正弦激勵(lì)法在傳感器校準(zhǔn)中的新應(yīng)用*

楊雪松， 李長春， 母東杰， 陳 策

(北京交通大學(xué) 機(jī)械電子控制工程學(xué)院，北京 100044)

0 引 言

國家標(biāo)準(zhǔn)GB 7665—87對(duì)傳感器的定義是：“能感受規(guī)定的被測(cè)量件并按照一定的規(guī)律(數(shù)學(xué)函數(shù)法則)轉(zhuǎn)換成可用信號(hào)的器件或裝置，通常由敏感元件和轉(zhuǎn)換元件組成”。因而傳感器校準(zhǔn)的本質(zhì)是通過分析被測(cè)量的實(shí)際值與傳感器輸出來確定這種規(guī)律(數(shù)學(xué)函數(shù)法則)。當(dāng)然受測(cè)量手段精度的限制和隨機(jī)噪聲的影響，被測(cè)量的實(shí)際值是很難獲取的，人們往往是以足夠精度的測(cè)量值替代之。于是選擇怎樣一種方法來獲取該測(cè)量值成為了傳感器校準(zhǔn)的關(guān)鍵問題之一。

以速度的測(cè)量為例，常見的方法有空間濾波器法、相關(guān)法、利用多普勒效應(yīng)或電磁感應(yīng)原理、加速度積分法和位置微分法。文獻(xiàn)[1]采用瞬時(shí)平均速度獲得近似的標(biāo)準(zhǔn)速度，本質(zhì)上屬于空間濾波器方法，獲得的速度實(shí)際上是極短時(shí)間段內(nèi)平均速度而非瞬時(shí)速度。再以加速度傳感器的校準(zhǔn)為例，目前主流的校準(zhǔn)方法有振蕩校準(zhǔn)法和沖擊校準(zhǔn)法。其中,振蕩校準(zhǔn)法即正弦激勵(lì)方法，是一種較為簡單且精度又高的校準(zhǔn)方法[2]，因此,該方法作為一種標(biāo)準(zhǔn)方法被包含在ISO 16063—11(基于激光干涉儀的絕對(duì)振動(dòng)校準(zhǔn)法)中，并得到廣泛的運(yùn)用[3]。相比于振蕩校準(zhǔn)法，沖擊法更適用于高gn值的加速度傳感器校準(zhǔn)，且在高頻段的相位不確定度更小[4]。這2種方法的優(yōu)點(diǎn)是可以對(duì)傳感器進(jìn)行高精度的動(dòng)態(tài)標(biāo)定，缺點(diǎn)是必須使用激光干涉儀，成本高不易推廣。

本文采用的速度傳感器校準(zhǔn)方法是正弦激勵(lì)法，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)采用電液位置伺服系統(tǒng)，該平臺(tái)具有結(jié)構(gòu)簡單、成本低、易于推廣的特點(diǎn)。信號(hào)處理方法采用基于最小二乘的正弦逼近方法，該方法不僅能夠得到真正意義上的瞬時(shí)速度信號(hào)，而且能夠在存在噪聲的情況下取得最優(yōu)解。

上述方法還可以被應(yīng)用到測(cè)量定回轉(zhuǎn)軸角加速度的問題中。長期以來，由于角加速度傳感器的成本遠(yuǎn)高于線加速度傳感器，因此,工程人員期望找到一種用線加速度傳感器測(cè)量角加速度的方法。經(jīng)過多年的發(fā)展，國內(nèi)外學(xué)者分別提出了六加速度計(jì)、九加速度計(jì)和十加速度計(jì)的組合方法[5]來獲取剛體在所有自由度方向上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。不過在一般的機(jī)電系統(tǒng)中定軸回轉(zhuǎn)的狀態(tài)是最為常見的，文獻(xiàn)[6]提出了一種用2只雙軸線加速度計(jì)獲取定軸回轉(zhuǎn)狀態(tài)的方法。相比之下，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下，這種改進(jìn)的正弦逼近算法可以實(shí)現(xiàn)用一只單軸加速度計(jì)來完成角加速度的測(cè)量，顯然該方法是更經(jīng)濟(jì)實(shí)用的。

1 校準(zhǔn)算法

校準(zhǔn)算法的核心是基于最小二乘法的正弦信號(hào)逼近方法，文獻(xiàn)[7]提出了一種辨識(shí)正弦信號(hào)幅值和相位差的方法。但是，實(shí)際的傳感器信號(hào)常包含有偏置，使得上述方法不再適用，因此，本算法在原算法的基礎(chǔ)上加入了偏置項(xiàng)的辨識(shí)，大大提高了計(jì)算精度。

假設(shè)有一正弦信號(hào)v(t)被以采樣頻率fs采樣，得到一組M個(gè)采樣點(diǎn)。待辨識(shí)的信號(hào)如下

v(t)=Vsin(ωt+φ)+W.

(1)

展開上式可得

v(t)=C0sinωt+C1cosωt+C2.

(2)

其中，C0=Vcosφ,C1=Vsinφ,C2=W。

需要確定的參數(shù)為C0，C1，C2，為此需要應(yīng)用最小二乘法得到該參數(shù)的最小二乘估計(jì)。假設(shè)采樣頻率為fs，得到M個(gè)采樣點(diǎn)，通過采集系統(tǒng)可得采樣點(diǎn)的值v(t0)，v(t1)，…，v(tM-1)，可得到v(t)的測(cè)量殘差為

vi=C0sinωti+C1cosωti+C2-v(ti),

i=0,1,…,M-1.

(3)

其殘差平方和為

(4)

令Φ0(t)=sinωt，Φ1(t)=cosωt，則有

(5)

根據(jù)最小二乘原理，由極小值存在的必要條件，求殘差平方和[v2]的極小值，可由式(5)求出對(duì)Cj(j=0,1,2)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，如式(6)所示

(6)

由上式可獲一個(gè)方程組，這一方程組的解即為參數(shù)Cj的最小二乘估計(jì)。為此，根據(jù)式(6)可導(dǎo)出方程組

(7)

式中Φ0=Φ0(ti),Φ1=Φ1(ti)。為便于計(jì)算可以將方程組(7)寫成矩陣的形式

ATAC=ATb.

(8)

其中

CT=[C0C1C2]，

bT=[v(t0)v(t1) …v(tM-1)].

若式(8)中的ATA為非奇異矩陣，則C必有唯一解，其矩陣表達(dá)式為

C=(ATA)-1ATb.

(9)

綜上所述，通過最小二乘法可以辨識(shí)出參數(shù)Cj，進(jìn)一步可以推導(dǎo)出正弦信號(hào)的幅值、相位以及偏置。

2 實(shí)驗(yàn)研究

為證明上述算法的有效性，分別設(shè)計(jì)了使用位移傳感器標(biāo)定速度傳感器的試驗(yàn)和利用線加速度測(cè)量定回轉(zhuǎn)軸角加速度的實(shí)驗(yàn)。

2.1 實(shí)驗(yàn)一

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)由：閥控液壓缸、傳感器、數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)組成，如圖1所示。實(shí)驗(yàn)開始后，閥控液壓缸在控制系統(tǒng)的閉環(huán)控制下進(jìn)行正弦運(yùn)動(dòng)，數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采集位置傳感器信號(hào)和速度傳感器信號(hào)，再利用正弦信號(hào)參數(shù)辨識(shí)算法分別得到位置信號(hào)和速度信號(hào)的幅值A(chǔ)p,As,則速度傳感器的靈敏度S(V/(m·s-1))可由式(10)得到

(10)

其中,Ap的單位是m，As的單位是V，因?yàn)檎椅恢眯盘?hào)的導(dǎo)數(shù)是頻率相同但幅值增大了ω倍的余弦信號(hào)，因此，在這里ω是一個(gè)無量綱比例系數(shù)，數(shù)值上等于信號(hào)的角頻率。

圖2展示了一組實(shí)驗(yàn)過程中位置與速度傳感器的信號(hào)，如圖所示位置信號(hào)的信噪比大，速度信號(hào)的信噪比小，因此，先利用正弦信號(hào)參數(shù)辨識(shí)算法去除噪聲的影響，而后利用較理想的位置信號(hào)的微分值校準(zhǔn)速度傳感器的靈敏度是合理的。校準(zhǔn)結(jié)果如表1所示，為方便計(jì)算表中的幅值A(chǔ)p，As使用dB為單位，不影響計(jì)算結(jié)果。對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求平均得到該速度傳感器的靈敏度S為0.136 8(V/(m·s-1))，其標(biāo)準(zhǔn)差為0.000 55，因此，該校準(zhǔn)方法具有較高的精度。

圖1 實(shí)驗(yàn)一系統(tǒng)組成示意圖

圖2 頻率1 Hz的正弦激勵(lì)下的傳感器信號(hào)

表1 各頻率點(diǎn)速度傳感器靈敏度校準(zhǔn)結(jié)果

2.2 實(shí)驗(yàn)二

當(dāng)線加速度計(jì)被安放在定回轉(zhuǎn)軸的切線方向上時(shí)，線加速度計(jì)就可以測(cè)量出角加速度。不過當(dāng)該回轉(zhuǎn)軸平行于大地(或者說除非其垂直于地面)時(shí)，重力加速度就會(huì)在切線方向產(chǎn)生一個(gè)分量，如圖3所示，該分量是轉(zhuǎn)角θ的正弦函數(shù)gsin(θ+π/2)，在角加速度的測(cè)量中應(yīng)當(dāng)將其去除。試驗(yàn)系統(tǒng)由伺服電機(jī)、單軸線加速度計(jì)、測(cè)控系統(tǒng)組成。首先測(cè)控系統(tǒng)發(fā)出指令使伺服電機(jī)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)時(shí)采集伺服電機(jī)反饋的轉(zhuǎn)角信號(hào)和加速度計(jì)的反饋信號(hào),令θ=ωt，其余算法與第二部分介紹的校準(zhǔn)算法一致，即可得到由重力產(chǎn)生的加速度信號(hào)與轉(zhuǎn)角的函數(shù)關(guān)系，如式(11)所示。從而可以根據(jù)此函數(shù)關(guān)系對(duì)重力加速度的切線方向分量進(jìn)行補(bǔ)償。圖4顯示了當(dāng)電機(jī)回轉(zhuǎn)軸進(jìn)行勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，加速度信號(hào)補(bǔ)償前后的情況，補(bǔ)償效果非常理想。

圖3 重力加速度切線分量與轉(zhuǎn)角關(guān)系圖

g′(θ)=Agsin(θ+φg)+Wg,

(11)

式中g(shù)′為線加速度傳感器繞回轉(zhuǎn)軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)輸出的信號(hào)，Ag,φg,Wg分別為該函數(shù)的幅值、初始角和偏置。

圖4 回轉(zhuǎn)軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)加速度信號(hào)對(duì)比圖

3 結(jié) 論

1)實(shí)際的傳感器信號(hào)常存在零位漂移，因此,新的正弦逼近算法在老算法的基礎(chǔ)上增加了對(duì)信號(hào)偏置量的辨識(shí)。該方法可適用于各類型的速度、加速度傳感器的靜態(tài)靈敏度校準(zhǔn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該方法具有很高的精度。

2)該方法可用于補(bǔ)償重力加速度對(duì)于繞定回轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的線加速度的影響，從而可以使單軸線加速度具備測(cè)量角加速度的能力，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:該方法獲得了極佳的補(bǔ)償效果。

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