N=2的Neveu-Schwarz超共型代數(shù)的結構

付佳媛，邵霞，譚曉

(中國傳媒大學 理工學部，北京100024)

1 前言

大概三十年前超共型代數(shù)由數(shù)學家Kac和物理學家Ademolloetal分別同時構造得到的。作為Virasoro代數(shù)的推廣，此類代數(shù)的結構和表示理論將對其他代數(shù)，尤其是李超代數(shù)的研究有重要的推動作用。在數(shù)學方面，Kac和vandeLeuer[5]，Cheng和Kac[2]已經(jīng)給出了超共型代數(shù)的所有可能的分類，而后Kac又證明了這些分類是完全的。

結構和表示理論同樣是超共型代數(shù)的兩個重要研究方向。對于超共型代數(shù)的研究，目前只有N=1的情況得到了比較完整的結果，對于N=2的情況我們知之甚少。目前已知三類N=2的超共型代數(shù)：Romand超共型代數(shù)，Neveu-Schwarz超共型代數(shù)和Topological超共型代數(shù)。對于N=2的Romand超共型代數(shù)，文獻[3]中已經(jīng)對其結構進行了詳細討論，并給出其中間序列模的完整分類。本文我們將對N=2的Neveu-Schwarz超共型代數(shù)的結構進行討論。有了對此類代數(shù)結構的詳細刻畫，我們才能對其表示進行深入的討論。

2 預備知識

由于超共型代數(shù)與李代數(shù)的密切關系，我們先給出幾類李代數(shù)的定義。本文中我們用F，C，Z分別表示特征零的代數(shù)閉域，復數(shù)集，整數(shù)集。

定義1 我們稱一個李代數(shù)Vir=spanF{Li，c| i∈} 為Virasoro代數(shù)，其中c∈ C為中心元素，如果基元素Li，c滿足如下Virasoro關系式：

定義2 我們稱一個李代數(shù)L=spanF{Li，Hj，c|i，j∈}為扭的Heisenberg-Virasoro代數(shù)，其中c∈ C為中心元素，如果基元素Li滿足Virasoro關系式，且有滿足如下關系式：

[Li，Ij]=-jIi+j-δi+j，0(i2+i)c，[Hi，Hj]=iδi+j，0c

我們稱一個Virasoro代數(shù)的模M為Harish-Chandra模，如果M具有有限維權空間分解，即

M=⊕λ∈CMλ，dimMλ<∞

這里Mλ={x∈M|L0x=λx}。

關于Virasoro代數(shù)的Harish-Chandra模我們有如下結論[7]：

定理1 如果M=⊕λ∈CMλ是Virasoro代數(shù)的不可約Harish-Chandra模，則M一定是(1)最高權模，(2)最低權?；?3)中間序列模。這里中間序列模是指dimMλ≤1，?λ∈C。

定理2 Virasoro代數(shù)的中間序列模只能是Aa，b，A(a)，B(a)，a，b∈ C或者是其商模，并且Virasoro代數(shù)的中心元素c在模上的作用為零。這里模Aa，b，A(a)，B(a)都具有基元素{xk|k∈}，且滿足：

A(a，b)：Lixk=(a+k+bi)xi+k，

A(a)：Lixk=(i+k)xi+k，k≠0，Lix0=i(i+a)xi，

B(a)：Lixk=kxi+k，k≠-i，Lix-i=-i(i+a)x0

定義3 N=2的Neveu-Schwarz超共型代數(shù)

3 無中心元素的低維表示

[Lm，Gr]=(a-r+mb)Gm+r，[Hn，Gr]=fGn+r，

其中a，b，f∈ C，f=0。設

[Gr，Gs]=arsLr+s+brsHr+s

利用Jacobi等式：

[Hk，[Gr，Gs]]=[[Hk，Gr]，Gs]+[Gr，[Hk，Gs]]，

令k=0，可得2f[Gr，Gs]=0，故

[Gr，Gs]=0，?r，s∈

[Li，Lj]=(i-j)Li+j，[Hi，Hj]=0，[Li，Hj]=-jHi+j

其中a+，a-，b+，b-，f1，f2∈C，r∈且(f1，f2)≠(0，0)。接下來我們將確定如上關系式中的常數(shù)。由Jacobi等式

可得a+=a-。記a+=a，令

由Jacobi等式

取k=0，可得a=0。取k=0，

左邊=ars(k-r-s)Lk+r+s+brs(-r-s)Hk+r+s，

右邊=((-r+kb-)ar+k，s+(-s+kb+)ar，s+k)Lr+s+k

+((-r+kb-)br+k，s+(-s+kb+)br，s+k)Hr+s+k

左邊=右邊，因此有

(3.1)

于是

brs+bks=ars(-k+(r+s)b-)+aks(-r+(k+s)b-)

令k=r，可得

brs=ars(-r+(r+s)b-)

(3.2)

brs=-ars(-s+(r+s)b+)

(3.3)

由(3.2)和(3.3)可得

b++b-=1

由

可得

其中k∈，r，s∈令可得

(3.4)

(3.5)

brs=d(-r+(r+s)b-)

4 中心擴張

[Li，Lj]=(i-j)Li+j；

[Hi，Hj]=0；

[Li，Hj]=-jHi+j；

這里b++b-=1。在這一節(jié)里我們將考慮此代數(shù)的中心擴張。

考慮李超代數(shù)的中心擴張，自然要定義一個2-上圈。所謂2-上圈是指：設ɡ是域F上的李超代數(shù)，ɡ上的雙線性函數(shù)ψ，如果滿足：

f(H0)=φ(L1，H-1)

(4.1)

ψ=φ-φf

其中

φf(x，y)=f([x，y])，

則我們可以得到如下一些等式：

其中i≠0，

=0，?j∈

ψ(L0，H0)=ψ(L0，[L1，H-1])

=ψ([L0，L1]，H-1)+ψ(L1，[L0，H-1])

=-ψ(L1，H-1)+ψ(L1，H-1)

=0，

2ψ(L0，H0)=ψ(L0，[L1，L-1])

=ψ([L0，L1]，L-1)+ψ(L1，[L0，L-1])

=-ψ(L1，L-1)+ψ(L1，L-1)

=0，

接下來我們來確定各中心元素的值。

4.1 導出中心元素cL

根據(jù)前面確定的代數(shù)結構，我們有

ψ(L1，L-1)=φ(L1，L-1) -φf(L1，L-1)=φ(L1，L-1)-2f(L0)=0

從而

(i-2)ψ(Li，L-i)=ψ([Li-1，L1]，L-i)

=ψ(Li-1，[L1，L-i])-ψ(L1，[Li-1，L-i])

=(i+1)ψ(Li-1，L-i+1)-(2i-1)ψ(L1，L-1)

=(i+1)ψ(Li-1，L-i+1)

設ψ(Li，L-i)=li，可以得到

則對于?i≥3

令l2=cL∈ C，所以有

4.2 導出中心元素cH

由于ψ(H0，H0)=ψ([H1，L-1]，H0)=ψ(H1，[L-1，H0])-ψ(L-1，[H1，H0])=0，我們設ψ(Hi，H-i)=hi，i≠0，那么

(i-1)hi=(i-1)ψ(Hi，H-i)

=ψ([Hi-1，L1]，H-i)

=ψ(Hi-1，[L1，H-i])-ψ(L1，[Hi-1，H-i])

=iψ(Hi-1，H-i+1)

=ihi-1

因此有hi=ih1。若令h1=cHC，則有ψ(Hi，H-i)=icH，?i∈成立。

4.3 導出中心元素cHL

首先我們要來考慮ψ(Li，Hi)的關系：

ψ(L1，H-1)=φ(L1，H-1) -φf(L1，H-1)

=φ(L1，H-1) -f(H0)

=0，

那么有

-(i-1)ψ(L-i，Hi)=ψ(L-i，[L1，Hi-1])

=ψ(L1，[L-i，Hi-1])+ψ([L-i，L1]，Hi-1)

=-(i+1)ψ(L-(i-1)，Hi-1)，

從而(i-2)ci=ici-1。設ψ(Li，H-i)=ci∈ C，則有

又令c2=cHL，得：

4.4 導出中心元素cG

由式(4.1)知，

那么

即得

因此

即

因此

至此我們推導得出所有N=2的Neveu-Schwarz的超共型代數(shù)的中心元素。實際上，由Jacobi等式，我們可以確定各個中心元素之間的關系，從而簡化李超運算的形式。

1.cHL和cH之間的關系

同理可得

cHL=(1-2b)cH

2.cG和cH，cL和cH之間的關系

根據(jù)Jacobi等式，

其中i∈，r，s∈我們可以得到

上式兩端用ψ作用，且假設i+r+s=0，可得：

(4.2)

(4.3)

將(4.3)代入可得

cL=(-10b2+14b-3)cH

通過上面所求出來的公式和定義我們可以得到一個含有中心元素的超代數(shù)

滿足如下關系：

[Hi，Hj]=icHδi+j，0；

[Li，Hj]=-jHi+j；

[1]孟道驥.復半單李代數(shù)引論[M].北京：北京大學出版社，1995.

[2]S L Cheng，V Gkac.A new N=6 superconformal algebra[J].Comm Math Phys，186，219-231.

[3]Jiayuan Fu，Cuipo Jiang，Yucai Su.Classification of modules of the intermediate series over Ramnond N=2 superconformal algebras[J].Anhui 4230026，2004.

[4]B GatoRivera，J I Rosado.Families of singular and subsingular vectors of the topolgical N=2 superconformal algebra[J].Nucl Phys B514，477-522，1998.

[5]V Gkac，vandeLeuer. On Classification of Superconformal Algebras：Strings 88[J].Sinapore，WorldScientic，1988.

[6]C Martin，A Piard.Indecomposable modules for the Virasoro Lie algebra and a conjecture of Kac[J].Comm Math Phys 137，109-132，1991.

[7]Y Su.Classification of Harish-Chandra Modules over the Super-Virasoro Algebras[J].Comm Ale 23(10)：3653-3675，1995.