表象與定義相融合 深化概念理解

王少平

表象和定義是一個(gè)概念的兩個(gè)側(cè)面，是概念形成的共同體。前者表示概念的內(nèi)部表征，是思維的重要組成部分；后者是概念的外部表征，是進(jìn)行交流的基本工具。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，有的學(xué)生只掌握了概念的定義而無表象；有的學(xué)生只有表象，而未掌握定義。這兩種現(xiàn)象，均表明學(xué)生沒有真正透徹地理解概念。如果僅有表象而沒有定義，則會(huì)由于表象的模糊性造成概念理解的不清晰；如果僅有定義而無表象，則會(huì)造成學(xué)生無法理解定義本身抽象性的形式化語句。所以，應(yīng)當(dāng)將二者進(jìn)行合理整合，方可尋求小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效途徑。下面將結(jié)合“認(rèn)識(shí)角”的教學(xué)，就概念教學(xué)的不同階段中表象與定義的整合策略進(jìn)行探討。

一、 概念的感知階段，滲透表象和定義

由于小學(xué)生思維是以直觀形象思維為主，所以小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師常常會(huì)通過呈現(xiàn)直觀材料讓學(xué)生感知概念。教師所選取的直觀材料作為概念的實(shí)物原型，其中便融入了概念的本質(zhì)屬性，其直觀形象性便于學(xué)生了解概念的表面特征，利于形成直觀表象。

教學(xué)“認(rèn)識(shí)角”時(shí)，課一開始，教師用課件出示剪刀、三角尺、鬧鐘等實(shí)物，讓學(xué)生指認(rèn)角在哪兒。學(xué)生指認(rèn)之后，教師又問：“你還能在哪些物體上找到角呢？”接著學(xué)生們?cè)跁稀⒑诎迳?、門框上……找到了角。

這一環(huán)節(jié)呈現(xiàn)的感知材料中，包含了角的一般屬性，學(xué)生在指認(rèn)角的過程中初步感知了“角”，并在頭腦中初步形成角的直觀表象，使直觀材料與概念原型、角的表象與定義屬性之間發(fā)生關(guān)聯(lián)。但此時(shí)的表象都是不確切的，學(xué)生的學(xué)習(xí)并不深入，僅是停留于概念的表面特征，并未達(dá)到抽象的層次。在下面的教學(xué)中，應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生在感知的基礎(chǔ)上逐步豐富表象和反思抽象，直至形成定義。

二、 概念的表象階段，揭示定義的屬性與特征

為了幫助學(xué)生理解概念，不致于將概念的認(rèn)識(shí)停留在以直觀材料為主的表象上，教師應(yīng)借助表象引導(dǎo)學(xué)生在已有感知的基礎(chǔ)上，從不同的角度、不同的側(cè)面對(duì)概念的屬性、特征進(jìn)行表征，這將是學(xué)生認(rèn)知的一次“質(zhì)”的飛躍。

上一環(huán)節(jié)教師讓學(xué)生到生活中找的“角”，沒有脫離實(shí)物，都是對(duì)具體材料的表征。接下來，教師讓學(xué)生在一組圖形中找角，學(xué)生找到了“長(zhǎng)方形、三角形、正方形、平行四邊形”中的“角”，這是借助圖形進(jìn)行表征。在“找角”后，教師演示將“角”從圖形中分離，即把“角”從圖形中“請(qǐng)”下來，也就是畫了一個(gè)“角”，從而學(xué)生明確“‘角和長(zhǎng)方形、三角形一樣，也是一個(gè)平面圖形”，繼而認(rèn)識(shí)角的各部分名稱，這是對(duì)角進(jìn)行的語言表征。

由指出實(shí)物上的角、找圖形上的角再到畫角，這一過程中，不同形式的直觀感知，為學(xué)生豐富了角的表象。從實(shí)物表征、圖形表征到語言表征，這些對(duì)角的不同表征方式體現(xiàn)出了認(rèn)知層次的差別：采用實(shí)物和圖形表征角，都只限于直觀水平，而對(duì)于角的本質(zhì)并未真正理解。而語言表征，才反映出學(xué)生對(duì)角的概念理解層次的提升，因?yàn)樗沂玖烁拍畹谋举|(zhì)屬性。

但表征材料本身的“模糊性”、“歧義性”使課堂上也出現(xiàn)了這樣的聲音：“角，就是尖尖的、滑滑的、直直的圖形?！薄敖?，就是長(zhǎng)方形、三角形等圖形的一部分?！睂?duì)于這樣不準(zhǔn)確的定義，則需要進(jìn)行更深一步的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)“自我修正”。

三、 概念定義階段，完善和修正概念表象

學(xué)生之所以在課堂上出現(xiàn)“角，就是長(zhǎng)方形等圖形的一部分”，“角，就是尖尖的、滑滑的、直直的圖形”的定義，究其原因有兩個(gè)：一是角的表象在不斷變化而定義則相對(duì)穩(wěn)定；二是表象自身的不完善，甚至是殘缺性，才導(dǎo)致學(xué)生的認(rèn)識(shí)不完善。為此，教師要引領(lǐng)學(xué)生及時(shí)概括抽象出相關(guān)定義，并對(duì)定義進(jìn)行分析，給學(xué)生以準(zhǔn)確的、清晰的概念表象，并通過定義對(duì)表象進(jìn)行辨析、完善。

教師把角從圖形上“請(qǐng)”下來，學(xué)生運(yùn)用語言表征“角”之后，教師讓學(xué)生們摸一摸三角板上的角，找到“尖尖的、直直的”感覺，繼而認(rèn)識(shí)“角”是由一個(gè)尖尖的“頂點(diǎn)”和兩條直直的“邊”組成的圖形。緊接著，教師又讓學(xué)生畫出一個(gè)這樣的角。接下來，教師讓學(xué)生用吸管、小棒、細(xì)繩、圓片等不同的材料做出一個(gè)角，并指出角的頂點(diǎn)和邊分別在哪里。至此，學(xué)生才擁有了一個(gè)清晰、準(zhǔn)確的角的表象，而關(guān)于角的定義亦是呼之欲出了。但教學(xué)不能止步于此，教師又安排了一個(gè)角的大小比較環(huán)節(jié)，在比較中明確角的大小與邊的長(zhǎng)短無關(guān)，而與兩條邊張開的大小有關(guān)，從而學(xué)生對(duì)影響其大小的無關(guān)變量與有關(guān)變量有了更為明晰的認(rèn)識(shí)。至此，學(xué)生們對(duì)角的認(rèn)識(shí)不再拘泥于直觀的表象材料，而是更趨于理性。

四、 概念運(yùn)用階段，豐富表象闡釋定義

數(shù)學(xué)概念形成的過程中，運(yùn)用表象表征概念，有兩種功用：一是“具體——抽象”的表征階段，一是“抽象——具體”的表征階段。而數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用，多是用概念去表征具體材料，即讓學(xué)生用抽象的本質(zhì)屬性去判斷新的具體材料的屬性。如果新的具體材料與前一階段中的具體材料相同或相仿，則學(xué)生們很快就可以做出回答。然而，當(dāng)新的具體材料是概念的變式或新的現(xiàn)實(shí)情境時(shí)，則要重復(fù)“具體——抽象”的過程，對(duì)新屬性進(jìn)行抽象。由此可見，有干擾的操作材料更有利于知識(shí)內(nèi)化。

“認(rèn)識(shí)角”這一課的練習(xí)環(huán)節(jié)，教師設(shè)計(jì)了變式練習(xí)：判斷下列圖形中的兩個(gè)角，哪個(gè)角大，哪個(gè)角小？為什么？

圖1和圖2通過肯定例證中無關(guān)特征的變化，凸顯了概念的本質(zhì)屬性：角的大小與邊的長(zhǎng)短無關(guān)。學(xué)生在辨析中體驗(yàn)到角的外在形式上的可變性，深刻感悟到角的大小其本質(zhì)屬性的不變性。在這一辨析過程中，學(xué)生運(yùn)用概念闡釋了角的定義，于闡釋中內(nèi)化了概念。這一變式材料的提供，為概念的建立提供了更加豐富的表象材料。

總之，只有在概念教學(xué)的各個(gè)階段，引導(dǎo)學(xué)生將概念的形式定義與內(nèi)在思維表象加以融合，使學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷完善，并通過言語交流、操作運(yùn)用等不同的表征方式，才可幫助學(xué)生厘清概念本質(zhì)，使概念的理解得到深化。

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】