地鐵浮置式軌道引起地表振動響應(yīng)解析預(yù)測模型研究

吳宗臻，劉維寧，馬龍祥，王文斌

（1．北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044；2．鐵科院（北京）工程咨詢有限公司，北京 100081）

城市軌道交通的飛速發(fā)展在改善城市交通擁堵的同時，也引起了越來越嚴(yán)重的環(huán)境振動問題［1］。為了降低地鐵列車運行對周圍環(huán)境的振動影響，各類減振產(chǎn)品廣泛應(yīng)用于地鐵各線的減振區(qū)段。其中浮置式軌道具有固有頻率低，減振效果好，不影響輪軌工作性能等優(yōu)點，主要結(jié)構(gòu)型式有鋼彈簧浮置板軌道［2］、橡膠浮置板式軌道［3］（浮置式道床軌道）和梯式軌枕軌道［4］（浮置式軌枕軌道）等。我國現(xiàn)行《環(huán)境影響評價技術(shù)導(dǎo)則——城市軌道交通》［5］推薦采用統(tǒng)一的經(jīng)驗鏈?zhǔn)焦阶鳛榄h(huán)境振動預(yù)測計算方法，該方法簡單快捷，普適性強，（但是精度較低且無法在頻域內(nèi)進(jìn)行定量預(yù)測。尤其對于采用浮置式軌道的環(huán)境振動敏感區(qū)段，往往對振動頻譜有特殊的要求，規(guī)范推薦的Z振級預(yù)測公式已經(jīng)不能滿足實際應(yīng)用要求。而且隨著城市軌道交通路網(wǎng)越來越密集，沿線的敏感目標(biāo)也會大量增加，現(xiàn)有的地鐵環(huán)境振動的頻域內(nèi)解析和數(shù)值預(yù)測方法往往計算周期較長，無法適用于同時精確高效的預(yù)測地鐵沿線多個敏感目標(biāo)的環(huán)境振動［6］。因此，環(huán)境振動評價亟須要一種滿足頻域預(yù)測精度要求且快速高效的預(yù)測方法進(jìn)行輔助決策。

針對地鐵環(huán)境振動多點同步快速預(yù)測問題，提出了一種適用于區(qū)間地鐵引起環(huán)境振動的頻域快速預(yù)測模型，將浮置式軌道環(huán)境振動問題轉(zhuǎn)化為通過浮置式軌道模型［7］求解作用于基底的頻域力群和通過地表振動響應(yīng)的三維Green函數(shù)［8］求解土層頻響函數(shù)群，然后將兩者進(jìn)行頻域內(nèi)復(fù)數(shù)疊加運算得出地表的振動響應(yīng)。采用本模型預(yù)測了北京地鐵4號線浮置板區(qū)間地表振動響應(yīng)，并與現(xiàn)場地表振動實測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，驗證了該模型的可行性和準(zhǔn)確性。本模型具有較高的預(yù)測精度和較快的計算速度，可用于預(yù)測地鐵建設(shè)設(shè)計階段的地鐵運行引起的環(huán)境振動的加速度時程，頻譜，1／3倍頻程與Z振級。

1 模型基本原理及預(yù)測流程

對于地鐵列車引起的振動傳播系統(tǒng)，國內(nèi)外學(xué)者通常將其視為線彈性系統(tǒng)，對于土層也多是將其簡化為水平成層線彈性體［9－10］。實測表明，地鐵運行引起的環(huán)境振動的量級較小，土層處于彈性應(yīng)變階段［11］。因此，本模型將土層系統(tǒng)簡化為水平成層彈性體。

對于線彈性的系統(tǒng)，任意兩點間的振動傳遞規(guī)律是系統(tǒng)的固有特性，不同頻率處的振動傳遞性質(zhì)不因振源輸入的不同而改變。地表振動響應(yīng)Green函數(shù)描述了在半無限空間成層土體內(nèi)部的單位脈沖激勵作用下的地表振動響應(yīng)，通過Green函數(shù)可以求得土體內(nèi)部某點作用一垂向單位脈沖荷載的地表測點處的振動響應(yīng)，稱之為土層振動頻響函數(shù)。本預(yù)測模型即將車軌模型作用于基底的頻域力與該點處頻率響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行運算，從而利用線彈性系統(tǒng)振動傳遞特性來的達(dá)到預(yù)測地表振動的目的。

整個預(yù)測模型實現(xiàn)過程分為三個主要步驟：

第一步，本預(yù)測模型通過解析的方法求解出浮置式軌道系統(tǒng)作用于基底的頻域力群F＾n（ω），將列車運行的復(fù)雜時空效應(yīng)轉(zhuǎn)化為固定系列點荷載輸入，如圖1所示。

圖1 軌道模型求解的基底頻域力群Fig．1 Forces on base calculated by track model

第二步，采用成層土體三維Green函數(shù)求解出基底頻域力群（ω）作用點處到地表預(yù)測點處的振動頻響函數(shù)群 Hn（ω）。

第三步，將對應(yīng)位置處的頻域力和頻響函數(shù)進(jìn)行復(fù)數(shù)相乘運算得到單個固定力輸入的地表預(yù)測點的振動響應(yīng)（ω）×Hi（ω）。最后在頻域內(nèi)進(jìn)行復(fù)數(shù)疊加運算得出頻域力群（ω）作用下地表預(yù)測點處的振動響應(yīng)（ω），即為地鐵列車經(jīng)過浮置式軌道引起的地表響應(yīng)，如式（1）所示。

其中：n為計算的基底頻率力的數(shù)目，ω為圓頻率，符號“＾”代表頻域內(nèi)的物理量。

預(yù)測模型的基本流程如圖2所示。

圖2 預(yù)測模型流程圖Fig．2 Flow chart of prediction model

本模型將地鐵列車運行的時空荷載輸入，變換到與時間無關(guān)的頻域內(nèi)進(jìn)行求解，整個計算過程都是在頻域內(nèi)進(jìn)行的復(fù)數(shù)運算，頻域力、頻響函數(shù)以及最終預(yù)測結(jié)果都包含了幅值和相位全部信息。通過分解及轉(zhuǎn)化的思想可以快速的得到地鐵列車在浮置式軌道上運行作用下的環(huán)境振動響應(yīng)。

2 預(yù)測模型解析解

2．1 浮置式軌道模型基底力群的求解

為了準(zhǔn)確地求解出浮置式軌道系統(tǒng)作用于隧道基底的頻域力 F＾n（ω），需要構(gòu)建高精度的車軌耦合模型［7，12］（圖 3）。模型中，車輛采用 6節(jié)編組，每節(jié)車廂有4個輪對、2個轉(zhuǎn)向架、1個車體，都簡化為剛體，一系、二系彈簧簡化為彈簧阻尼元件。軌道系統(tǒng)為以一個浮置板長為周期的無限長結(jié)構(gòu)，其中，將鋼軌簡化為離散點支撐的無限長歐拉梁，浮置板簡化為離散點支撐的有限長歐拉梁，扣件及隔振器簡化為彈簧阻尼單元。

圖3 浮置式軌道車軌耦合模型Fig．3 Coupled train-track model of floating-type track

在求解模型的過程中，輪軌激振形式采用移動荷載狀態(tài)激振（車輪在具有不平順的軌道結(jié)構(gòu)上向前移動）［12］，而非傳統(tǒng)的定點荷載狀態(tài)激振（車輪不動，輪軌表面不平順的激勵帶反向移動）。

模型的基本求解思路如下：

（1）在采用移動荷載狀態(tài)激振的前提下，將軌道不平順表示成系列三角函數(shù)的疊加，在單一頻率成分的不平順下，求解對應(yīng)頻率的輪對柔度矩陣及軌道結(jié)構(gòu)上輪軌接觸點的柔度矩陣，而后耦合車輛系統(tǒng)及軌道系統(tǒng)，求得相應(yīng)頻率成分的動態(tài)輪軌激勵力。

（2）將考慮的所有頻率成分不平順引起的動態(tài)輪軌激勵力計算出來并進(jìn)行疊加，將總輪軌力表示成一系列具有不同頻率成分的簡諧力的疊加。

（3）求解移動簡諧荷載作用下的浮置式軌道系統(tǒng)的動力響應(yīng)。

（4）將求解出的輪軌力（系列簡諧力的疊加形式）帶入簡諧荷載作用下的浮置式軌道模型的動力響應(yīng)解答中，從而達(dá)到車輛響應(yīng)及軌道響應(yīng)的求解，進(jìn)而得到基底頻域力群。

文獻(xiàn)［12］給出了在移動荷載狀態(tài)激振下的輪對相互影響系數(shù)的求解方法，這是求解車軌耦合模型的輪軌力的基礎(chǔ)。文獻(xiàn)［7］給出了一種考慮周期性結(jié)構(gòu)基本性質(zhì)的采用模態(tài)疊加技術(shù)的數(shù)值方法，可以精確快速的求解出浮置式軌道在移動諧振荷載作用下的動力響應(yīng)。

基于這些成果形成程序STFSTI，計算得到車軌模型動力響應(yīng)及基底頻域力群F＾n（ω）（圖4）。具體的理論推導(dǎo)過程可以查閱相關(guān)參考文獻(xiàn)，此處不再贅述。

圖4 典型基底頻域力Fig．4 Typical force on base in frequency domain

2．2 土層頻響函數(shù)群的求解

將土層簡化為水平成層的半無限空間彈性體，每個土層均為各向同性的連續(xù)彈性介質(zhì)（圖5）。土體Green函數(shù)［8］表征了在土體內(nèi)部某一坐標(biāo)方向上施加一個單位脈沖荷載，在任意一點處產(chǎn)生的振動響應(yīng)。土層內(nèi)部脈沖激勵作用下的地表測點處的頻響函數(shù)群可以通過求解水平成層土體表面Green函數(shù)得到。

圖5 成層半空間土體模型Fig．5 Model of layered half-space soil

采用直接剛度法［13］求解土體Green函數(shù)的基本思路如下：

（1）通過積分變換把時間－空間域內(nèi)的波動方程轉(zhuǎn)化到頻率－波數(shù)域，之后在頻率－波數(shù)域內(nèi)推導(dǎo)出每層土體交界面上的位移和面力。

（2）建立每層土體的剛度矩陣（這個剛度矩陣稱為單元剛度矩陣），即通過剛度矩陣可以建立每層土體上下表面上的面力和位移之間的平衡方程。

（3）把各層土體的單元剛度矩陣集總成一個總剛度矩陣，并建立一個總的平衡方程，解這個平衡方程，可以得到各個土層交界面上的位移，最后通過形函數(shù)可以求得每個土層內(nèi)部的位移和面力。

（4）在土體內(nèi)部施加垂向脈沖激勵，將垂向脈沖荷載帶入總平衡方程，根據(jù)Green函數(shù)的定義，此時所求得的土層內(nèi)部的位移和面力即為土體的Green函數(shù)。地表的Green函數(shù)解答即為本文需要的土層頻響函數(shù)群 Hn（ω）。

3 預(yù)測模型的實測驗證

3．1 現(xiàn)場振動加速度實測

為了驗證本預(yù)測模型的適用性，選取北京地鐵鋼彈簧浮置板區(qū)間進(jìn)行振源加速度測試，在鋼軌、道床及隧道壁上布置傳感器，測點布置如圖6所示。

圖6 隧道內(nèi)加速度傳感器布置圖Fig．6 Lacations of sensors in tunnel

另外選取北京地鐵4號線北大東門區(qū)間的鋼彈簧浮置板區(qū)段進(jìn)行地表振動加速度測試，地表測點的位置為距離地鐵隧道中心線水平距離30 m處，隧道、土層及地表測點位置關(guān)系如圖7所示。

圖7 隧道及土層關(guān)系圖Fig．7 Distribution of tunnel and soil

振動測試采用INV3018C型24位高精度數(shù)據(jù)采集儀以及 Lance系列高精度壓電式加速度傳感器。INV3018C型24位高精度數(shù)據(jù)采集儀采用24位ΔΣ方式的AD轉(zhuǎn)換器，結(jié)合了最新FPGA和DSP技術(shù)，可8個通道并行處理，單個通道最高采樣頻率51．2 kHz，動態(tài)范圍120 dB。數(shù)據(jù)采集及分析軟件為DASP V10。

3．2 浮置板軌道振動加速度驗證

將前文構(gòu)建的浮置式軌道模型編制Matlab程序進(jìn)行計算，參數(shù)采用鋼彈簧浮置板軌道（FST）實際參數(shù)，如表1所示。

圖8～圖9為浮置板上的振動加速度頻譜和1／3倍頻程譜的實測值與計算值的對比?？梢钥闯?，計算值與實測值量值相當(dāng)，變化趨勢相同。結(jié)果表明浮置式軌道模型構(gòu)建及求解過程科學(xué)合理，采用其求解出的頻域力群是準(zhǔn)確可信的。

表1 軌道參數(shù)Tab．1 Track parameters

圖8 浮置板振動加速度頻譜幅值實測與計算值對比Fig．8 Comparison of acceleration frequency spectrum of FST

圖9 浮置板振動加速度1／3倍頻程實測與計算值對比Fig．9 Comparison of acceleration one-third octave spectrum of FST

3．3 地表振動加速度驗證

采用本文提出的預(yù)測模型編制程序進(jìn)行地表振動響應(yīng)預(yù)測，土層參數(shù)采用北京地鐵4號線北大東門區(qū)間實際地勘參數(shù)，如表2所示。

表2 土層參數(shù)Tab．2 soil parameters

圖10為輸入實際地勘土層參數(shù)的三維Green函數(shù)計算得到的頻響函數(shù)群中，距離脈沖水平距離40 m和100 m處的典型頻譜幅值?？梢钥闯觯翆拥乇眍l響函數(shù)隨著頻率的增加呈現(xiàn)“波浪形”變化趨勢，而且100 m處的響應(yīng)在全頻帶都比40 m處的響應(yīng)量值有很大的降低。這說明隨著距離脈沖位置水平距離的增加，土體對頻域內(nèi)振動的傳播具有很強的衰減效果。

圖11～圖12為地表振動加速度頻譜和1／3倍頻程譜的實測值與計算值的對比?？梢缘贸觯?/p>

（1）模型預(yù)測和實測地表振動加速度的頻譜波形相近，量級相當(dāng)，振動主頻都在8～10 Hz的鋼彈簧浮置板的固有頻率附近，而且兩者的頻域振動幅值相當(dāng)。在35～50 Hz頻段現(xiàn)場實測頻譜有除了8 Hz自振頻段峰值外的第二個小峰值群，計算值在此頻段偏小。

（2）模型計算值和實測值的1／3倍頻程譜曲線基本重合，振動量級、變化趨勢一致。在40 Hz頻帶計算值稍低，這與頻譜分析結(jié)果相符。

（3）Z振級計算結(jié)果為：地表實測Z振級54．0 dB，預(yù)測模型計算Z振級為56．1 dB，預(yù)測結(jié)果偏于安全且誤差較小。

圖10 地表振動加速度頻響函數(shù)幅值Fig．10 Acceleration frequency response functions of ground points

圖11 地表振動加速度頻譜幅值實測與計算值對比Fig．11 Comparison of ground acceleration frequency spectrum

圖12 地表振動加速度1／3倍頻程實測與計算值對比Fig．12 Comparison of ground acceleration one－third octave spectrum

由于本預(yù)測方法旨在頻域內(nèi)解決地鐵環(huán)境振動評價中的多點同時、快速準(zhǔn)確預(yù)測問題，為了可以采用解析的方法求解土層頻響函數(shù)從而提高計算速度，本預(yù)測模型采用Green函數(shù)法求解土層頻響函數(shù)群。因為Green函數(shù)法是針對水平成層彈性體振動響應(yīng)的純解析模型，無法引入隧道結(jié)構(gòu)進(jìn)行解析求解，因此本模型在求解土層頻響函數(shù)時進(jìn)行了簡化，忽略掉了隧道結(jié)構(gòu)的影響。由本模型計算結(jié)果與實測的對比分析可以看出，在簡化了隧道結(jié)構(gòu)對振動的影響下，振動預(yù)測結(jié)果是較為精確的。說明本模型做出的這個簡化是合理的，取得了地鐵環(huán)境振動預(yù)測中計算速度和預(yù)測精度的平衡。

4 結(jié) 論

在土層振動傳遞固有特性的基礎(chǔ)上，針對地鐵建設(shè)設(shè)計階段的多點快速預(yù)測要求，提出了一種浮置式軌道引起地表振動響應(yīng)的頻域解析預(yù)測模型，利用求解浮置式軌道作用于基底的頻域力群和土層振動頻響函數(shù)群的方法來預(yù)測地鐵浮置式軌道引起的地表振動響應(yīng)。

本模型通過優(yōu)化的解析解編程實現(xiàn)，采用符合實際動力特性的浮置式軌道模型與考慮實際土層中振動傳播特性的三維Green函數(shù)求解頻響函數(shù)，保證了模型預(yù)測的精度，且相比其他動力仿真模型具有極快的計算速度，可在設(shè)計階段同時針對有高等級特殊減振需求的多個敏感點地鐵區(qū)間開展浮置式軌道選型工作。

采用本模型預(yù)測了北京地鐵4號線浮置板區(qū)間地表振動響應(yīng)，并與現(xiàn)場實測進(jìn)行對比驗證，表明本模型具有預(yù)測速度快、預(yù)測精度高、預(yù)測頻帶寬等特點，可有效預(yù)測浮置式軌道區(qū)間的地鐵列車運行引起的地表振動響應(yīng)，從而合理選擇減振軌道型式。本模型具有重大的工程應(yīng)用和社會價值，是現(xiàn)有環(huán)評預(yù)測方法的有效補充。

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