基于反射系數(shù)測(cè)量的黏彈性材料動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)反演方法

陶 猛，趙 陽

（1．貴州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，貴陽 550025；2．上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240）

以黏彈性介質(zhì)為基底材料的聲學(xué)覆蓋層，其動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)與聲學(xué)性能存在定量關(guān)系。聲學(xué)覆蓋層的吸聲、隔聲等性能預(yù)報(bào)除了要采用合理的計(jì)算分析模型外，準(zhǔn)確的黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)也是必不可少的。在不同的溫度、頻率和靜水壓力條件下，黏彈性材料表現(xiàn)出不同的力學(xué)特性，因此要想準(zhǔn)確測(cè)量黏彈性材料動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)并不容易。

通常測(cè)量動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)的方法可分為兩大類，一類是基于振動(dòng)響應(yīng)測(cè)量動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)［1－4］，比較常用的有強(qiáng)迫非共振法、振動(dòng)梁法、動(dòng)態(tài)黏彈譜儀法。盡管這些測(cè)試方法都相對(duì)簡(jiǎn)單，但是這些方法都有各自的局限性，例如振動(dòng)測(cè)試方法的頻段較低，或者基于時(shí)溫等效原理推導(dǎo)的楊氏模量還沒有直接的測(cè)試結(jié)果加以驗(yàn)證等。另一類是通過測(cè)量材料聲學(xué)特性反演材料動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)的方法，這樣可在頻段范圍上與機(jī)理研究同步。已有方法包括在水池中由待測(cè)材料的平板試樣測(cè)量斜向入射聲波的回聲降低或插入損失來反演材料的剪切特性［5－6］，但低頻測(cè)量時(shí)由于樣品邊緣的衍射干擾使得誤差較大。此外，也有利用做成球形的待測(cè)材料試樣，使實(shí)際測(cè)量的散射系數(shù)與理論計(jì)算的散射系數(shù)誤差最小以計(jì)算材料體積模量的方法［7］。

本文研究了一種通過測(cè)量圓柱空腔覆蓋層的反射系數(shù)，來反演黏彈性材料動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)的方法。由于平面波垂直入射到圓柱空腔覆蓋層時(shí)，其反射系數(shù)與其結(jié)構(gòu)、材料參數(shù)具有明確的解析關(guān)系，因此首先利用該關(guān)系建立動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)的反演過程。需要指出的是，動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)如楊氏模量、剪切模量和泊松比等可通過材料的縱波聲速和剪切波聲速換算得到，因此該方法的核心是反演縱波聲速和剪切波聲速這兩個(gè)基本參數(shù)。然后，以某種橡膠制成的圓柱空腔覆蓋層樣品為例，進(jìn)行了聲管測(cè)量和結(jié)果分析。

1 聲學(xué)覆蓋層反射系數(shù)的計(jì)算模型

圓柱空腔聲學(xué)覆蓋層的結(jié)構(gòu)是沿厚度方向形成空腔，空腔的基本形狀是圓柱型空腔，圖中按照正三角形周期性地排列了同樣的空腔，由于對(duì)稱性可以只取其中的一個(gè)單元分析，但是建立六面棱柱體的理論模型相當(dāng)困難，可用圓柱代替以簡(jiǎn)化模型的復(fù)雜性，這樣就得到黏彈性圓柱管的模型，如圖1所示，其中黏彈性圓柱管的外半徑為a，內(nèi)半徑為b。

圖1 周期結(jié)構(gòu)圓柱空腔覆蓋層的結(jié)構(gòu)示意圖Fig．1 Configurations of the acoustic layer embedded periodic cylindrical-hole

湯渭霖等［8］建立的圓柱空腔覆蓋層的二維理論將聲學(xué)覆蓋層的單元簡(jiǎn)化為黏彈性圓柱管，其聲學(xué)特性取決于波在圓柱管中的傳播和損耗特性。但是該模型考慮了高階軸對(duì)稱波對(duì)聲學(xué)特性的貢獻(xiàn)，使得計(jì)算和分析過程相當(dāng)復(fù)雜繁瑣。因此，有必要基于二維理論尋找一種合理快速的近似方法，而這種方法主要基于以下近似：平面波垂直入射時(shí)，圓柱空腔覆蓋層的低頻性能由黏彈性圓柱管中的最低階軸對(duì)稱波的傳播特性決定［8］，進(jìn)而黏彈性圓柱管的等效阻抗可由最低階軸對(duì)稱波的傳播波數(shù)確定。

假設(shè)在聲波小振幅激勵(lì)的情況下，采用Kelvin-Voigt線性黏彈性模型來描述聲學(xué)覆蓋層的基底材料，可以得到與彈性模型形式相同的方程和解，區(qū)別在于將彈性常數(shù)換成相應(yīng)的黏彈性常數(shù)。圓柱管中軸對(duì)稱波的形式解一般可以寫成［8］（省略時(shí)間因子 ejωt）：

式中：分別是徑向縱波波數(shù)和徑向剪切波波數(shù)，K是軸對(duì)稱波波數(shù)，c槇l和分別是黏彈性材料的復(fù)縱波聲速和復(fù)剪切波聲速。

在圓柱坐標(biāo)系下，黏彈性圓柱管的位移和應(yīng)力可用兩個(gè)標(biāo)量勢(shì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)來表示。在平面波入射條件下，通過對(duì)黏彈性圓柱管內(nèi)、外邊界建立合理的邊界條件，可以獲得描述軸對(duì)稱波的特征方程：

其中：

式中：Jn（·）和 Yn（·），（n＝0，1）分別是 Bessel函數(shù)和Neumann函數(shù)。特征方程（2）式的詳細(xì)建立過程可參見文獻(xiàn)［8］。對(duì)于給定的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料屬性，求解式（2）可以得到一組復(fù)根 Km（m＝1，2，…），并由此確定 kl，n和 kt，m。

另一方面，在只考慮最低階軸對(duì)稱波模式的條件下，無限長(zhǎng)黏彈性圓柱管中的等效阻抗可以寫成如下形式［9］：

這樣，黏彈性圓柱管前端面（z＝h，下標(biāo)f表示）和后端面（z＝0，下標(biāo)b表示）處的位移和應(yīng)力就可通過傳遞矩陣T聯(lián)系起來，即：

當(dāng)黏彈性圓柱管后端面（也即是背襯）的阻抗Zb已知時(shí)，前端面的表面阻抗可以根據(jù)式（5）得到：

聲學(xué)覆蓋層的反射系數(shù)可由下式計(jì)算：

式中：Z0是水介質(zhì)的特性阻抗。

2 復(fù)縱波聲速和復(fù)剪切波聲速的求解算法

實(shí)際黏彈性材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)與頻率呈現(xiàn)明顯的相關(guān)性，因此通過單個(gè)樣品在已知背襯條件下的測(cè)量能夠獲得不同頻率處的一組反射系數(shù)，但是顯然無法通過單次測(cè)量同時(shí)獲得復(fù)縱波聲速和復(fù)剪切波聲速兩個(gè)未知的基本參數(shù)。因此，至少需要兩組反射系數(shù)的測(cè)量數(shù)據(jù)，才能計(jì)算黏彈性材料的復(fù)縱波聲速和復(fù)剪切波聲速，這可以通過以下兩種途徑獲得：①通過測(cè)量?jī)山M不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的聲學(xué)覆蓋層在同一背襯條件下的反射系數(shù)；②通過測(cè)量單個(gè)聲學(xué)覆蓋層在不同背襯條件下的反射系數(shù)。除此之外，理論上還可以測(cè)量更多不同條件下的反射系數(shù)，兩兩組合求解相應(yīng)的復(fù)縱波聲速和復(fù)剪切波聲速，然后根據(jù)最小二乘法擬合得到最終參數(shù)，并進(jìn)而計(jì)算其它的黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)。

根據(jù)兩組實(shí)測(cè)的反射系數(shù)來求解復(fù)反射系數(shù)和復(fù)剪切波聲速的問題，本質(zhì)上就是求解二元非線性方程組。由于是非線性方程且包含復(fù)宗量，因此采用牛頓迭代法［10］來解決這個(gè)問題較為合適，對(duì)于形如下式的二元非線性方程組：

其迭代公式為：

式中：

通過上式可迭代出 k＝1，2時(shí)，（xk，yk）的值，當(dāng)≤ε（ε＞0為設(shè)定的誤差控制項(xiàng)）時(shí)，即可獲得方程組的根（xk，yk），其中通?？梢赃x擇經(jīng)驗(yàn)值或者常用值作為初始變量。

因此，對(duì)于同一個(gè)圓柱空腔覆蓋層樣品，完成兩組已知的不同背襯條件（如鋼背襯和空氣背襯）下的反射系數(shù)測(cè)量，即可建立求解復(fù)縱波聲速和復(fù)剪切波聲速的方程組：

式中：R（，）表示根據(jù)上節(jié)模型計(jì)算的反射系數(shù)，R表示實(shí)驗(yàn)測(cè)量的反射系數(shù)，下標(biāo)b1和b2分別表示兩組不同的背襯條件。

獲得復(fù)縱波聲速和復(fù)剪切波聲速后，即可計(jì)算黏彈性材料的復(fù)拉梅常數(shù)和復(fù)剪切模量：

對(duì)于線性黏彈性材料，另外一組常用材料參數(shù)的表達(dá)形式是利用復(fù)彈性模量和復(fù)泊松比來表示，這組參數(shù)可以利用線性黏彈性材料的本構(gòu)關(guān)系來計(jì)算：

3 動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)的計(jì)算結(jié)果及討論

采用上節(jié)所述第（2）種途徑來求解計(jì)算黏彈性材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)，在水聲聲管中對(duì)以某種橡膠材料制作的圓柱空腔聲學(xué)覆蓋層樣品進(jìn)行了反射系數(shù)的測(cè)量，測(cè)量方法選擇成熟的傳遞函數(shù)法［11］，兩種背襯條件分別為硬背襯和空氣背襯。根據(jù)測(cè)量結(jié)果對(duì)橡膠材料的黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)進(jìn)行了計(jì)算，其中橡膠密度為1 210 kg／m3，圓柱空腔半徑為2 mm。

圖2表示橡膠材料復(fù)縱波聲速和復(fù)剪切波聲速的測(cè)量結(jié)果。復(fù)縱波聲速可改寫成＝cl（1＋jηcl）的形式，復(fù)剪切波聲速可改寫成＝ct（1＋jηct）的形式，其中cl和ct分別表示復(fù)縱波聲速和復(fù)剪切波聲速的實(shí)部（圖 2（a）），ηcl和 ηct分別表示相對(duì)應(yīng)的損耗因子（圖2（b））。由于水聲聲管的截止頻率限制，有效的測(cè)量數(shù)據(jù)局限在中頻范圍內(nèi)。從圖2（a）可以看出，縱波聲速約在2 000 m／s～2 100 m／s的范圍內(nèi)變化，而剪切波聲速在在該頻段范圍內(nèi)的變化不大，約為180 m／s。從圖2（b）不難發(fā)現(xiàn)，由于縱波損耗因子很小，因此可忽略不計(jì)；剪切波損耗因子明顯大于縱波損耗因子，并且剪切波損耗因子呈現(xiàn)出一定的頻散關(guān)系。

圖3表示橡膠材料復(fù)拉梅常數(shù)和復(fù)剪切模量的測(cè)量結(jié)果。復(fù)拉梅常數(shù)可改寫為＝λ（1＋jηλ）的形式，復(fù)剪切模量可改寫為＝μ（1＋jημ）的形式，其中λ和μ分別表示復(fù)拉梅常數(shù)和復(fù)剪切模量的實(shí)部（圖3（a）），ηλ和 ημ分別表示相對(duì)應(yīng)的損耗因子 （圖3（b））。一方面，從圖2（a）可知該橡膠材料的剪切波聲速遠(yuǎn)小于縱波聲速，通過（12）式計(jì)算的過程中，剪切波聲速對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響很小，因此可以忽略不計(jì)，拉梅常數(shù)主要反映了材料的縱向特性。另一方面，根據(jù)線彈性理論，材料的剪切模量和楊氏模量之間滿足關(guān)系E＝2μ（1＋ν）。對(duì)于橡膠類的黏彈性材料，其泊松比接近于0．5，所以楊氏模量實(shí)部基本上是剪切模量實(shí)部的3倍，而楊氏模量損耗因子與剪切模量損耗因子基本相同，也就是說楊氏模量實(shí)部及其損耗因子的頻散曲線基本表現(xiàn)出與剪切模量實(shí)部及其損耗因子頻散曲線類似的規(guī)律，因此不再單獨(dú)給出楊氏模量的測(cè)量結(jié)果。

圖2 橡膠的復(fù)縱波聲速和復(fù)剪切波聲速Fig．2 Complex longitudinal and complex transverse wave speed of rubber

圖3 橡膠的復(fù)拉梅常數(shù)和復(fù)剪切模量Fig．3 Complex Lame constant curves and complex shear modulus curves of rubber

除此之外，由于本文討論的黏彈性材料動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)測(cè)量方法的基礎(chǔ)是測(cè)定空腔覆蓋層的反射系數(shù)，因此實(shí)驗(yàn)過程中的誤差不可避免地會(huì)影響后續(xù)計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確程度。實(shí)驗(yàn)過程中的誤差來源主要有兩大類：一是樣品加工制作帶來的誤差，如空腔實(shí)際大小或空腔間距與設(shè)計(jì)尺寸有差別；二是測(cè)試系統(tǒng)本身存在的誤差對(duì)測(cè)試結(jié)果的影響，如兩個(gè)水聽器的相位和幅值是否完全一致，實(shí)際背襯條件與理想背襯條件（如絕對(duì)硬背襯）的差別等。

圖4和圖5分別表示圓柱空腔半徑的實(shí)際尺寸和設(shè)計(jì)尺寸不相同時(shí)，對(duì)部分黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)測(cè)量結(jié)果的影響。從圖中可以看出，若空腔實(shí)際半徑比設(shè)計(jì)尺寸增加10%（圖5和圖6中的紅線）時(shí)，測(cè)量得到的復(fù)楊氏模量實(shí)部誤差約為17%且小于真實(shí)數(shù)值，復(fù)泊松比實(shí)部誤差約為0．12%且大于真實(shí)數(shù)值；若空腔實(shí)際半徑比設(shè)計(jì)尺寸減小10%（圖5和圖6中的藍(lán)線）時(shí)，測(cè)量得到的復(fù)楊氏模量實(shí)部誤差約為19%，復(fù)泊松比實(shí)部誤差約為0．13%，從以上結(jié)果反映了空腔實(shí)際尺寸的誤差對(duì)楊氏模量的測(cè)量結(jié)果影響較大，而對(duì)泊松比的影響較小。

圖4 橡膠的楊氏模量及其誤差范圍Fig．4 Young’s modulus and associated error of rubber

圖5 橡膠的泊松比及其誤差范圍Fig．5 Poisson’s ratio and associated error of rubber

4 結(jié) 論

本文提出了一種以測(cè)量圓柱空腔覆蓋層反射系數(shù)為基礎(chǔ)、采用解析法反演黏彈性材料動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)的方法，其特點(diǎn)是能夠與覆蓋層聲學(xué)性能測(cè)試同步進(jìn)行，便于聲學(xué)覆蓋層的特性分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)。采用該方法測(cè)量動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)至少需要測(cè)量?jī)山M不同工況的反射系數(shù)，當(dāng)然也可以完成更多工況條件下的測(cè)試，然后兩兩組合得到相應(yīng)的參數(shù)測(cè)量結(jié)果，通過擬合獲得最終的黏彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)。此外，由于測(cè)試聲管的截止頻率限制，文中對(duì)于材料參數(shù)的分析局限于中頻范圍，而本文提出的方法原則上也適用于高頻情況，如可采用脈沖法測(cè)量覆蓋層的反射系數(shù)，進(jìn)而拓寬動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)測(cè)量的頻率范圍。

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