反思，讓學(xué)生的思維得到升華

高自行

安徽新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施已六年了，總體分析近幾年的高考試卷和2014年安徽省考試說(shuō)明（數(shù)學(xué)），我們可以看出，其對(duì)應(yīng)試者的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求逐年提高.在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)大量較少思考量的問(wèn)題的重復(fù)訓(xùn)練，只能提高熟練程度，而不能提高思維能力，這種題海戰(zhàn)術(shù)對(duì)能力的提高和發(fā)展幫助不大.那么如何才能不斷提高能力呢？答案就是進(jìn)行解題后的反思.解題反思是一種對(duì)解題活動(dòng)的“元認(rèn)知”，是對(duì)解題活動(dòng)的深層次再思考.它不僅是對(duì)數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的一般性回顧或重復(fù)，更是探究數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中涉及的知識(shí)、方法、思路、策略等，具有批判性、自主性.解題反思不僅有助于加深對(duì)知識(shí)的理解，提高知識(shí)理解的層次，而且能幫助學(xué)生提高思維的變通性，提升學(xué)生做題的境界.下面談?wù)劷忸}后反思的幾個(gè)切入點(diǎn)，僅供參考.

一、反思解題過(guò)程的完整性

數(shù)學(xué)解題，其實(shí)質(zhì)就是運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，借助一定的解題方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.解完一道題后，應(yīng)作進(jìn)一步思考：題目中所有的已知條件（包括隱含條件）都注意了嗎？題目所要求的問(wèn)題都解決了嗎？解題中所用的公式是否是課本中已證過(guò)的結(jié)論？還有沒(méi)有需要補(bǔ)充和刪除的部分，等等.

例1：口袋中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中有放回地取20次，每次取出1個(gè)球后記下顏色，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

則取到紅球的頻率是（ ）

A.0.2 B.0.25 C.0.3 D.0.5

錯(cuò)解：A剖析：產(chǎn)生錯(cuò)解的原因是將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的頻率與事件發(fā)生的概率兩個(gè)概念混同，以為共10個(gè)球，紅球有2個(gè)，則所求為0.2.實(shí)際上這是一個(gè)理想化的數(shù)據(jù)，是概率值，而不是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)涉及的頻率.概率是頻率的穩(wěn)定值，可以從頻率方面體現(xiàn)出來(lái)，但頻率是統(tǒng)計(jì)結(jié)果，具有個(gè)性化特征，而概率具有概括性和穩(wěn)定性，具有理想化特征.

正解：所求頻率為■=0.25，故選B.

通過(guò)對(duì)典型錯(cuò)題的反思，不但能達(dá)到正本清源的效果，而且能啟發(fā)學(xué)生準(zhǔn)確理解相關(guān)概念的內(nèi)涵，養(yǎng)成驗(yàn)證答案是否合理有效的習(xí)慣.

二、反思解題思路的嚴(yán)謹(jǐn)性

在解題的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)受到題目中一些信息的主導(dǎo)和干擾，不能全面周密地考慮問(wèn)題，使求解過(guò)程偏離方向，造成誤解.反思解題思路，能及時(shí)修正錯(cuò)誤.

例2：是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y=sin2x+acos x+■a-■在閉區(qū)間[0，■]上的最大值為1？若存在，求出對(duì)應(yīng)的a值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

錯(cuò)解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，

則y=sin■x+acosx+■a-■

=-cos■x+a cosx+■a-■

=-（cosx-■）■+■+■a-■

令t=cosx，則y=-（t-■）■+■+■a-■

當(dāng)t=■時(shí)，y■=■+■a-■=1

解得a=-4或a=■，故存在a=-4或a=■符合題意.

正解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，

則y=sin■x+acosx+■a-■

=-cos■x+acosx+■a-■

=-（cosx-■）■+■+■a-■

當(dāng)0≤x≤■時(shí)，0≤cosx≤1，

令t=cosx，則0≤t≤1，

y=-（t-■a）■+■+■a-■，0≤t≤1.

（1）當(dāng)0≤■≤1，即0≤a≤2時(shí)，

則當(dāng)t=■，即cosx=■時(shí)，y■=■+■a-■=1，

解得a=■或a=-4（舍去），故a=■

（2）當(dāng)■<0，即a<0時(shí)，則當(dāng)t=0，即cosx=0時(shí)，y■=■a-■=1，

解得a=■，由于a<0，

因此這種情況下不存在滿足條件的a值.

（3）當(dāng)■>1，即a>2時(shí)，則當(dāng)t=1，即cosx=1時(shí)，y■=■a-■=1，

解得a=■，由于■<2，

因此這種情況下不存在滿足條件的a值.

綜上可知，存在a=■符合題意.

反思：審題不仔細(xì)，導(dǎo)致?lián)Q元時(shí)忽視了新元的取值范圍限制，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，新元t的取值范圍應(yīng)該是[0，1]，而不是R或[-1，1].

通過(guò)反思錯(cuò)解原因，學(xué)生認(rèn)識(shí)到仔細(xì)審題和深挖題目的隱含條件的重要性.

三、反思解題方法的靈活性

解數(shù)學(xué)題是離不開解題方法的，而解題方法的選擇又是以數(shù)學(xué)思想方法為基礎(chǔ)的.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)認(rèn)識(shí).解題方法的選擇與運(yùn)用，往往對(duì)解題過(guò)程的繁簡(jiǎn)起著決定性作用.一道題目解完后，引導(dǎo)學(xué)生反思所應(yīng)用的解題方法，探索新的解題思路，對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的“變通”能力頗有益處.這也是課程改革的基本要求.

例3：已知函數(shù)g（x）=x+■（x>0）.若g（x）=m有零點(diǎn)，求m的取值范圍.

解：方法一：因?yàn)間（x）=x+■≥2■=2e，

等號(hào)成立的條件是x=e.

故g（x）的值域是[2e，+∞），因而只需m≥2e，則 g（x）=m就有零點(diǎn).

反思：本題解法思路明確，即利用基本不等式求得g（x）的值域，從而得到使g（x）=m有零點(diǎn)的m的取值范圍.

方法二：解方程由g（x）=m，得x■-mx+e■=0.此方程有大于零的根，

等價(jià)于m>0m≥2e或m≤-2e故■>0△=m■-4e■≥0，

故m≥2e.

反思：本題解法思路清晰，即利用方程思想求得m的取值范圍，但列式復(fù)雜，解題困難.

方法三：作出g（x）=x+■ 的圖像，如圖：

可知若使g（x）=m有零點(diǎn)，則只需m≥2e.

反思：本題解法利用數(shù)形結(jié)合思想，可很形象、直觀地求出m的范圍，與方法一、方法二比較，顯然輕松簡(jiǎn)潔得多.

經(jīng)常進(jìn)行這樣的反思練習(xí)，對(duì)提高學(xué)生的思維變通能力是很有好處的.

四、數(shù)學(xué)思想、反思生輝

日本數(shù)學(xué)家、教育家米三藏指出：“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)出校門不到兩年可能就忘記了，唯有深深銘記頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)的思想、研究方法和著眼點(diǎn)等，這些都是隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終身受益.”在每一次解題后，讓學(xué)生對(duì)解題過(guò)程中反映的數(shù)學(xué)思想、方法進(jìn)行總結(jié)、概括，從而建立起良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

如案例3中讓學(xué)生反思得出：

（1）求參數(shù)范圍的方法：基本不等式、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造函數(shù)法等.

（2）蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法：化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.

總之，在平時(shí)的解題過(guò)程中，養(yǎng)成題后反思的習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生在反思上下工夫，反思問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，在反思中獲得方法，在反思中促進(jìn)思維的發(fā)展，既利于加強(qiáng)“雙基”的掌握，又有利于加強(qiáng)知識(shí)的有效遷移，是提高解題能力的重要途徑.

參考文獻(xiàn)：

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