古塔的變形研究

鄭茂波*

(成都工業(yè)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系，成都 611730)

古塔的變形研究

鄭茂波*

(成都工業(yè)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué)系，成都 611730)

利用空間解析幾何知識對2013年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的C題——古塔的變形問題中涉及的古塔傾斜，彎曲以及扭曲等3個量進(jìn)行定量分析，并簡述了其求解方法的優(yōu)劣。該模型簡單適用、可靠有效，對古建筑物的變形趨勢研究以及制定相應(yīng)的保護(hù)措施有一定的意義。

古塔;數(shù)學(xué)建模;變形;傾斜;彎曲;扭曲;最小二乘法;擬合

中國是一個有著5 000年悠久歷史的文明古國，源遠(yuǎn)流長的歷史使中國繼承了一份十分寶貴的世界文化和自然遺產(chǎn)。由于長時間承受自重、風(fēng)力和地震等作用影響，古塔會產(chǎn)生各種變形，如傾斜、彎曲、扭曲等。為保護(hù)古塔，文物部門需適時對古塔進(jìn)行觀測，了解各種變形量，以制定必要的保護(hù)措施。

本文采用數(shù)學(xué)建模的思想，利用給出的測量數(shù)據(jù)，得到了確定古塔各層中心位置的通用方法，應(yīng)用初等幾何知識定量分析了該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。相比已有的方法，本文的特點(diǎn):1)將空間平面中心點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一個平面擬合和一個二元函數(shù)極值問題，清晰易懂，計(jì)算簡便;2)在彎曲變形中，巧妙利用參數(shù)方程擬合出中心點(diǎn)的空間直線方程，方法既簡單又有效。

1 模型的準(zhǔn)備

經(jīng)過分析，發(fā)現(xiàn)各層的觀測點(diǎn)z坐標(biāo)的差距很小且分布均勻，得到結(jié)論:塔的各層的觀測點(diǎn)在同一平面內(nèi)，各層觀測點(diǎn)的幾何中心就是古塔各層的中心點(diǎn)。設(shè)該平面π的方程為

只要觀測點(diǎn)的個數(shù)大于等于3個，就能采用最小二乘法擬合出該平面方程。即:

根據(jù)幾何知識，這個中心點(diǎn)就是平面中一點(diǎn)到這有限個點(diǎn)距離的平方和的唯一最小值點(diǎn)，因此建立模型如下:

其中:(xijk，yijk)，i=1，2，3，4，j=1，2，…，14，k=1，2，…，n表示第i次測量第j層的第k個點(diǎn)的坐標(biāo);，表示第 i次測量的第j層中心的坐標(biāo)。

首先，對各層觀測點(diǎn)采用最小二乘法求得擬合平面的方程，得到(2)中 a0，a1，a2的值。

其次，求解問題(3)，這是一個簡單的二元函數(shù)無條件極值問題，只需要偏導(dǎo)數(shù)等于0，即:

可以看到，經(jīng)過處理，已經(jīng)將這個空間中心點(diǎn)轉(zhuǎn)化為平面擬合和一個簡單的二元函數(shù)極值問題，方法簡單，直觀形象，容易理解，也便于計(jì)算。

2 模型的建立與求解

因?yàn)楣潘男螤畲篌w均勻，所以可以用其中心點(diǎn)的變形來反映其總體變形趨勢。上面已經(jīng)得到各層中心點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以據(jù)此分別來研究古塔的3種變形情況。

2.1 傾斜變形

傾斜主要是通過塔尖中心點(diǎn)在底部的投影與底層建筑形心的偏移量與塔高的比值來衡量，如圖1所示。圖中點(diǎn)O為第一層的中心點(diǎn)，A點(diǎn)是塔尖的中心點(diǎn)，A＇點(diǎn)是A點(diǎn)在xOy平面上的投影，則傾斜角α =∠OAA＇的余弦有:

OA＇與x軸正向的夾角β為傾斜的方位角。

圖1 傾斜角度示意圖

將上述各點(diǎn)坐標(biāo)值代入(6)中，得到如下模型:

傾斜的方位角β，有:

其中:αi為第i次觀測的傾斜角;βi為第i次觀測的傾斜方位角。

2.2 彎曲變形

曲率反映的是曲線的彎曲程度，在本研究中，可用來反映古塔的彎曲變形情況。但實(shí)際測量中只有離散的數(shù)據(jù)，必須先利用這些數(shù)據(jù)擬合出一個空間曲線的方程，才能夠使用曲率的計(jì)算公式。

空間曲線的擬合比較繁瑣和復(fù)雜，這里恰好利用各層的層數(shù)(如1，2，…，14)作為參數(shù)t分別擬合3個坐標(biāo)分量x(t)，y(t)，z(t)。同時，因?yàn)榍实挠?jì)算公式要用到二階導(dǎo)數(shù)，為了保證精度，所以每個坐標(biāo)分量擬合都是采用3次多項(xiàng)式。

設(shè)一次觀測各層的中心點(diǎn)擬合的空間曲線的參數(shù)方程為:

令r→(t)=(x(t)，y(t)，z(t))，則對古塔的彎曲可建立模型:

以1986年觀測數(shù)據(jù)為例，擬合圖形見圖2，效果很好，具體的擬合方程如下:

圖2 1986年各層中心坐標(biāo)的擬合曲線

同理，可以得到其他各次觀測的擬合參數(shù)方程。得到每次觀測的空間曲線的參數(shù)方程后，將其代入式(11)計(jì)算可得相應(yīng)的曲率。

圖3 扭曲度平面示意圖

2.3 扭曲變形

當(dāng)古塔的相鄰2層之間發(fā)生旋轉(zhuǎn)時，古塔外觀就會發(fā)生扭曲。因此可將相鄰2層發(fā)生的相對旋轉(zhuǎn)的角度定義為扭曲角。

因?yàn)楦鲗佣荚谝粋€平面內(nèi)，所以相鄰2層的旋轉(zhuǎn)可以簡化為在水平面投影的相對旋轉(zhuǎn)。

各層的中心點(diǎn)是某種意義下各層觀測點(diǎn)的“平均”，因此各層的中心點(diǎn)投影的相對旋轉(zhuǎn)就能夠代表各層的相對旋轉(zhuǎn)，也就代表了扭曲變形情況，見圖3。

圖3是一個平面圖形，其中O點(diǎn)是第一層中心點(diǎn)，A＇點(diǎn)是塔尖中心點(diǎn)A在平面xOy的投影，Bij是第i次觀測第j層所在的擬合平面與直線OA的交點(diǎn)在平面xOy的投影，B＇ij是第i次觀測第j層中心點(diǎn)在平面xOy的投影。

如果古塔不發(fā)生扭曲，那么Bij和B＇ij應(yīng)該重合，所以Bij和B＇ij產(chǎn)生的偏移就能夠反映扭曲。定義θij= ∠B＇i，j+1BijBi，j+1為第 i次觀測第 j層和第 j+1層發(fā)生的相對扭曲角。

圖 3 中，在 ΔB＇i，j+1BijBi，j+1中，利用余弦定理，建立以下扭曲角的模型:

其中:θij為古塔在第i次觀測第j層的扭曲角，i=1，2，3，4，j=1，2，…，14。

3 結(jié)語

本文運(yùn)用空間解析幾何知識和最小二乘法等算法，首先用8個角的數(shù)據(jù)擬合它們所在的平面，以此確定每層的中心點(diǎn)坐標(biāo)。以每層的中心點(diǎn)坐標(biāo)代表該層的整體情況，研究古塔的傾斜、彎曲、扭曲等，從而確定相應(yīng)的修繕方法，這種方法對古建筑變形問題的分析科學(xué)、簡便，具有廣泛的適用性，對古建筑保護(hù)具有一定的意義。

［1］韓中庚.數(shù)學(xué)建模競賽獲獎?wù)撐木x與點(diǎn)評(第二卷)［M］.北京:科學(xué)出版社，2012.

［2］韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用［M］.北京:高等教育出版社，2005.

［3］王裕清，李婧，王新.基于不等距灰預(yù)測模型的變頻調(diào)速設(shè)備故障預(yù)測［J］.河南科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，30(3):43-46，112.

［4］黃強(qiáng).古塔的變形監(jiān)測的探討［J］.測繪與空間地面信息，2013，36(6):217-220.

［5］陽連武.古塔變形研究［J］.科技廣場，2013(8):18-20.

Study on the Deformation of an Ancient Pagoda

ZHENG Maobo*

(Department of Information and Computing Science，Chengdu Technological Univercity，Chengdu 611730，China)

Using the elementary knowledge of geometry，the authors investigate the issue——Study on the Deformation of an Ancient Pagoda from the C problems of China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling 2013 ，and get the quantitative model about the tilted deformation，bent deformation and twisted deformation of an ancient pagoda.The model is simple but effective and reliable.It has a positive meaning for the trend of deformation study and the development of protection countermeasures for ancient buildings.

ancient pagoda;Mathematical Modeling;deformtion;tilted deformation;bent deformation;twisted deformation;least square method;fitting

O29

A

2095-5383(2014)02-0063-02

10.13542/j.cnki.51-1747/tn.2014.02.021

2014-04-11

鄭茂波(1984-)，男(漢族)，四川營山人，講師，碩士，研究方向:微分方程數(shù)值解，通信作者郵箱:377178554@qq.com。