解三角函數(shù)應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題

趙莉

摘 要： 三角函數(shù)在每年的高考試題中均占有較大的分值比例.近幾年，教學(xué)大綱對(duì)三角函數(shù)的要求在難度上有所降低，經(jīng)常單獨(dú)出題，而且較簡(jiǎn)單，重點(diǎn)考查三角函數(shù)概念，同角基本關(guān)系式，和差公式，倍角公式，以及三角函數(shù)的圖像和性質(zhì).

關(guān)鍵詞： 三角函數(shù) 中學(xué)數(shù)學(xué) 最值 解題

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種重要的函數(shù)，在每年的高考中，三角函數(shù)試題均占有較大比例.雖然近幾年教學(xué)大綱對(duì)三角函數(shù)的要求在難度上有所降低，經(jīng)常單獨(dú)出題而且較簡(jiǎn)單，重點(diǎn)考查三角函數(shù)概念，同角基本關(guān)系式，和差公式，倍角公式，以及三角函數(shù)的圖像和性質(zhì).但是新課標(biāo)更注意三角函數(shù)知識(shí)的系統(tǒng)性和完整性，由于三角函數(shù)的內(nèi)容繁雜、公式較多且性質(zhì)靈活，解題時(shí)稍有不慎，就會(huì)出現(xiàn)漏解、增解、錯(cuò)解等現(xiàn)象，根本原因是對(duì)題中的條件（包括隱含條件）沒(méi)有特別注意。那么如何更有效地解三角函數(shù)問(wèn)題，規(guī)范解題格式，使會(huì)做的題目不失分，是新課標(biāo)下數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的一個(gè)重要課題。下面我結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談?wù)勼w會(huì).

一、函數(shù)定義域變化時(shí)，注意軸線角

軸線角是指終邊落在坐標(biāo)軸上的角，軸線角不屬于任何象限.這些角的三角函數(shù)值或?yàn)樘厥庵?，或?yàn)椴淮嬖?，由于其特殊性，學(xué)生會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為一般的角就是象限角，而忽略了軸線角。在解題中，往往忽視軸線角的存在而致錯(cuò)，因此解題時(shí)要特別注意.如：

已知函數(shù)y=lg（cosx·tanx）有意義，求x的取值范圍.

錯(cuò)解：由lg（cosx·tanx）=lg（sinx）可知sinx>0，那么2kπ

分析：由sinx>0解得2kπ0包括了軸線角x=2kπ+■，k∈Z，但此時(shí)tanx不存在.

正解：由cosx>0tanx>0或cosx<0tanx<0，

x的取值范圍為2kπ

通過(guò)錯(cuò)解與正解的比較，學(xué)生能真正體會(huì)化簡(jiǎn)時(shí)定義域發(fā)生了改變（特別是正、余切函數(shù)的定義域受一定局限，解題時(shí)若照顧不到，就會(huì)改變解集），從而深入理解軸線角的概念.

二、注意三角函數(shù)問(wèn)題中的隱含條件

出于三角函數(shù)的獨(dú)特性質(zhì)，會(huì)造成解題時(shí)若不深入挖掘因此產(chǎn)生的隱含因素，就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤現(xiàn)象.審題是對(duì)條件和問(wèn)題進(jìn)行全面認(rèn)識(shí)，對(duì)與條件和問(wèn)題相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行分析研究，是分析和解決問(wèn)題的前提.所有數(shù)學(xué)問(wèn)題都要仔細(xì)審題，三角函數(shù)也不例外，讀題時(shí)就要充分理解題意，把握題目本質(zhì)，分析、發(fā)現(xiàn)隱含條件，以及化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化已知和所求的能力，更快捷、準(zhǔn)確地解決問(wèn)題.如：

已知sinx+siny=■，求siny-cos■x的最大值.

錯(cuò)解：由sinx+siny=■得siny=■-sinx.

siny-cos■x=■-sinx-（1-sin■x）=（sinx-■）■-■，

又-1≤sinx≤1，所以當(dāng)sinx=-1時(shí)，siny-cos■x取最大值為■.

分析：上述錯(cuò)解在考生中極為普遍。雖然注意到sinx的有界性，卻沒(méi)有注意到，當(dāng)sinx=-1時(shí)，會(huì)導(dǎo)致siny=■-（-1）=■>1，由于sinx+siny=■中的兩個(gè)變量是相互約束的，怎樣利用題中已知的那個(gè)等式？如果我們仔細(xì)審題，有較強(qiáng)的有界性意識(shí)，就會(huì)很快找到這道題解答的正確方向.由-1≤siny≤1，sinx+siny=■，先找出條件-■≤sinx≤1，從而當(dāng)sinx=-■時(shí)，siny-cos■x取最大值為■.

有些求最值的問(wèn)題往往都是在某個(gè)給定的區(qū)間上，因此要特別注意給定的區(qū)間，注意三角函數(shù)的定義域和有界性，對(duì)于含參數(shù)的三角函數(shù)式，要重視對(duì)參數(shù)范圍的討論，這往往就是解題的基本方向.很多時(shí)候，三角函數(shù)的角或函數(shù)值，或者三角形的邊或角都會(huì)存在限制條件，在解題時(shí)不能忽視隱含條件的挖掘，防止出錯(cuò).

三、注意已知等式中角的范圍

在解決三角函數(shù)給值求角問(wèn)題中（即給出一些三角函數(shù)值，而求與這些三角函數(shù)式有某種聯(lián)系的三角式的值），我們要特別注意題目條件對(duì)角的范圍的限制，應(yīng)將已知角的范圍盡可能地縮小，避免產(chǎn)生增根.一般來(lái)說(shuō)，范圍越小越好.如有以下問(wèn)題：

若sinα=■，sinβ=■，且α、β為銳角，求α+β的值.

錯(cuò)解：∵α為銳角，∴cosα=■=■.

又β為銳角，∴cosβ=■=■.

且sin（α+β）sinαcosβ+cosαsinβ=■.

由于0<α<■，0<β<■，因此，0<α+β<π，故α+β=■或α+β=■.

分析：上述解法欠嚴(yán)密，僅由sin（α+β）=■，0<α+β<π得到α+β=■或α+β=■是正確的，但是擴(kuò)大了α+β的范圍.因?yàn)轭}設(shè)中sinα=■<■，sinβ=■<■，從而對(duì)α和β進(jìn)行了范圍限制，0<α<■，0<β<■，使得0<α+β<■，正解為α+β=■.

這就說(shuō)明通過(guò)定值求角時(shí)，把題設(shè)條件中角的范圍化簡(jiǎn)得越小越好，越小越容易確定.當(dāng)然，對(duì)于本題求角，我們還可以通過(guò)選取余弦達(dá)到縮角的目的.由于0<α<■，0<β<■，得到0<α+β<π，正弦函數(shù)在（0，π）上恒為正，若選取正弦函數(shù)不利于確定角，而余弦函數(shù)在（0，π）上函數(shù)值有正有負(fù)，故利用余弦函數(shù)在（0，π）求角比較方便，直接將角的范圍縮小，避免增根出現(xiàn).

四、注意三角換元中新元與舊元的等價(jià)性

布魯納說(shuō)：“掌握數(shù)學(xué)思想和方法可使得數(shù)學(xué)更容易理解和記憶，更重要的是，領(lǐng)會(huì)基本思想和方法是通向遷移大道的‘光明之路.”因此，解題過(guò)程中，教師應(yīng)有目標(biāo)、有計(jì)劃地引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)、提煉其中隱含的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生在接受知識(shí)的同時(shí)，受到數(shù)學(xué)思想方法的熏陶和啟迪，這樣才能把提高學(xué)生的能力落到實(shí)處.

在解三角函數(shù)題的數(shù)學(xué)思想方法中，換元法是一種常見(jiàn)的構(gòu)造型思維方法.運(yùn)用這種方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通常把原問(wèn)題中的未知量的代數(shù)式用新的變量替換，進(jìn)而把原來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含新變量的新問(wèn)題，然后通過(guò)對(duì)新問(wèn)題的求解獲得原問(wèn)題的解.有時(shí)在三角函數(shù)復(fù)習(xí)題中，還常見(jiàn)倍角與“1”的問(wèn)題，二倍角一旦與1聯(lián)系在一起，一般會(huì)出現(xiàn)平方形式.如：1+cos2x=2cos■x，1-cos2x=2sin■x，1±sin2x=（sinx±cosx）■，這些形式歷來(lái)是考查的熱點(diǎn)，這一類(lèi)問(wèn)題也有著很好的小綜合.如：

求解y=sinx+cosx+sinx·cosx的值域.

錯(cuò)解：令sinx+cosx=t，則sinx·cosx=■，因此原不等式可化為y=■t■+t-■=■（t+1）■-1≥-1.所求值域?yàn)閇-1，+∞）.

波利亞主張要“不斷地變換你的問(wèn)題”，“直到最后成功地找到某些有用的東西為止”.在解決這類(lèi)三角函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，我們就應(yīng)當(dāng)嘗試將陌生的問(wèn)題化為熟悉的、便于理解的問(wèn)題，先要用到換元，保證所求的結(jié)果既不擴(kuò)大又不縮小，關(guān)鍵是遵循等價(jià)換元的原則，有時(shí)正、余弦函數(shù)的值域固定在某一個(gè)確定的范圍內(nèi)，解題時(shí)改變其約束就會(huì)改變解.因?yàn)閟inx+cosx=■sin（x+■），x∈R，所以t∈[-■，■]，故所求值域?yàn)閇-1，■+■].

五、注意檢驗(yàn)

三角函數(shù)中的隱含條件多，是三角習(xí)題具有的共性，需要在解題過(guò)程中仔細(xì)分析，合情推理才會(huì)發(fā)現(xiàn)，否則容易導(dǎo)致多解或錯(cuò)解.隱含條件挖掘得是否透徹，直接影響解題結(jié)果.如以下問(wèn)題：

已知tanα、tanβ是方程x■+3■x+4=0的兩個(gè)根，且α、β∈（-■，■），求tan（■）的值.

正解：由韋達(dá)定理得tanα+tanβ=-3■，tanα·tanβ=4

∴tan（α+β）=■=■=■

∴■

解得tan=■=-■或tan=■=■

由tanα+tanβ=-3■<0tanα·tanβ=4>0，可知tanα、tanβ同為負(fù)值，α、β∈（-■，0），所以■∈（-■，0），可得tan（■）=-■.

分析：當(dāng)在三角求值或求角的過(guò)程中，出現(xiàn)不止一個(gè)解時(shí)，一定要注意對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，這也是對(duì)角的范圍沒(méi)有縮小的一個(gè)亡羊補(bǔ)牢的措施.解此類(lèi)問(wèn)題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和縝密性大有裨益，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)活動(dòng)中要有意識(shí)地提醒學(xué)生注意這些問(wèn)題，這樣我們的教學(xué)才會(huì)更有效，學(xué)生才會(huì)少犯錯(cuò)誤.

總之，在求解三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，常需要對(duì)特殊角，題目已知條件的隱含條件，角的范圍及相應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào)進(jìn)行討論，若審題不細(xì)不嚴(yán)，就很容易出錯(cuò).故在以后解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，希望同學(xué)們要三思而后行，養(yǎng)成審慎思維的習(xí)慣.