基于功率法的TMD系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化與減振性能分析

李祥秀，譚 平，劉良坤，張 穎，閆維明，周福霖，

（1．北京工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，北京 100124；2．廣州大學(xué) 工程抗震研究中心，廣州 510405）

TMD作為一種減振消能裝置，性能穩(wěn)定可靠，適用范圍廣，因此，在結(jié)構(gòu)減振控制中受到較多的關(guān)注。目前已經(jīng)有不少高層建筑及高聳結(jié)構(gòu)成功運(yùn)用TMD來(lái)控制結(jié)構(gòu)的振動(dòng)［1］。歐進(jìn)萍等［2］結(jié)合我國(guó)現(xiàn)行風(fēng)荷載規(guī)范，研究了設(shè)置TMD、TLD控制系統(tǒng)的高層建筑風(fēng)振分析與抗風(fēng)設(shè)計(jì)的實(shí)用方法；李春祥等［3］對(duì)TMD－高層鋼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的風(fēng)振舒適度的控制設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了研究，并推到了TMD－高層鋼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和減震系數(shù)的表達(dá)式；李創(chuàng)第等［4］對(duì)帶TMD的高層建筑風(fēng)振響應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)研究，用復(fù)模態(tài)理論獲得了結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)的解析解，并證明此方法可用于對(duì)帶TMD結(jié)構(gòu)的風(fēng)振與抗風(fēng)可靠度分析及基于可靠度約束的抗風(fēng)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

近年來(lái)，結(jié)構(gòu)振動(dòng)的能量分析方法在土木工程領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注，該方法克服了傳統(tǒng)方法的局限，從能量角度分析了地震對(duì)結(jié)構(gòu)的作用。Housner［5］于20世紀(jì)50年代提出了能量法的概念，并將其引入到結(jié)構(gòu)控制中。譚平等［6］基于能量原理分析了TMD系統(tǒng)的減振性能，并指出TMD系統(tǒng)對(duì)中長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)有很好的能量控制效果；卜國(guó)雄等［7］基于能量法優(yōu)化設(shè)計(jì)了TMD參數(shù)，以主結(jié)構(gòu)在整個(gè)地震過(guò)程中吸收的能量最小為優(yōu)化準(zhǔn)則，考慮了主結(jié)構(gòu)阻尼比的影響，通過(guò)非線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)方法得出TMD的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比。以往對(duì)于TMD系統(tǒng)的研究，多側(cè)重于研究主結(jié)構(gòu)峰值響應(yīng)的減振效果以及從能量方面分析系統(tǒng)的減振機(jī)理。本文提出功率法，從功率的角度研究了主結(jié)構(gòu)在附加TMD后，結(jié)構(gòu)在地震激勵(lì)下的減振效果，并考慮了結(jié)構(gòu)周期和阻尼比的影響。同時(shí)分析了以主結(jié)構(gòu)耗能功率最小為優(yōu)化目標(biāo)時(shí)TMD的最優(yōu)頻率比及阻尼比，并與以往的四種優(yōu)化方法進(jìn)行了對(duì)比。

1 結(jié)構(gòu)－TMD系統(tǒng)的功率平衡方程

本文基于結(jié)構(gòu)－TMD系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，提出結(jié)構(gòu)－TMD系統(tǒng)的功率平衡方程。因功率綜合考慮傳到結(jié)構(gòu)上的力和速度兩個(gè)量值，同時(shí)功率也表示能量對(duì)時(shí)間的微分，因此和瞬時(shí)能量相比，更能貼切地表示結(jié)構(gòu)實(shí)時(shí)能量的轉(zhuǎn)移與流動(dòng)。

1．1 運(yùn)動(dòng)方程

將結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為單自由度體系如圖1所示，TMD安裝在結(jié)構(gòu)頂部，其運(yùn)動(dòng)方程為：

其中：m1，c1，k1為主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度；m2，c2，k2為T(mén)MD的質(zhì)量、阻尼和剛度分別為主結(jié)構(gòu)和TMD相對(duì)于地面的加速度、速度和位移；為 地面加速度。

圖1 單自由度體系模型Fig．1Single-DOFmodelofsystem

1．2 功率平衡方程

根據(jù)功率法的原理，對(duì)式（1）兩邊同時(shí)乘以相對(duì)速度變量，可得：

上式中，定義：為主結(jié)構(gòu)的動(dòng)能功率，S＝D為主結(jié)構(gòu)的自身耗能功率為主結(jié)構(gòu)的彈性功率為T(mén)MD轉(zhuǎn)移的功率簡(jiǎn)稱(chēng)為轉(zhuǎn)移功率為輸入功率。

由式（4）可知，結(jié)構(gòu)設(shè)置TMD裝置后，主結(jié)構(gòu)的部分功率被TMD所轉(zhuǎn)移，從而減小了主結(jié)構(gòu)的功率響應(yīng)。

2 結(jié)構(gòu)－TMD系統(tǒng)的功率響應(yīng)分析

假定TMD系統(tǒng)的主結(jié)構(gòu)周期1s，阻尼比0．02，主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量1000t，TMD與主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比為0．03，TMD的頻率比和阻尼比采用DenHartog公式來(lái)選取，分別為0．97、0．1。本文選用ElCentro波為地震激勵(lì)，持時(shí)30s，峰值為100gal。其傅里葉圖如圖2所示。

Hilbert-Huang變換是一種有效的時(shí)頻分析方法，它建立一套不受傅里葉變換理論束縛，又區(qū)別傅里葉譜的方法。本文基于HHT變換得到地震波的時(shí)頻圖如圖3所示。

圖2 頻譜圖Fig．2Frequencyspectrumofgroundmotion

圖3 時(shí)頻圖Fig．3Time-frequencyofgroundmotion

2．1 結(jié)構(gòu)體系功率響應(yīng)分析

從無(wú)控結(jié)構(gòu)與TMD系統(tǒng)主結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)及加速度響應(yīng)對(duì)比圖（圖4）可以看出，TMD系統(tǒng)有一定的減振效果，但在地震動(dòng)初始階段控制效果不明顯。

TMD系統(tǒng)的功率響應(yīng)分布如圖5所示。由圖可以看出，結(jié)構(gòu)的各種功率均在0～15 s內(nèi)占據(jù)一定的成分，在15 s之后則迅速衰減并漸趨于零值。這主要是因?yàn)椋篍l Centro波在初始階段脈沖運(yùn)動(dòng)比較強(qiáng)烈，結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度響應(yīng)在0～15 s均比較大，15 s之后則迅速衰減。另外，結(jié)構(gòu)的輸入功率、彈性功率及動(dòng)能功率均出現(xiàn)負(fù)值，這是由地震力做負(fù)功引起的。同時(shí)，文獻(xiàn)［12］從能量方面對(duì)此作了解釋。

結(jié)構(gòu)在安裝TMD裝置后，結(jié)構(gòu)的總輸入功率、總彈性能功率、總動(dòng)能功率及主結(jié)構(gòu)的耗能功率均有減少，峰值減小百分比分別為 0．14、0．19、0．31、0．36。這是因?yàn)橹鹘Y(jié)構(gòu)在附加TMD后，主結(jié)構(gòu)帶動(dòng)TMD運(yùn)動(dòng)，TMD轉(zhuǎn)移了主結(jié)構(gòu)的部分功率，從而提高了結(jié)構(gòu)的抗震安全性。

由圖3可以看出，El Centro波在10～15 s的頻率主要集中在0．5～0．8 Hz和1．2～1．8 Hz之間，即外激勵(lì)頻率與主結(jié)構(gòu)的頻率比在0．5～0．8和1．2～1．8之間（主結(jié)構(gòu)的工程頻率為1 Hz），而由TMD的減振原理圖（圖6）可知，當(dāng)外激勵(lì)頻率與主結(jié)構(gòu)的頻率比在0．5～0．8和1．2～1．8之間時(shí)，TMD系統(tǒng)與無(wú)控時(shí)相比放大了結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。因此，結(jié)構(gòu)的各功率響應(yīng)在10～15 s時(shí)有控較無(wú)控均有放大現(xiàn)象。同時(shí)由圖5可以看出不同功率的減振效果不同，這是由TMD系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度的減振效果不同引起的。

圖4 位移、速度及加速度時(shí)程響應(yīng)Fig．4 Time history of structural displacement，velocity and acceleration

圖5 結(jié)構(gòu)功率響應(yīng)對(duì)比Fig．5 Comparison of structural power history responses

2．2 主結(jié)構(gòu)周期的影響

取主結(jié)構(gòu)周期變化范圍為0～10 s，主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量為1 000 t，主結(jié)構(gòu)的阻尼比為0．02，TMD與主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比為0．03，采用 Kannai－Tajimi譜隨機(jī)地震動(dòng)模型進(jìn)一步研究主結(jié)構(gòu)耗能功率均值隨周期的分布與變化規(guī)律。?、蝾?lèi)場(chǎng)地，譜強(qiáng)度S0＝0．078，場(chǎng)地圓頻率為 wg＝15．71，場(chǎng)地阻尼比為 ζg＝0．72。

結(jié)構(gòu)耗能功率均值隨周期的變化如圖7所示。與無(wú)控結(jié)構(gòu)相比，TMD系統(tǒng)主結(jié)構(gòu)的耗能功率均值的峰值明顯減小。同時(shí)由圖8可以看出，當(dāng)結(jié)構(gòu)周期在0～0．2 s左右時(shí)，有控結(jié)構(gòu)的耗能功率均值較無(wú)控結(jié)構(gòu)有放大的現(xiàn)象，對(duì)于結(jié)構(gòu)周期在0．2～10 s時(shí)，有控結(jié)構(gòu)較無(wú)控結(jié)構(gòu)的耗能功率功率比值均小于0．5，這說(shuō)明TMD系統(tǒng)除了對(duì)于特別剛性的結(jié)構(gòu)（T＜0．2 s）之外，都有減振效果。

2．3 主結(jié)構(gòu)阻尼比的影響

主結(jié)構(gòu)周期變化范圍為0～10 s，分別考慮主結(jié)構(gòu)的阻尼比為 0．02、0．05、0．08，TMD與主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比為0．03，研究結(jié)構(gòu)在El Centro波（取自Ⅱ類(lèi)場(chǎng)地）作用下主結(jié)構(gòu)的阻尼比對(duì)各功率響應(yīng)的影響。

不同阻尼比情況下，TMD系統(tǒng)各功率響應(yīng)的峰值如圖9所示；主結(jié)構(gòu)的阻尼比對(duì)總輸入功率峰值影響較小，僅在與地震波頻率相近時(shí)才有所波動(dòng)，并且結(jié)構(gòu)的總輸入功率隨阻尼比增大而減?。籘MD系統(tǒng)主結(jié)構(gòu)的耗能功率隨著阻尼比的增大而增大，且受主結(jié)構(gòu)阻尼比的影響較大；TMD系統(tǒng)轉(zhuǎn)移的功率隨著阻尼比的增大而減小，這是因?yàn)樵龃笾鹘Y(jié)構(gòu)的阻尼，結(jié)構(gòu)自身阻尼耗能必然增加，這雖能較好的較小結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)，但TMD的吸振作用相對(duì)減少。同時(shí)，由圖9可以看出，當(dāng)結(jié)構(gòu)的輸入功率取峰值時(shí)，阻尼耗能功率和轉(zhuǎn)移能功率也取得最大值，保證了結(jié)構(gòu)安全性。

圖6 TMD減振原理圖Fig．6 Schematic of vibration reduction of TMD

圖7 主結(jié)構(gòu)耗能功率隨周期的變化Fig．7 Dissipation power with structural period

圖8 有控結(jié)構(gòu)與無(wú)控結(jié)構(gòu)的耗能功率比值Fig．8 Ratio of dissipation power between controlled and uncontrolled system

圖9 主結(jié)構(gòu)不同阻尼比下最大功率響應(yīng)對(duì)比Fig．9 Maximum power response of main structure for various damping ratios

圖10 相對(duì)值曲線Fig．10 Curves of the relative values

圖10 給出了耗能功率、轉(zhuǎn)移能功率及總輸入能功率三者之間的相對(duì)值曲線。由圖10（a）及10（b）可以看出，耗能功率與轉(zhuǎn)移能功率占總輸入能的比例隨著主結(jié)構(gòu)阻尼比的增大呈現(xiàn)截然相反的趨勢(shì)，即主結(jié)構(gòu)阻尼比越大，主結(jié)構(gòu)的耗能越大，轉(zhuǎn)移能越小。不同阻尼比情況下，轉(zhuǎn)移能功率占主結(jié)構(gòu)耗能功率的比例如圖10（c）所示。主結(jié)構(gòu)阻尼比較小時(shí)（ζ＝0．02），在地震波的主頻附近，結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)移能功率大于結(jié)構(gòu)的耗能功率，其比值在1．5～2．5附近，而當(dāng)遠(yuǎn)離地震波的主頻時(shí)，結(jié)構(gòu)耗能功率大于轉(zhuǎn)移能功率。當(dāng)主結(jié)構(gòu)阻尼比ξ＝0．05、0．08時(shí)，轉(zhuǎn)移能功率與耗能功率的比值均小于1，即主結(jié)構(gòu)阻尼比越大，主結(jié)構(gòu)自身阻尼耗能功率大于轉(zhuǎn)移給TMD的功率，此時(shí)，主結(jié)構(gòu)自身耗能是消耗地震能量的主要部分，TMD的貢獻(xiàn)相對(duì)較小。

3 基于功率法的TMD參數(shù)優(yōu)化

TMD參數(shù)的選取對(duì)TMD的控制效果有決定性的影響。Den Hartog［8］提出了不考慮主結(jié)構(gòu)阻尼的TMD最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)方法；Warburton［9］提出了用于單自由度無(wú)阻尼結(jié)構(gòu)，在白噪聲激勵(lì)下，TMD的最優(yōu)參數(shù)；Tsai等［10］推出了適用于有阻尼結(jié)構(gòu)受基底激勵(lì)時(shí)TMD的最優(yōu)參數(shù)，Sadek等［11］提出了一種以結(jié)構(gòu)－TMD系統(tǒng)前2階模態(tài)阻尼比相等并且最大為目標(biāo)，確定TMD最優(yōu)頻率比和阻尼比的方法。

結(jié)構(gòu)的耗能功率體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)實(shí)時(shí)耗能的能力，因此，本文以主結(jié)構(gòu)的耗能功率最小為優(yōu)化目標(biāo)得出TMD的最優(yōu)頻率比及阻尼比，并與上述四種優(yōu)化方法做了對(duì)比分析。

3．1 主結(jié)構(gòu)耗能功率公式推導(dǎo)

本節(jié)將考慮結(jié)構(gòu)基底受到簡(jiǎn)諧激勵(lì)＝P sin wt，通過(guò)待定系數(shù)法求解主結(jié)構(gòu)的速度，從而得出主結(jié)構(gòu)的耗能功率公式。

假設(shè)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)解為：

對(duì)應(yīng)的速度與加速度為：

將式（5）、（6）代入到振動(dòng)方程式（1）、（2）中并根據(jù)恒等式的條件求解四元一次方程組可得：

其中：主結(jié)構(gòu)的頻率 ω1，阻尼比 ξ1，TMD的頻率 ω2，阻尼比ξ2，質(zhì)量比為μ＝m2／m1。求解四元一次方程組得到 A1～A4，如式（7）所示。

主結(jié)構(gòu)的速度：

則主結(jié)構(gòu)的耗能功率為：

3．2 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比分析

以主結(jié)構(gòu)的耗能功率最小為優(yōu)化目標(biāo)時(shí)得到TMD最優(yōu)頻率比及阻尼比，并與Den Hartog、Warburton、Tsai及Sadek提出的四種優(yōu)化方法做了對(duì)比分析，對(duì)比圖如圖11所示。

圖11 質(zhì)量比、最優(yōu)頻率比及最優(yōu)阻尼三者之間的變化圖Fig．11 Relationship among the mass ratio，optimal frequency ratio and optimal damping ratio

由圖11可以看出，以主結(jié)構(gòu)耗能功率最小為優(yōu)化目標(biāo)得到TMD的最優(yōu)頻率比及阻尼比的大小均介于上述四種優(yōu)化方法之間。利用MATLAB中的公式擬合工具箱，可以得到基于主結(jié)構(gòu)的耗能功率最小并考慮主結(jié)構(gòu)阻尼比為0．02時(shí)TMD的最優(yōu)參數(shù)公式為：

其殘差分別為3．510 8e－16，0．006 080 3。

取質(zhì)量比的變化范圍為0．01～0．1，主結(jié)構(gòu)的阻尼比為0．02，TMD的最優(yōu)參數(shù)分別按上述五種方法選取，并假定地震激勵(lì)的功率譜密度為白噪聲S0，研究TMD系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)下的減振效果，結(jié)果如圖12所示。

圖12 位移方差對(duì)比Fig．12 Comparison of the displacement variance

由圖12可以看出，基于主結(jié)構(gòu)耗能功率優(yōu)化的結(jié)構(gòu)的位移方差較無(wú)控結(jié)構(gòu)相比有很大程度的減小，且控制效果基本上介于 Den Hartog、Warburton、Tsai及Sadek提出的優(yōu)化方法之間，因此該優(yōu)化方法具有一定的適應(yīng)性與可靠性。

3．3 優(yōu)化后能量及功率對(duì)比

結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)與第二章節(jié)中采用的參數(shù)相同，下面取質(zhì)量比為0．03，TMD的最優(yōu)參數(shù)按上述五種方法選取，研究結(jié)構(gòu)在EL Centro波作用下的能量和功率響應(yīng)，并與無(wú)控結(jié)構(gòu)做了對(duì)比。如圖13所示。

由圖13可以看出，當(dāng)TMD的最優(yōu)參數(shù)采用本文提出的優(yōu)化方法時(shí)，結(jié)構(gòu)的能量響應(yīng)和功率響應(yīng)與無(wú)控結(jié)構(gòu)相比有一定程度減小，特別是主結(jié)構(gòu)的阻尼耗能功率減小幅度明顯，且控制效果基本上介于Den Har-tog、Warburton、Tsai及Sadek提出的優(yōu)化方法之間。因此，本文提出的基于主結(jié)構(gòu)耗能功率最小為優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化方法具有一定的可靠性且基于此方法得出的最優(yōu)參數(shù)的公式對(duì)以后的研究具有參考價(jià)值。

圖13 結(jié)構(gòu)能量及功率響應(yīng)對(duì)比Fig．13 Comparison of structural energy and power history responses

4 結(jié) 論

（1）結(jié)構(gòu)安裝TMD后，結(jié)構(gòu)的總輸入功率、總彈性功率、總動(dòng)能功率及主結(jié)構(gòu)的耗能功率均有所減少，TMD系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)有較好的控制效果。

（2）當(dāng)結(jié)構(gòu)自振頻率與地震波的主要頻率相近時(shí)，結(jié)構(gòu)的各功率的峰值普遍較大。且TMD系統(tǒng)除了對(duì)于特別剛性的結(jié)構(gòu)（T＜0．2 s）之外，都有減振效果。

（3）主結(jié)構(gòu)的阻尼比對(duì)總輸入功率峰值影響較小，對(duì)主結(jié)構(gòu)的耗能功率峰值影響較大，且隨著阻尼比的增大，結(jié)構(gòu)的總輸入功率減小，主結(jié)構(gòu)的耗能功率增大，而TMD系統(tǒng)轉(zhuǎn)移的功率隨著阻尼比的增大而減小。隨著主結(jié)構(gòu)阻尼比的增大，主結(jié)構(gòu)自身耗能成為消耗地震能量的主要部分，而TMD的貢獻(xiàn)相對(duì)較小。

（4）以主結(jié)構(gòu)耗能功率最小為優(yōu)化目標(biāo)得到TMD的最優(yōu)頻率比及阻尼比的大小均介于Den Hartog、War-burton、Tsai及Sadek提出的優(yōu)化方法之間，且綜合各項(xiàng)指標(biāo)其控制效果均介于四者之間，但較無(wú)控結(jié)構(gòu)相比有很好的控制效果。

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