有限長迭代學(xué)習(xí)控制及在掃描光刻中的應(yīng)用

姜曉明， 陳興林

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，黑龍江哈爾濱 150001)

0 引言

步進掃描式光刻機［1－2］是半導(dǎo)體制造的主要生產(chǎn)設(shè)備。在嚴格工藝下縮短掃描光刻的預(yù)掃描時間對提高系統(tǒng)產(chǎn)率尤為重要。受機械諧振的影響，無法顯著提高系統(tǒng)的帶寬，因此也難以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能?；趻呙杵毓膺^程的重復(fù)性，將迭代學(xué)習(xí)控制用于掃描光刻系統(tǒng)中。

迭代學(xué)習(xí)控制［3－5］在光刻設(shè)備中已有應(yīng)用，最初其被應(yīng)用于步進式光刻機，例如文獻［6］采用魯棒綜合的迭代學(xué)習(xí)控制律來改善硅片臺的步進性能。文獻［7］通過迭代學(xué)習(xí)控制來消除系統(tǒng)在步進運動后的殘留振動。然而上述方法對掃描式光刻系統(tǒng)來說缺少針對性。HEERTJES M等［8］提出一種非線性迭代學(xué)習(xí)控制方法，以掃描性能指標為閾值進行切換控制，使之一直趨向閾值，但閾值的選取需要反復(fù)的嘗試。文獻［9］不需要設(shè)置閾值，直接采用分段方法，旨在消除掃描段的非重復(fù)性擾動，但在預(yù)掃描段的性能提升有限。此外，文獻［10］通過時頻分析方法來提高系統(tǒng)對非重復(fù)掃描軌跡的適用性。MISHRA S等［11］將基于投影方法的迭代學(xué)習(xí)控制應(yīng)用于模擬的硅片臺系統(tǒng)。上述方法存在如下缺陷:1)迭代過程存在大量的矩陣運算，而且掃描周期越長，運算量越大;2)在提高系統(tǒng)的性能和改善方法的魯棒性之間難以兼顧;3)在預(yù)掃描區(qū)間的分段學(xué)習(xí)控制容易影響系統(tǒng)的動態(tài)性能。

針對上述問題，首先給出硅片臺在掃描光刻中的運動模型和掃描軌跡;然后基于名義系統(tǒng)的優(yōu)化指標提取有效學(xué)習(xí)系數(shù)，得到基于有限長脈沖響應(yīng)的學(xué)習(xí)控制律，并對其收斂性和魯棒性進行分析;最后將該方法應(yīng)用于實驗平臺，采取掃描后期切換的學(xué)習(xí)控制策略來改善系統(tǒng)的掃描性能。

1 掃描式光刻系統(tǒng)

1.1 硅片臺系統(tǒng)

掃描光刻系統(tǒng)包括硅片臺和掩模臺子系統(tǒng)，在掃描光刻過程中，兩個子系統(tǒng)分別沿不同的軌跡進行運動。以硅片臺的微動臺為例進行說明，微動臺是一個六自由度的氣浮運動平臺，其受力分布如圖1所示，執(zhí)行機構(gòu)由3組線圈組成的平面電機以及3個垂向的重力補償器組成。這里考慮系統(tǒng)的平面運動，此時忽略垂向運動對平面運動的影響［1］。將微動臺重心的受力轉(zhuǎn)化到平面電機上，若O為微動臺的幾何中心，平面電機的三組線圈分別按等邊三角形進行排列，出力分別為Fh1，F(xiàn)h2，F(xiàn)h3。重心的受力分別為沿Xc軸步進方向的受力Fxc、沿Yc軸掃描方向的受力Fyc，以及沿旋轉(zhuǎn)方向的力矩Tzc，令 α為Fh1與Yc軸的夾角，則平面受力關(guān)系為

圖1 微動臺受力情況Fig.1 Forces of the micro motion stage

式中:

其中:m為微動臺的質(zhì)量;Jz為微動臺的轉(zhuǎn)動慣量;x，y，θ為重心坐標系下的位置和轉(zhuǎn)角。通過上述運動關(guān)系可以得到系統(tǒng)的解耦控制框圖，如圖2所示。

圖2 控制框圖Fig.2 Control diagram

圖中通過對微動臺進行幾何解耦，將其分解到3個單入單出的運動模型上，在此基礎(chǔ)上可以提取微動臺在掃描方向上的運動模型，即從掃描方向位置指令ry到掃描方向位置輸出y的控制回路。限于實驗條件，本文直接采用單自由度實驗平臺來實現(xiàn)掃描方向上的運動。為充分模擬掃描光刻過程，實驗平臺采用無鐵心永磁同步電機來代替平面電機，兩者的力矩擾動水平相當;同時實驗平臺采用氣浮支撐結(jié)構(gòu)。由于平臺采用單執(zhí)行機構(gòu)，負載質(zhì)量(5.5 kg)約為微動臺質(zhì)量(15 kg)的1/3。上述設(shè)計使實驗平臺可以近似模擬系統(tǒng)的掃描光刻過程。

1.2 掃描軌跡

掃描光刻系統(tǒng)的性能指標包括:與掃描誤差相關(guān)的移動平均值(SMA)、移動標準差(SMSD)以及調(diào)節(jié)時間。在t時刻的SMA和SMSD描述為式中:e(t)表示誤差;Ts表示掃描一個狹縫所需的時間。若狹縫的寬度為slit，掃描的速度為v，則Ts為

調(diào)節(jié)時間與SMA、SMSD相關(guān)，是SMA和SMSD滿足指標要求時的預(yù)掃描時間。為了改善系統(tǒng)的動態(tài)跟蹤性能，緩解加減速過程對系統(tǒng)的沖擊，采用時間優(yōu)化的方法進行掃描軌跡的規(guī)劃，硅片臺的掃描軌跡如圖3所示。圖中0～t1區(qū)間表示系統(tǒng)的加速過程;t1～t2區(qū)間表示系統(tǒng)的預(yù)掃描階段，在該階段，SMA和SMSD指標逐漸收斂至曝光所需的精度要求;t2～t4區(qū)間為系統(tǒng)的掃描光刻階段;掃描結(jié)束后，硅片臺從t4時刻開始減速，并進行反向加速，接著重復(fù)上述過程。圖中t5、t6、t8時刻與t1、t2、t4的定義相同。硅片臺的掃描軌跡為一個往復(fù)運動軌跡，這與光刻的工藝和效率有關(guān)［1］，下面將圍繞著掃描運動來展開。

圖3 掃描軌跡Fig.3 Scan trajectory

2 有限長迭代學(xué)習(xí)控制

2.1 迭代學(xué)習(xí)控制

根據(jù)1.1節(jié)的分析，將硅片臺系統(tǒng)進行解耦，得到系統(tǒng)在掃描方向上的運動模型為

式中:A，B，C，D為系統(tǒng)的狀態(tài)陣，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為0;u為系統(tǒng)在掃描方向上的期望控制量;y為系統(tǒng)在掃描方向上的位置輸出。若采樣周期為tn，則在有限時間段0～ntn內(nèi)，系統(tǒng)的時域表達形式為

式中:Y=［y(0)y(1)…y(n)］T;U=［u(0)u(1)…u(n)］T。若參考輸入為R，則跟蹤誤差為E=RY，基于二次型名義性能指標的優(yōu)化問題為

式中:加權(quán)矩陣We=α1I;Wd=α2I，Ei為第i步迭代周期的跟蹤誤差;ΔU=Ui+1－Ui，Ui為第i步迭代周期的控制量。利用優(yōu)化理論=0可以得到優(yōu)化迭代學(xué)習(xí)控制律，其表達形式為式中，L為優(yōu)化學(xué)習(xí)控制律的時域描述。

上述優(yōu)化迭代學(xué)習(xí)控制律［12］被廣泛應(yīng)用。但在應(yīng)用時會出現(xiàn)以下問題:1)學(xué)習(xí)控制律是針對精確模型的，對其魯棒性討論較少;2)學(xué)習(xí)控制律依賴于運動周期的長短，導(dǎo)致運動周期越長計算量越大，進而采樣時間變長，影響系統(tǒng)的實時性，所以學(xué)習(xí)控制律(9)更多地被用于實時性和性能要求不高的過程控制領(lǐng)域［13］。針對掃描光刻系統(tǒng)，為克服上述缺陷，提出一種基于有限長脈沖響應(yīng)的迭代學(xué)習(xí)控制律，將在下一節(jié)展開。

2.2 有限長迭代學(xué)習(xí)控制

采用圖4所示的閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制框架，圖中P為被控對象，K為反饋控制器，Lf為待求取的學(xué)習(xí)控制律，R為給定軌跡，Ei為第i步迭代的誤差，Ui為第i步迭代的控制量，Yi+1為第i+1步迭代的輸出。若采用T來描述由P和K構(gòu)成的反饋控制系統(tǒng)的時域描述，則閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制律為式中:T為閉環(huán)系統(tǒng)的Markov矩陣描述，T中的元素為系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)脈沖響應(yīng)系數(shù)。

圖4 系統(tǒng)控制框架Fig.4 Control diagram for the system

有限長迭代學(xué)習(xí)控制是對優(yōu)化學(xué)習(xí)控制律(10)的一個有效截短。不妨令學(xué)習(xí)控制律(10)的矩陣描述為

式中:g1…gn為Markov系數(shù);ntn為系統(tǒng)的掃描周期。上述學(xué)習(xí)律可以通過完整的閉環(huán)系統(tǒng)脈沖響應(yīng)系數(shù)來獲得，這一過程直接借助于實驗數(shù)據(jù)而非精確的系統(tǒng)描述。同時，式(11)描述的是一個高維矩陣，在實施過程計算量較大，影響系統(tǒng)的實時性。現(xiàn)在期望得到一個基于有限長脈沖響應(yīng)的數(shù)字濾波器Lf(z)來取代學(xué)習(xí)控制律(11)。這里，為充分反映學(xué)習(xí)控制律的非因果性，采用非因果的數(shù)字濾波器來描述，見定義1。

定義1截短的非因果迭代學(xué)習(xí)控制律描述為

式中，gi來自于學(xué)習(xí)控制律(11)，學(xué)習(xí)控制律的非因果部分和因果部分的階次都為n1，n1＜n。這樣會在很大程度上方便優(yōu)化迭代學(xué)習(xí)控制律的實施，提高系統(tǒng)的實時性。有限長迭代學(xué)習(xí)控制律的收斂性分析如定理1。

定理1對于式(6)描述的系統(tǒng)，采用有限長迭代學(xué)習(xí)控制律(12)，學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)是收斂的。

證明:假設(shè)系統(tǒng)存在一個n1tn的掃描周期，那么在0～n1tn內(nèi)描述的迭代學(xué)習(xí)控制律與式(11)類似，此時學(xué)習(xí)控制律的維數(shù)為n1，描述為而對于掃描周期為n的系統(tǒng)而言，有限長迭代學(xué)習(xí)控制律(12)的矩陣描述為

其中，λ=‖T‖2，因此，式(11)描述的學(xué)習(xí)控制律是收斂的。由Toeplitz矩陣的性質(zhì)可知

式中T1為與L1相匹配的Markov系統(tǒng)矩陣。

因此學(xué)習(xí)控制律(13)也是收斂的，最終有限長迭代學(xué)習(xí)控制律是收斂的。證畢

在有限長迭代學(xué)習(xí)控制律的基礎(chǔ)上，采用文獻［14］提出的分段學(xué)習(xí)控制思想來進一步提高系統(tǒng)的掃描性能。如圖2所示，在勻速段分別選擇t3和t7兩個時刻，使得t3～t4(或t7～t8)之間的時間段長度等于n1tn，學(xué)習(xí)控制量分別保持t3和t8時刻的控制量，從而可以得到分段有限長迭代學(xué)習(xí)控制律。

2.3 有限長迭代學(xué)習(xí)控制的魯棒性

由于六自由度運動系統(tǒng)的耦合作用以及系統(tǒng)自身機械諧振的影響，系統(tǒng)在掃描方向上存在一定的不確定性，因此有必要考察有限長迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)的魯棒性。若將閉環(huán)系統(tǒng)描述為Tr=T+ΔT，ΔT為系統(tǒng)的不確定性，最終得到定理2。

定理2當系統(tǒng)的不確定性滿足‖ΔT‖2＜‖T‖2，則有限長學(xué)習(xí)控制律(12)使系統(tǒng)魯棒收斂。

證明:對于掃描周期為ntn的系統(tǒng)，系統(tǒng)的魯棒

L2的維數(shù)為n。

L2在0～n1tn的學(xué)習(xí)收斂性與itn～(n1+i)tn的收斂性一致。對于線性系統(tǒng)而言，要證明有限長迭代學(xué)習(xí)控制律的收斂性，只需證明迭代學(xué)習(xí)控制律(13)的收斂性。

分析完整掃描周期下的迭代學(xué)習(xí)控制律(11)，由Ei=R－Yi可以得到

令We=α1I，Wd=α2I，α1，α2為非零正數(shù)，則收斂性條件為‖I－TrL‖2＜1。

若令We=α1I，Wd=α2I進一步有

式中λ=‖T‖2。當‖ΔT‖2=0時，系統(tǒng)是收斂的;當‖ΔT‖2≠0時，令‖ΔT‖2＜‖T‖2，則‖I－TrL‖2＜1，學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)是魯棒收斂的。

由定理1可知，對于有限長迭代學(xué)習(xí)控制律而言，系統(tǒng)也是魯棒收斂的。證畢

3 實驗驗證

根據(jù)第2節(jié)的描述，采用精密直線運動平臺來模擬硅片臺的掃描運動，如圖5所示。試驗平臺安放在隔振平臺上，采用氣浮支撐，外接空氣壓縮機和過濾器，在5Bar的氣壓下正常工作。采用無鐵心直線電機作為執(zhí)行機構(gòu)，并且采用高分辨率光柵尺作為測量傳感器，控制系統(tǒng)還包括了工業(yè)控制計算機、電機驅(qū)動單元、運動控制板卡以及海德漢數(shù)據(jù)采集卡(對光柵尺的正余弦信號進行4096細分)，學(xué)習(xí)控制算法在RTX實時系統(tǒng)下實施。

圖5 氣浮試驗平臺Fig.5 Air bearing test bench

3.1 有限長迭代學(xué)習(xí)控制

結(jié)合圖4給出的系統(tǒng)控制框架，將有限長迭代學(xué)習(xí)控制律應(yīng)用于上述試驗平臺。為描述方便，將該方法稱為FILC(Finite Iterative Learning Control)。令系統(tǒng)采樣頻率為5 kHz，首先對反饋控制器K進行設(shè)計，采用PID控制來測試系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖響應(yīng)特性，具體設(shè)計參數(shù)見文獻［15］。如圖6所示，給出了系統(tǒng)在100 μm脈沖輸入下的31組脈沖響應(yīng)輸出曲線。利用脈沖響應(yīng)的均值可以提取名義系統(tǒng)的Markov系數(shù)，選擇優(yōu)化加權(quán)系數(shù) α1=1，α2=1，可以計算得到迭代學(xué)習(xí)控制律(11)的有效學(xué)習(xí)系數(shù)，進一步選擇有限長度n1=300，得到有限長學(xué)習(xí)控制律(12)，階次為601。限于篇幅，這里未給出學(xué)習(xí)控制律的具體描述。將FILC應(yīng)用于試驗平臺，得到系統(tǒng)在時域下的跟蹤誤差曲線，如圖7所示。

圖6 輸入為100 μm的脈沖響應(yīng)Fig.6 Impulse response for 100 μm input

圖7 應(yīng)用FILC時的跟蹤誤差Fig.7 Tracking errors for FILC

圖中第1步是指系統(tǒng)在單獨反饋控制下的跟蹤誤差，第2步和第10步分別為系統(tǒng)在第2步和第10步迭代時的跟蹤誤差。圖7還給出了系統(tǒng)在掃描結(jié)束段的誤差局部放大，從中發(fā)現(xiàn)，隨著學(xué)習(xí)控制律的實施，系統(tǒng)在臨近減速時的性能發(fā)生了惡化。圖8給出了系統(tǒng)跟蹤誤差的2范數(shù)沿迭代軸的變化特性，隨著迭代周期的增加，跟蹤誤差的2范數(shù)逐漸收斂，說明有限長迭代學(xué)習(xí)控制律是收斂的。

圖8 應(yīng)用FILC時的誤差2范數(shù)Fig.8 2 -norm of errors for FILC

3.2 分段有限長迭代學(xué)習(xí)控制

針對系統(tǒng)在勻速段后期性能部分惡化的現(xiàn)象，應(yīng)用分段有限長迭代學(xué)習(xí)控制，將其稱之為SFILC(Segment Finite Iterative Learning Control)。通過實驗得到系統(tǒng)的跟蹤誤差曲線，如圖9所示。圖中各條曲線的意義與圖7相同，此時，系統(tǒng)在勻速段的性能要優(yōu)于直接應(yīng)用FILC時的情形。系統(tǒng)的收斂特性如圖10所示，跟蹤誤差的2范數(shù)隨著迭代周期的增加而逐漸收斂。

圖9 應(yīng)用SFILC時的跟蹤誤差Fig.9 Tracking errors for SFILC

圖10 應(yīng)用SFILC時誤差的2范數(shù)Fig.10 2 -norm of errors for SFILC

進一步考察掃描光刻系統(tǒng)的統(tǒng)計特性，文中以曝光狹縫寬度10.5 mm，掃描速度150 mm/s為例，系統(tǒng)的統(tǒng)計指標如圖11所示。與單獨的反饋控制相比，系統(tǒng)在分段有限長迭代學(xué)習(xí)控制的作用下，SMA和SMSD得到了顯著的改善。以SMA=20 nm，SMSD=60 nm作為曝光的性能指標，經(jīng)過10步迭代，系統(tǒng)的預(yù)掃描時間從46.8 ms縮短至1.6 ms。

圖11 系統(tǒng)的統(tǒng)計指標Fig.11 Statistical index of the system

3.3 魯棒性驗證

對有限長迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)的魯棒性進行驗證，系統(tǒng)的不確定性可以通過脈沖響應(yīng)得以體現(xiàn)。如圖12所示，分別給出了脈沖響應(yīng)的上下界，它反映出系統(tǒng)存在一定的不確定性。利用系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)的平均值得到名義系統(tǒng)的矩陣描述T，同理可以得到系統(tǒng)不確定性的上下界ΔT1和ΔT2。進一步求得名義系統(tǒng)的范數(shù)‖T‖2=2.706 9，不確定性的范數(shù)‖ΔT1‖2=1.411 5，‖ΔT2‖2=1.401 6，由于‖ΔT1‖2＜‖T‖2且‖ΔT2‖2＜ ‖T‖2，根據(jù)第2節(jié)的理論，系統(tǒng)是魯棒收斂的。

圖12 系統(tǒng)不確定性Fig.12 System uncertainty

4 結(jié)語

文中提出了一種基于有限長脈沖響應(yīng)的迭代學(xué)習(xí)控制方法。該方法將系統(tǒng)名義指標下的優(yōu)化迭代學(xué)習(xí)控制律轉(zhuǎn)化為基于有限長脈沖響應(yīng)的學(xué)習(xí)控制律，提高了系統(tǒng)在應(yīng)用中的實時性。此外還討論了有限長迭代學(xué)習(xí)控制律的收斂性和魯棒性。最后將有限長迭代學(xué)習(xí)控制律應(yīng)用于掃描光刻實驗平臺，實驗結(jié)果表明該方法有效地減小了掃描光刻的預(yù)掃描時間。

［1］BUTLER H.Position control in lithographic equipment［J］.IEEE Control Systems Magazine，2011，31(5):28－47.

［2］MARTINEZ V M，EDGAR T F.Control of lithography in semiconductor manufacturing［J］.IEEE Control System Magazine，2006，26(6):46－55.

［3］ARIMOTO S，KAWAMURA S，MIYAZAKI F.Bettering operation of robots by learning［J］.Journal of Robotic Systems，1984，1(2):123－140.

［4］BRISTOW D A，THARAYIL M，ALLEYNE A G.A survey of Iterative learning control［J］.IEEE Control Systems Magazine，2006，26(3):96－114.

［5］張宏偉，余發(fā)山，卜旭輝，等.基于魯棒迭代學(xué)習(xí)的永磁直線電機控制［J］.電機與控制學(xué)報，2012，16(6):81－86.

ZHANG Hongwei，YU Fashan，BU Xuhui，et al.Robust iterative learning control for permanent magnet linear motor［J］.Electric Machines and Control，2012，16(6):81－86.

［6］DE ROOVER D，BOSGRA O H.Synthesis of robust multivariable iterative learning controllers with application to a wafer stage motion system［J］.International Journal of Control，2000，73(10):968－979.

［7］VAN OOSTEN C L，BOSGRA O H，DIJKSTRA B G.Reducing residual vibrations through iterative learning control，with application to a wafer stage［C］//2004 American Control Conference，June 30－July 2，2004，Boston，USA:IEEE，2004，6:5150－5155.

［8］HEERTJES M，TSO T.Nonlinear iterative learning control with applications to lithographic machinery［J］.Control Engineering Practice，2007，15(12):1545－1555.

［9］MISHRA S，COAPLEN J，TOMIZUKA M.Precision positioning of wafer scanners:segmented iterative learning control for nonreprtitive disturbances［J］.IEEE Control Systems Magazine，2007，27(4):20－25.

［10］ROTARIU I，STEINBUCH M，ELLENBROEK R.Adaptive iterative learning control for high precision motion systems［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2008，16(5):1075－1082.

［11］MISHRA S，TOMIZUKA M.Projection-based iterative learning control for wafer scanner systems［J］.IEEE/ASME Transactions on Mechatronics，2009，14(3):388－393.

［12］GUNNARSSON S，NORRLOF M.On the design of ILC algorithms using optimization［J］.Automatica，2001，37(12):2011－2016.

［13］XU Z，ZHAO J，YANG Y，et al.Robust iterative learning control with quadratic performance index［J］.Industrial＆Engineering Chemistry Research，2012，51(2):872－881.

［14］陳興林，姜曉明，王巖.掃描光刻系統(tǒng)的分段迭代學(xué)習(xí)控制策略［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2013，45(7):18－23.

CHEN Xinglin，JIANG Xiaoming，WANG Yan.Segmented iterative learning control strategy for wafer scanner systems［J］.Journal of Harbin Institute of Technology，2013，45(7):18－23.

［15］陳興林，姜曉明，王程.晶圓掃描光刻系統(tǒng)的有效非因果學(xué)習(xí)控制［J］.控制理論與應(yīng)用，2013，30(10):1258－1264.

CHEN Xinglin，JIANG Xiaoming，WANG Cheng.Effective noncausal learning control for wafer scanner systems［J］.Control Theory＆Applications，2013，30(10):1258－1264.