基于網(wǎng)格法的NURBS自由曲線速度場規(guī)劃

王麗梅， 李兵

(沈陽工業(yè)大學電氣工程學院，遼寧沈陽 110870)

0 引言

數(shù)控機床正在向精密、高速、復(fù)合化的方向發(fā)展。具有代表性的直線電機XY二維平臺系統(tǒng)，以其快速響應(yīng)、準確定位和高可靠性廣泛應(yīng)用于高速自動化加工設(shè)備等領(lǐng)域［1－2］。

為提高XY平臺系統(tǒng)的輪廓精確度，許多研究側(cè)重于將各個單軸的跟蹤誤差作為控制目標，期望由降低各單軸跟蹤誤差來提高系統(tǒng)輪廓精確度［3－5］。但此類方法并不能完全解決雙軸動態(tài)不一致等因素對輪廓精確度造成的影響。實際上，當系統(tǒng)執(zhí)行輪廓任務(wù)時，各單軸跟蹤控制器為減小跟蹤誤差驅(qū)使兩軸偏離期望輪廓軌跡，使得實際輪廓軌跡半徑小于期望輪廓半徑，產(chǎn)生軌徑縮減現(xiàn)象，因此，跟蹤誤差的減小并不能保證輪廓精確度的提高［6］。為解決單軸控制的不足，文獻［7－8］分別采用不同的交叉耦合控制方法(cross－coupled control，CCC)減小系統(tǒng)的輪廓誤差，其主要思想是通過獲取各單軸的跟蹤誤差信息來實時估計輪廓誤差，通過設(shè)計控制律對輪廓誤差進行補償，并將補償量分解到各個軸上，以提高其協(xié)調(diào)性，最終減小輪廓誤差。但其輪廓誤差模型以跟蹤誤差為基礎(chǔ)，因此，不適用于因高速、大曲率加工導致較大跟蹤誤差的情況。實際上，輪廓誤差比跟蹤誤差更能反映輪廓運動情況，為了直接減小系統(tǒng)輪廓誤差，有研究學者提出以建構(gòu)速度場的方式規(guī)劃輪廓運動系統(tǒng)的指令路徑，將雙軸協(xié)調(diào)控制轉(zhuǎn)化為速度控制，通過減小各單軸的速度誤差提高輪廓精確度。文獻［9］首先提出速度場方法，利用速度場只與軌跡所在的位置有關(guān)而與時間無關(guān)的特點，使輪廓控制器的設(shè)計可以側(cè)重于減小輪廓誤差而非跟蹤誤差。文獻［10－16］分別將速度場應(yīng)用到機器人、機械手、健身器等協(xié)調(diào)控制系統(tǒng)中，通過設(shè)計相應(yīng)的速度控制器以實現(xiàn)輪廓控制任務(wù)?？墒牵瑢τ谝话銏A形和直線軌跡，其速度場的構(gòu)建比較容易，而針對比較復(fù)雜的軌跡，其速度場難以利用一般幾何方法構(gòu)建。

為實現(xiàn)將雙軸協(xié)調(diào)控制轉(zhuǎn)化為單軸速度控制，提高系統(tǒng)輪廓精確度，本文針對速度場的構(gòu)建方法進行深入研究，提出一種可適用于任意自由軌跡輪廓跟蹤系統(tǒng)軌跡規(guī)劃的方法。對于一般圓形軌跡，利用一般幾何方法能夠構(gòu)建其速度場，而對于非圓形的自由軌跡，由于軌跡的時變性，其速度場難于構(gòu)建，因此，基于方向場理論，以劃分網(wǎng)格點的方式建構(gòu)其速度場。最后，利用仿真與實驗分別針對圓形和非圓形兩種軌跡的輪廓跟蹤情況進行對比分析來證明所提方案的可行性及正確性。

1 圓形軌跡

1.1 NURBS參數(shù)式曲線

為實現(xiàn)高速，高精度輪廓加工任務(wù)，采用非均勻有理B樣條(non-uniform rational B－splines，NURBS)插補器作為輪廓控制系統(tǒng)的指令軌跡。在二維平面內(nèi)，以參數(shù)式表示曲線P(u)為

其中:u為曲線參數(shù)，且0≤u≤1，px(u)、py(u)分別為曲線p(u)在X、Y軸的分量。以NURBS曲線方程表示為

其中:Ci為控制點;Wi為對應(yīng)控制點的權(quán)因子;Ni，k(u)為基函數(shù)，其可計算為

其中，［u0，u1，…，um］表示節(jié)點矢量，m=n+k+1。

1.2 圓形軌跡速度場的構(gòu)建

空間速度場由多個速度向量構(gòu)成，而速度向量可定義為空間中任意一點到指令軌跡的最短距離與該軌跡曲線的切線向量所構(gòu)成。將此概念應(yīng)用于二維平面，計算任意一點的速度向量，如圖1所示。

圖1 速度向量示意Fig.1 Diagram of velocity vector

圖中，(x0，y0)為圓形軌跡的圓心坐標，r為圓形軌跡半徑，q為平面中的任意一點，V為任意一點的速度向量為指令軌跡的切線向量，d為任意一點q與指令軌跡g(x，y)的最短距離向量，其交于軌跡于A點，因此，二維平面中任意一點的速度向量可計算為

其中，▽g(x，y)可計算為

圓形軌跡g(x，y)可表示為

依照以上計算方法，將式(6)～式(9)分別代入式(5)能夠計算出平面內(nèi)任意一點的速度向量，而平面內(nèi)所有點的速度向量集合就是所構(gòu)建的速度場。

2 自由軌跡

2.1 自由軌跡速度場的構(gòu)建

當系統(tǒng)指令軌跡是比較復(fù)雜的自由曲線時，由于軌跡具有任意性，距離向量d難以準確計算，因此，不能利用一般幾何方法構(gòu)建其速度場，本文基于方向場理論，采用網(wǎng)格點方法搭配插值的方式間接地建構(gòu)其速度場。

根據(jù)方向場理論，在二維平面內(nèi)選定一個矩形區(qū)域，這個區(qū)域的X軸與Y軸的范圍區(qū)間為

在這個矩形區(qū)域內(nèi)，以h為網(wǎng)格間距，n為網(wǎng)格點數(shù)量，定義每個網(wǎng)格點為

其中，i=0，1，…，n。一般地，對于平面內(nèi)的每一個網(wǎng)格點(x，y)，都可以定義一個向量與過該點的曲線相切并指向該曲線解的方向，這個向量叫做方向向量，這些網(wǎng)格點上所有向量的集合就稱為方向場，因此，任意一個網(wǎng)格點的方向向量可寫為

根據(jù)初值問題的存在唯一定理可充分證明，如果在這個矩形區(qū)域內(nèi)選定一個初始點，那么就能夠得到一條以方向場所描述的運動軌跡。因此，根據(jù)方向場理論以網(wǎng)格點方法能夠構(gòu)建出任意軌跡的速度場，而當系統(tǒng)處于理想的控制條件下，運動系統(tǒng)沿著平面內(nèi)箭頭方向所得的軌跡就是指令軌跡，如圖2所示。如果適當?shù)卣{(diào)整相鄰網(wǎng)格點的間距h，能夠大幅度減小系統(tǒng)指令軌跡與由速度場編碼軌跡之間的輪廓誤差。

圖2 網(wǎng)格點示意Fig.2 Diagram of grid point

當軌跡通過網(wǎng)格點時，利用方向場理論，能夠計算出預(yù)先劃定網(wǎng)格上的每點的速度向量，而當軌跡不在網(wǎng)格點上時，可利用間接插值方式計算其速度向量，具體方法如下。

1)當軌跡插值點在相鄰兩個網(wǎng)格點中間時，如圖3所示。

圖3 兩點之間的速度向量構(gòu)建Fig.3 Velocity vector construction for the point between two nearby grid points

其速度向量V按照下式計算，即

式中:v1x與v1y分別為v1在X軸與Y軸的分量;v2x與v2y分別為v2在X軸與Y軸的分量。

2)當實際軌跡在相鄰4個網(wǎng)格點之間時，如圖4所示，其速度可計算為

其中:v3x與v3y分別為v3在X軸與Y軸的分量;v4x與v4y分別為v4在X軸與Y軸的分量;α與β為常數(shù)，可計算為

圖44 點之間速度向量場的構(gòu)建Fig.4 Velocity vector field construction for the point between four nearby grid points

采用速度場方法可將指令軌跡的X、Y軸位置指令，轉(zhuǎn)化為兩軸的速度指令，利用速度場僅與當前位置有關(guān)而與時間無關(guān)的特點，將傳統(tǒng)雙軸協(xié)調(diào)控制轉(zhuǎn)化為單軸速度控制，在后續(xù)控制器的設(shè)計上只需要設(shè)計單軸速度控制器減小各軸的速度誤差，就能夠提高系統(tǒng)輪廓精確度。

2.2 速度場連續(xù)性分析

文中以NURBS曲線作為系統(tǒng)的指令軌跡，由速度場的特點可知，每個網(wǎng)格點上的速度向量是唯一的，因此，為確保系統(tǒng)沿著平面內(nèi)速度場的箭頭方向所描繪的軌跡與指令軌跡是相同的，必須保證由所構(gòu)建的速度場所編碼的軌跡是唯一的，即保證所建構(gòu)的速度場在二維平面內(nèi)為連續(xù)函數(shù)，如圖5所示。

圖5 自由軌跡速度向量示意Fig.5 Diagram of velocity vector for the free form contour

圖中，p(u)為平滑封閉曲線且二次可微，q為XY平面內(nèi)任意一點，令d為q點與曲線p(u)所形成的最短距離向量，A(u)為最短距離向量與曲線p(u)相交的插值點，VQ(u)為曲線p(u)插值點A(u)的切線速度向量。因此，定義平面內(nèi)任意一點q的速度向量為

切線向量VQ(u)可計算為

根據(jù)距離向量的意義可定義距離函數(shù)為

距離函數(shù)的最小值為

其中，T為一個有界閉子集，在二維平面內(nèi)，距離函數(shù)f(q，u)可重新寫為

由于開根號函數(shù)均為連續(xù)函數(shù)，因此距離函數(shù)f(q，u)為連續(xù)函數(shù)，因此，距離函數(shù)最小值為連續(xù)函數(shù)，即保證距離向量在X軸與Y軸分量均為連續(xù)函數(shù)。

基于上述分析可知，速度場在X軸與Y軸的分量均為連續(xù)函數(shù)，即運動系統(tǒng)最終沿著平面內(nèi)速度場的箭頭方向能夠收斂到指令軌跡上。

3 仿真分析

為了驗證本文所提方案的可行性及正確性，利用Matlab對速度場的構(gòu)建方法進行仿真，同時，為了證明以方向場網(wǎng)格點方法能夠建構(gòu)NURBS自由軌跡的速度場，利用所提方法建構(gòu)圓形與四葉草兩種軌跡的速度場，并將由速度場所編碼的軌跡與指令軌跡之間的輪廓誤差進行對比分析。

采用NURBS參數(shù)式模型作為系統(tǒng)的指令軌跡，適當?shù)卣{(diào)整其控制點、節(jié)點向量及權(quán)重值后，分別得到圓形及四葉草兩種軌跡，其圖形參數(shù)如下。

按照選定的權(quán)重值、控制點與節(jié)點向量，分別得到圓形與四葉草兩種軌跡，如圖6、圖7所示。

圖6 圓形輪廓軌跡Fig.6 Circular contour trajectory

圖7 四葉草形輪廓軌跡Fig.7 Four-leaf contour trajectory

針對圓形軌跡，利用一般幾何方法構(gòu)建其速度場，如圖8所示。對于四葉草軌跡，基于方向場的網(wǎng)格點方法，選取網(wǎng)格點間距h=2 mm，經(jīng)過反復(fù)調(diào)節(jié)，以插值的方式構(gòu)建軌跡的速度場，如圖9所示。從圖8、圖9中可以看出，對于圓形軌跡和四葉草軌跡，無論利用一般幾何方法還是網(wǎng)格點方法，沿著速度場的箭頭流形方向均能夠編碼指令軌跡，即利用速度場方法能夠?qū)⒅噶钴壽E在X、Y軸位置指令完全轉(zhuǎn)化為X、Y軸的速度分量作為系統(tǒng)的指令輸入，而所建構(gòu)的速度場只與當前運動軌跡的位置有關(guān)而與時間無關(guān)，因此，利用速度場方法能夠使后續(xù)控制器設(shè)計側(cè)重于減小輪廓誤差而非跟蹤誤差。

圖8 圓形輪廓軌跡速度場Fig.8 Velocity vector field of circular contour trajectory

圖9 四葉草輪廓軌跡速度場Fig.9 Velocity vector field of four-leaf clover contour trajectory

根據(jù)圖8與圖9，在以兩種方法所構(gòu)建的速度場所編碼的兩種軌跡與指令軌跡中分別選定150個與90個插值點，并分別計算兩種軌跡與指令軌跡之間的輪廓誤差，如圖10、圖11所示。

綜合上述仿真結(jié)果，由圖8～圖11可知，采用方向場網(wǎng)格點方法能夠構(gòu)建任意NURBS自由軌跡的速度場，當網(wǎng)格間距為2 mm時，兩種軌跡的輪廓誤差分別保持在0～2 μm與0～1 μm之間。

圖10 圓形軌跡輪廓誤差曲線Fig.10 Contour error of the circular trajectory

圖11 四葉草軌跡輪廓誤差曲線(h=2 mm)Fig.11 Contour error of the four-leaf clover trajectory(h=2 mm)

4 實驗驗證

為進一步驗證速度場方法的有效性，搭建了基于速度場的XY平臺實驗系統(tǒng)，其實驗裝置如圖12所示。

圖12 實驗測試系統(tǒng)Fig.12 Picture of the measure system

圖12中，測試平臺選用的是北京慧摩森公司生產(chǎn)的XY二維平臺，X、Y軸位置傳感器均采用美國GSI公司的Micro-E MercuryⅡ1600－40型光柵編碼器，測試系統(tǒng)采用脈沖觸發(fā)方式，實驗所采用的直線電機為每個脈沖移動0.5 μm，在程序中將光柵尺采集的實際位置與測試系統(tǒng)的脈沖數(shù)做如下轉(zhuǎn)換，即

pulse數(shù)=目標位置(μm)/0.5(μm)

為了便于數(shù)據(jù)采集，采用VC6.0++進行編程，將得到的實驗數(shù)據(jù)寫入數(shù)據(jù)庫(ODBC)，并且將ODBC數(shù)據(jù)庫與VC相連，將數(shù)據(jù)導入EXCLE，最后，利用Matlab將EXCLE中存儲的軌跡規(guī)劃位置、速度及光柵編碼器的采樣位置等數(shù)據(jù)導出，并繪制曲線如下。

將四葉草軌跡的初始網(wǎng)格距離由2 mm調(diào)整至1 mm，插值點增加到200個點時，由速度場編碼的軌跡與NURBS指令軌跡的重合情況及兩種軌跡之間的輪廓誤差曲線如圖13和圖14所示。

由圖可知，網(wǎng)格點之間的距離越小時，由速度場編碼的軌跡與NURBS指令軌跡之間的輪廓誤差越小，當網(wǎng)格間距h=1 mm時，指令軌跡與實際軌跡基本重合，四葉草軌跡的輪廓誤差保持在0～0.5 μm之間。

圖13 四葉草指令軌跡與實際軌跡Fig.13 Four-leaf clover desired path and output path

圖14 四葉草軌跡輪廓誤差曲線(h=1 mm)Fig.14 Contour error of the four-leaf clover trajectory(h=1 mm)

5 結(jié)論

本文針對圓形與四葉草兩種軌跡，分別采用一般幾何方法和劃分網(wǎng)格法構(gòu)建NURBS指令軌跡的速度場，通過對仿真與實驗結(jié)果的對比分析得到以下結(jié)論:

1)針對任意NURBS自由軌跡，基于方向場理論，能夠以劃分網(wǎng)格的方式構(gòu)建其速度場，而由此方法構(gòu)建速度場所編碼的軌跡與以一般幾何方法構(gòu)建速度場所編碼軌跡的輪廓精確度基本相同;

2)針對同一種軌跡，通過適當?shù)卣{(diào)整網(wǎng)格間距能夠減小其輪廓誤差，當網(wǎng)格點間距越小時，其輪廓誤差值越小;

3)仿真結(jié)果表明，基于方向場理論，以網(wǎng)格點方法能夠構(gòu)建任意軌跡的速度場，通過適當調(diào)整網(wǎng)格間距使h=1 mm時，能夠使四葉草軌跡的輪廓誤差保持在0～0.5 μm之間，證明了該方法的可行性和有效性。

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