礎(chǔ)和難點(diǎn).運(yùn)動(dòng)學(xué)解題的方法多種多樣，如果學(xué)生在高一時(shí)就能掌握?qǐng)D象法解題，在今后的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)都有不可估量的幫助.

速度——時(shí)間（v-t）描述物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間的變化規(guī)律.其橫坐標(biāo)表示時(shí)間、縱坐標(biāo)表示速度，其斜率表示速度變化的快慢即加速度，而圖象與坐標(biāo)圍城的面積是物體運(yùn)動(dòng)的位移.

速度——時(shí)間圖象的特點(diǎn)：

①因速度是矢量，故速度——時(shí)間圖象上只能表示物體運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)方向，t軸上方代表的“正方向”，t軸下方代表的是“負(fù)方向”，所以“速度——時(shí)間”圖象只能描述物體做“直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)”的情況，如果做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則畫(huà)不出物體的“位移——時(shí)間”圖象；

②“速度——時(shí)間”圖象沒(méi)有時(shí)間t的“負(fù)軸”，因時(shí)間沒(méi)有負(fù)值，畫(huà)圖要注意這一點(diǎn)；

③“速度——時(shí)間”圖象上圖線(xiàn)上每一點(diǎn)的斜率代表的該點(diǎn)的加速度，斜率的大小表示加速度的大小，斜率的正負(fù)表示加速度的方向；

④“速度——時(shí)間”圖象上表示速度的圖線(xiàn)與時(shí)間軸所包圍的面積表示物體經(jīng)過(guò)的路程.

一、巧用v-t圖的“面積”探究?jī)晌矬w追及問(wèn)題

利用圖象的“面積”所代表的物理意義解題，往往帶有一定的綜合性，其中v-t圖象中圖線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成均“面積”代表質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移是最基本也是運(yùn)用得最多的.

例1甲、乙兩物體由同一位置、同一時(shí)刻出發(fā)，甲做=2 m/s的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，乙在頭2 s內(nèi)做初速度為零，加速度a=2 m/s，的勻加速度運(yùn)動(dòng)，然后做的勻減速運(yùn)動(dòng)，直到靜止.問(wèn)：（1）何時(shí)兩物體相距最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離是多少？（2）何時(shí)兩物體相遇？

解析根據(jù)題意，畫(huà)出甲、乙的運(yùn)動(dòng)圖象，如圖4所示.

（1）從圖象中看出，當(dāng)t=4；時(shí)，甲、乙圖線(xiàn)下的“面積”之差（即ΔBDE的面積）最大，即兩者相距最遠(yuǎn).利用“面積”計(jì)算，有 Δs=12×2×2m=2m.

（2）甲、乙兩圖線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的面積相等時(shí)相遇.從圖象中還可以看出，在t1=2 s時(shí)，乙追上甲相遇；在t2=6 s時(shí)，甲又追上乙相遇.

答案（1）當(dāng)t=4s時(shí)，甲、乙相距最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離是2m

（2）在t1=2s時(shí)，乙追上甲相遇；在t2=6 s時(shí)，甲又追上乙相遇

點(diǎn)評(píng)對(duì)于兩個(gè)物體的追及與相遇問(wèn)題，很多同學(xué)對(duì)實(shí)際過(guò)程難以抽象處理，不知如何下手，若能利用v-t圖象幫助分析，可使運(yùn)動(dòng)過(guò)程具體化.本題用圖象法求極值，可避免復(fù)雜的計(jì)算，在v-t圖象中，圖象與坐標(biāo)軸包圍的“面積”代表位移，本題巧妙利用“面積”關(guān)系，探究了兩物體相距最遠(yuǎn)及相遇問(wèn)題.

例2如圖所示，兩質(zhì)量相等的物塊A、B通過(guò)一輕質(zhì)彈簧連接，B足夠長(zhǎng)、放置在水平面上，所有接觸面均光滑.開(kāi)始時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終處在彈性限度內(nèi).在物塊A上施加一個(gè)水平恒力，A、B從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次速度相等的過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的有（）.

A.當(dāng)A、B加速度相等時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能最大

B.當(dāng)A、B加速度相等時(shí)，A、B的速度差最大

C.當(dāng)A、B的速度相等時(shí)，A的速度達(dá)到最大

D.當(dāng)A、B的速度相等時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大

解析處理本題的關(guān)鍵是對(duì)物體進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析，使用圖象處理可以使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化.對(duì)A、B在水平方向受力分析如圖3，F(xiàn)1為彈簧的拉力；兩物體運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖4，t1時(shí)刻，兩物體加速度相等，斜率相同，速度差最大，t2時(shí)刻兩物體的速度相等，A速度達(dá)到最大值，兩實(shí)線(xiàn)之間圍成的面積有最大值即兩物體的相對(duì)位移最大，彈簧被拉到最長(zhǎng)；除重力和彈簧彈力外其它力對(duì)系統(tǒng)正功，系統(tǒng)機(jī)械能增加，t1時(shí)刻之后拉力依然做正功，即加速度相等時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能并非最大值.

總結(jié) （1）熟悉各種物理圖象，掌握一個(gè)物理量隨另一個(gè)物理量的變化關(guān)系，掌握物理圖象所反映的物理過(guò)程，能區(qū)別相近或相似的圖象.

（2）要能識(shí)別橫、縱坐標(biāo)所代表的物理意義，明確物理圖像中的點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)、截距、斜率、峰值、面積所代表的物理意義.

（3）注意各段圖線(xiàn)所表示的物理過(guò)程，會(huì)分析物理過(guò)程中的臨界狀態(tài).

（4）要能夠根據(jù)題目要求繪出物理圖象endprint