一類基于不動點新的強化緩沖算子的構(gòu)造及其應(yīng)用

張方紅，吳正朋，鄭松竺

(中國傳媒大學(xué)理工學(xué)部，北京100024)

1 前言

無論是對實驗數(shù)據(jù)還是對統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在選擇模型之前必須對所獲得的數(shù)據(jù)進行分析，否則就會出現(xiàn)定量預(yù)測結(jié)果和定性分析結(jié)論不相符的情況，問題的癥結(jié)往往不在于所選模型的優(yōu)劣，而是由于系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)因系統(tǒng)本身受到某種外在沖擊而失真。因此，尋求定量預(yù)測與定性分析的結(jié)合點，設(shè)法排除系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)所受到的沖擊干擾，還原數(shù)據(jù)本來面目，從而提高預(yù)測的精度，乃是擺在每一位預(yù)測工作者面前的一項重要任務(wù)［1］?；疑到y(tǒng)理論通過對社會、經(jīng)濟、生態(tài)等系統(tǒng)的原始數(shù)據(jù)挖掘和整理來尋求其變化規(guī)律的，這是一種從數(shù)據(jù)來尋找數(shù)據(jù)規(guī)律的理論體系?；疑到y(tǒng)理論認為，盡管客觀系統(tǒng)表象復(fù)雜，數(shù)據(jù)離亂，但是它是有整體功能的，因此必然蘊涵某種內(nèi)在規(guī)律，關(guān)鍵在于如何選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄈネ诰蛩屠盟⑺挤褰淌谔岢龅木彌_算子理論［1-4］可以對所獲得的數(shù)據(jù)序列經(jīng)過某種生成，弱化其隨機性，顯示其規(guī)律性，成功地排除了外在沖擊干擾，得到了能夠反映系統(tǒng)變化規(guī)律的數(shù)據(jù)序列。

沖擊擾動因素對系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列的干擾既有加快數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢或者使數(shù)據(jù)的振幅變大，也有減緩數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢或使數(shù)據(jù)序列的振幅變小。為排序這些沖擊因素的干擾，文獻［4-6］［10］［13］提出了一種實用弱化緩沖算子，文獻［7-9］［11-12］構(gòu)造了一種強化緩沖算子。本文在上述工作的基礎(chǔ)上，根據(jù)“新信息優(yōu)先利用”的原理和緩沖算子三公理，基于時間序列的平均發(fā)展速度的思想，提出了一種新的強化緩沖算子，并研究其特性及其內(nèi)在關(guān)系，從而使序列前一部分增長(減緩)速度過慢，而后一部分增長(衰減)速度過快的沖擊擾動系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列在建模預(yù)測過程中常常出現(xiàn)的定量預(yù)測結(jié)果與定性分析結(jié)論不符的問題得到有效解決。

2 基本概念

定義1 設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，若

(1)若?k=1，2，…，n-1，x(k)＜ x(k+1)則稱X為單調(diào)增長序列;

(2)若?k=1，2，…，n-1，x(k)＞ x(k+1)則稱X為單調(diào)衰減序列;

(3)若?k，k'∈{1，2，…，n-1}，有 x(k)＜ x(k+1)，x(k')＞x(k'+1)，則稱X為隨機振蕩序列。令

M=max{x(k)|k∈ {1，2，…，n}}，

m=min{x(k)|k ∈ {1，2，…，n}}

稱M-m為序列X的振幅。

定義2［1］設(shè) X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為作用于X的算子，X經(jīng)過D作用后記為

XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)

稱D為序列算子，稱XD為一階算子作用序列。

序列算子作用可以多次進行。相應(yīng)地，若D1，D2，D3都為序列算子，稱D1D2為二階算子作用序列，等等。

公理1(不動點公理)［1］設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，則D滿足X(n)d=x(n)。

不動點公理限定在序列算子作用下，系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列中的數(shù)據(jù)x(n)保持不變，即運用序列算子對系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)進行調(diào)整時，不會改變x(n)。

公理2［1］(信息充分利用公理)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X中的每一個數(shù)據(jù)x(k)，k=1，2，…，n都應(yīng)充分參與算子作用的全過程。

信息充分利用公理限定任何序列算子都應(yīng)以現(xiàn)有序列中的信息為基礎(chǔ)進行定義，不允能拋開原始數(shù)據(jù)序列。

公理3［1］(解析化、規(guī)范化公理)任意的 x(k)d，k=1，2，…，n，都可以由一個統(tǒng)一的 x(1)，x(2)，…，x(n)初等解析式表達。

解析化、規(guī)范化公理要求由系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列得到算子作用序列的程序清晰、規(guī)范、統(tǒng)一且盡可能簡化、以便于計算出算子作用序列并使計算易于在計算機上實現(xiàn)。

定義3［1］稱上述三個公理為緩沖算子三公理，滿足緩沖算子三公理的序列算子稱為緩沖算子，一階、二階、三階緩沖算子作用序列稱為一階、二階、三階緩沖序列。

定義4［1］設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為緩沖算子，若滿足下列兩個條件，則稱緩沖算子D為強化緩沖算子

(1)當(dāng)X為單調(diào)增長(單調(diào)衰減)序列時，緩沖序列XD比系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X的增長率(衰減率)加快;

(2)當(dāng)X為振蕩序列時，緩沖序列XD比系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X的振幅大。

定理 1［1］設(shè) X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，緩沖序列記為XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，那么

(1)當(dāng)X為單調(diào)增長序列時，D為強化緩沖算子?x(k)d≤x(k)，k=1，2，…，n;

(2)當(dāng)X為單調(diào)衰減序列時，D為強化緩沖算子?x(k)d≥x(k)，k=1，2，…，n;

(3)當(dāng)X為振蕩序列時，D為強化緩沖算子則

手術(shù)后，周啟明的情緒一直不好。他很容易焦慮很容易生氣，她理解他。曾經(jīng)的周啟明，是這個家的山，現(xiàn)在他覺得自己不是家人最強大的依靠了。所以才會有一種特別強烈的挫敗感吧。

從上述定理可以看出，單調(diào)增長序列在強化算子作用下，數(shù)據(jù)萎縮;單調(diào)衰減序列在強化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)膨脹。

3 一類新的強化緩沖算子的構(gòu)造

定理2 設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)原始行為數(shù)據(jù)序列，x(k)＞0，k=1，2，…，n，f為一嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，g為其反函數(shù)，f＞0，其緩沖序列為 XD1=(x(1)d1，x(2)d1，…，x(n)d1)，其中則當(dāng)X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列和振蕩序列時，D1都為強化緩沖算子。

證明:容易驗證，D1滿足緩沖算子三公理，所以，D1為緩沖算子。下面證明D1為強化緩沖算子。

(1)當(dāng)X為單調(diào)增長序列，即0≤x(k)≤…≤x(n)。又因f為一嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，f＞0。

又因g為f為反函數(shù)，則

由定理1知，緩沖算子D1為強化緩沖算子。(2)當(dāng)X為單調(diào)衰減序列，即x(k)≥…≥x(n)≥0。

又因f為一嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，f＞0。

又因g為f為反函數(shù)，則

(3)若X為振蕩序列時，設(shè)

x(k)≥x(1)，…，x(n)，x(h)≤x(1)，…，x(n)由x(k)≥x(n)，x(h)≤x(n)

又因f為一嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，f＞0。所以f(x(k))≥f(x(n))，

又因g為f的反函數(shù)，則

由定理1知，緩沖算子D1為強化緩沖算子。

定理3設(shè) X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)原始行為數(shù)據(jù)序列，x(k)＞0，k=1，2，…，n，f為一嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，g為其反函數(shù)，f＞0。其緩沖序列為 XD2=(x(1)d2，x(2)d2，…，x(n)d2)，其中

則當(dāng)X為單調(diào)增長序列和單調(diào)衰減序列時，D2都為強化緩沖算子。

證明:容易驗證，D2滿足緩沖算子三公理，所以，D2為緩沖算子。下面證明D2為強化緩沖算子。

(1)若X為單調(diào)增長序列，則即0≤x(k)≤…≤x(n)。又因f為一嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，f＞0。

又因g為f為反函數(shù)，則

由定理1知，緩沖算子D2為強化緩沖算子。

可仿定理2證明當(dāng)X為單調(diào)衰減序列時，D2都為弱化緩沖算子。

這里，稱D2為廣義平均強化緩沖算子。

從以上討論可知，由于強化緩沖算子必須要滿足不動點公理，即x(n)d=x(n)，因此強化緩沖算子作用于單調(diào)增長序列，數(shù)據(jù)萎縮，強化緩沖序列的增長速度比原始序列的增長速度減緩;而對于單調(diào)衰減序列，在強化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)膨脹，即強化緩沖序列的衰減速度比原始序列衰減速度減緩。因此，當(dāng)原始序列的前半部分增長(衰減)速度較緩，后半部分增長(衰減)速度較快時，可以利用本文所構(gòu)造的強化緩沖算子對原始序列進行作用，將使序列變得比較平緩，并且考慮了“新信息優(yōu)先”的原則，能夠有效地消除沖擊擾動對系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列造成的“失真”現(xiàn)象，因而能夠提高模型的預(yù)測精度。

4 實例分析

以人均電力消費量(單位為千瓦小時)為例來驗證本文強化緩沖算子在GM(1，1)預(yù)測過程中的作用。選取2000～2006年中國人均電力消費量作為原始數(shù)據(jù)序列，即

表1 中國人均電力消費量 單位:千瓦小時

目前，中國處在經(jīng)濟發(fā)展的工業(yè)化進程中，經(jīng)濟的發(fā)展對電力的依賴比較大。自從2000年以來，中國克服了亞洲金融危機的影響，政府采取了積極的財政政策和穩(wěn)健的貨幣政策，為經(jīng)濟增長注入了活力，引起了電力需求的激增。因此，本文以2000～2005年中國人均電力消費量的原始數(shù)據(jù)序列作為建模數(shù)據(jù)，2006年數(shù)據(jù)作為模型檢驗數(shù)據(jù)。計算人均電力消費量環(huán)比增長率依次為:9.215%、8.091%、11.132%、9.499%、13.933%、15.090%，年平均增長率為9.468%。對原始數(shù)據(jù)序列進行準(zhǔn)光滑性檢驗，可以計算當(dāng)t≥2003時，光滑比分別為:0.401、0.313、0.272、0.246，均在(0，0.5)內(nèi)，且光滑比遞減，滿足準(zhǔn)光滑性條件，因此原始序列的一次累加生成序列具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律［1］。但是明顯看出，原始序列前半部分增長速度有點慢，后半部分增長速度較快，因此，最好要對原始數(shù)據(jù)序列進行平滑，以削弱沖擊擾動因素的干擾，凸現(xiàn)數(shù)據(jù)的規(guī)律性。

為此，取f(x)=g(x)=x來構(gòu)造緩沖算子，以本文構(gòu)造的緩沖算子對原始數(shù)據(jù)進行二階強化處理，建立預(yù)測模型，并和原始數(shù)據(jù)序列直接建模進行比較，見表2

表2 兩種情況GM(1，1)模型

由表2知，原始數(shù)據(jù)序列經(jīng)過強化緩沖算子D1和D2二次作用后，所得到的強化緩沖序列都比原始數(shù)據(jù)序列直接建模的預(yù)測相對誤差小，其中作用后得到的二階強化緩沖序列的預(yù)測相對誤差最小，預(yù)測值為241.210，比較逼近觀測值249.4。

取f(x)=x2，g(x)=x0.5來構(gòu)造緩沖算子，以本文構(gòu)造的緩沖算子對原始數(shù)據(jù)進行二階強化處理，建立預(yù)測模型，并和原始數(shù)據(jù)序列直接建模進行比較，見表3。

由表3知，原始數(shù)據(jù)序列經(jīng)過強化緩沖算子D1和D2二次作用后，所得到的強化緩沖序列都比原始數(shù)據(jù)序列直接建模的預(yù)測相對誤差小，其中D2作用后得到的二階強化緩沖序列的預(yù)測相對誤差最小， 預(yù)測值為241.23，比較逼近觀測值249.4。

表3 兩種情況GM(1，1)模型

5 結(jié)論

本文在已有的文獻基礎(chǔ)上，根據(jù)嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)和時間序列的平均發(fā)展速度的思想構(gòu)造了一類新的強化緩沖算子，并證明了文獻［8，9］的強化緩沖算子是強化緩沖算子D1的特例。利用所構(gòu)造的緩沖算子對具有前半部分增長速度較慢，而后半部分增長速度較快特征的原始數(shù)據(jù)序列與二階強化緩沖序列分別進行了預(yù)測精度比較。實例結(jié)果表明:(1)用D1和D2強化緩沖算子處理的緩沖序列預(yù)測精度比原始數(shù)據(jù)序列有顯著提高;(2)通過比較2個新的強化緩沖算子作用后的強化緩沖序列的預(yù)測值可以發(fā)現(xiàn)，D1和D2作用的強化緩沖序列預(yù)測值逐漸逼近觀測值，其中原始序列經(jīng)過D2作用后，預(yù)測相對誤差都比D1小。D2強化緩沖算子能夠充分有效地消除原始數(shù)據(jù)序列中的沖擊擾動因素的干擾，顯現(xiàn)數(shù)據(jù)的規(guī)律性。且顯示可通過選擇不同的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)f，g來提高預(yù)測精度。因此，對于具體的數(shù)據(jù)，如何選擇嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)f，g是接下來研究的重點。

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